Indépendance algébrique

En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps.

Définition

Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement libre sur K, ou que ses éléments sont algébriquement indépendants sur K si, pour tout suite finie (s₁, … , s_n) d'éléments distincts de S et tout polynôme non nul P(X₁, … , X_n) à coefficients dans K on a P(s₁, … , s_n) ≠ 0.

Cas particulier

• Cas particulier K = $\mathbb {Q}$ et L = $\mathbb {C}$

Définition : $u,v\in \mathbb {C} ^{*}$

$\mathbb {Q} (u,v)=\{x={\frac {P(u,v)}{Q(u,v)}}\ \ \,\ P,Q\ non\ nuls\ \in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]\ avec\ Q(u,v)\neq 0\}$

$\mathbb {Q} (u,v)$ est le plus petit corps de $\mathbb {C}$ contenant $\mathbb {Q}$ et u,v .

Soit $\alpha \in \mathbb {C} ^{*}$ on dit que $\alpha$ est algébrique sur $T=\mathbb {Q} (u,v)$ s' il existe un polynome non-nul $P\in T[X]$ tel que

$P(\alpha )=0$

$\sum a_{k}\alpha ^{k}=0$

$\sum {\frac {P_{k}(u,v)}{Q_{k}(u,v)}}\alpha ^{k}=0\ \ avec\ Q_{k}(u,v)\neq 0$

En particulier  :

$\alpha ^{k}={\frac {P(u,v)}{Q(u,v)}}$

où $k\in \mathbb {N} ,\ P,Q\ non\ nuls\ \in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]\ avec\ Q(u,v)\neq 0$

Définition degré de transcendant (sur Q) :

$Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{d})$ = Le cardinal d'une plus grande famille algébriquement libre

Théorème :

$\{\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{d}\}$ algébriquement indépendants $\Leftrightarrow$

$Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{d})=d$

Propriété :

{$\alpha ,\beta$} algébriquement indépendants et

$\alpha ^{k}={\frac {P(u,v)}{Q(u,v)}}$

$\beta ^{m}={\frac {S(u,v)}{T(u,v)}}$

$P,Q,S,T\ non\ nuls\ \in {\overline {\mathbb {Q} }}[X,Y]\ avec\ Q(u,v)\neq 0,\ T(u,v)\neq 0$

alors

{$u,v$} algébriquement indépendants.

En effet {$\alpha ,\beta$} algébriquement indépendants $\Rightarrow$

$Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{,}\beta )=2$

{$\alpha ,\beta$} algébriques sur $\mathbb {Q} (u,v)$ $\Rightarrow$

$Deg\ \mathbb {Q} (\alpha _{,}\beta )=Deg\ \mathbb {Q} (u,v)=2$ $\Rightarrow$

{u,v} algébriquement indépendants.

ex:

1) à partir du théorème de Chudnovsky on montre que

$\alpha ={\frac {\Gamma ^{2}(1/4)}{\sqrt {8\pi }}}$

{$\alpha ,\pi$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha ^{2}={\frac {\Gamma ^{4}(1/4)}{8\pi }}={\frac {P(\Gamma (1/4),\pi )}{Q(\Gamma (1/4),\pi )}}$

on en déduit que

{$\Gamma (1/4),\pi$} algébriquement indépendants.

2) On montre que

$\alpha ={\frac {\Gamma ^{3}(1/3)}{2^{4/3}\pi }}$

{$\alpha ,\pi$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha ={\frac {\Gamma ^{3}(1/3)}{2^{4/3}\pi }}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi )}{Q(\Gamma (1/3),\pi )}}$

on en déduit que

{$\Gamma (1/3),\pi$} algébriquement indépendants.

3) à partir du théorème Nesterenko on montre que

$\alpha ={\frac {3\Gamma ^{8}(1/4)}{8^{2}\pi ^{6}}}$

{$\alpha ,3/\pi ,e^{-2\pi }$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha ={\frac {3\Gamma ^{8}(1/4)}{8^{2}\pi ^{6}}}={\frac {P(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}{Q(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}}$

$e^{-2\pi }={\frac {1}{(e^{\pi })^{2}}}={\frac {P(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}{Q(\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi })}}$

on en déduit que

{$\Gamma (1/4),\pi ,e^{\pi }$} algébriquement indépendants.

4) à partir du théorème Nesterenko on montre que

$\alpha ={\frac {27\Gamma ^{18}(1/3)}{2^{9}\pi ^{12}}}$

{$\alpha ,{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }},-e^{-\pi {\sqrt {3}}}$} algébriquement indépendants.

comme

$\alpha ={\frac {27\Gamma ^{18}(1/3)}{2^{9}\pi ^{12}}}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}{Q(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}}$

${\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}{Q(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}}$

$-e^{-\pi {\sqrt {3}}}={\frac {-1}{e^{\pi {\sqrt {3}}}}}={\frac {P(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}{Q(\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}})}}$

on en déduit que

{$\Gamma (1/3),\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}$} algébriquement indépendants.

d'où

{$\pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}$} algébriquement indépendants.

Exemples

Un singleton {s} est algébriquement libre sur K si et seulement si son élément s est transcendant sur K.

Si S est algébriquement libre sur K alors il l'est sur tout sous-corps de K.

Si S est algébriquement libre sur K alors toute partie de S l'est aussi. Plus précisément, si V et W sont deux parties de L disjointes, alors leur réunion V⋃W est algébriquement libre sur K si et seulement si V est algébriquement libre sur K et W est algébriquement libre sur le sous-corps K(V) de L.

En particulier, si S est algébriquement libre sur K alors tous ses éléments sont transcendants sur K, mais la réciproque est clairement fausse : par exemple le sous-ensemble {π, 1/π} du corps ℝ des nombres réels n'est pas algébriquement libre sur le corps ℚ des nombres rationnels, puisque le polynôme non nul à coefficients rationnels P(X, Y) = XY – 1 vérifie P(π, 1/π) = 0.

Dans le corps de fractions rationnelles K(X₁, … , X_n), les indéterminées X₁, … , X_n sont algébriquement indépendantes sur K ; les polynômes symétriques élémentaires le sont aussi.

Une partie K-algébriquement libre maximale de L s'appelle une base de transcendance de L sur K, et le cardinal d'une telle base est appelé le degré de transcendance de l'extension.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement libres sur ℚ.

On ne sait pas si l'ensemble {π, e} est algébriquement libre sur ℚ (on ne sait même pas si π + e est irrationnel).

Nesterenko a prouvé en 1996 un théorème dont il résulte par exemple que {π, e^π, Γ(1/4)}, {π, e^π√3, Γ(1/3)} et {π, e^π√d} pour tout entier d > 0, sont algébriquement libres sur ℚ (on savait déjà que {π, Γ(1/4)} et {π, Γ(1/3)} sont algébriquement libres, et donc aussi {π, Γ(1/6)}, puisqu'on déduit des relations fonctionnelles sur la fonction Gamma que Γ(1/6) = Γ(1/3)² 2^–1/3 (3/π)^1/2).

On sait peu de choses sur les valeurs aux entiers impairs de la fonction zêta de Riemann, mais il est conjecturé que les nombres π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), … sont algébriquement indépendants sur ℚ.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Algebraic independence » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

(en) Michel Waldschmidt, « Elliptic Functions and Transcendence », dans Krishnaswami Alladi, Surveys in Number Theory, Springer, coll. « Dev. Math. » (n^o 17), 2008 (lire en ligne), p. 143-188