Radian
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Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée d'angle plan du système international (SI).
Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes, et un cercle de rayon r centré à l'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.
Un angle de 1 rad est un angle, qui, ayant son sommet au centre d'un cercle, intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle. Un cercle complet représente un angle de 2π rad, appelé angle plein.
Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (180°/pi). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.
L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.
Autre caractéristique précieuse du radian: pour des angles θ d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1% près:
Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.
Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.
De façon générale, pour les angles inférieurs à 3°,
ou
avec 1 rad = 57,3°
Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :
Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :
Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :
| nom de l'angle | valeur en rad | valeur en g | valeur en ° |
|---|---|---|---|
| angle nul | 0 rad | 0g | 0° |
| milliradian | 1 mrad | 0g 6c 36cc 61ccc | 0° 3′ 26″ 15‴ |
| π/6 rad | 33g 33c 33cc 33ccc | 30° | |
| π/4 rad | 50g | 45° | |
| radian | 1 rad | 63g 66c 19cc 77ccc | 57° 17′ 44″ 48‴ |
| π/3 rad | 66g 66c 66cc 66ccc | 60° | |
| angle droit | π/2 rad | 100g | 90° |
| 2π/3 rad | 133g 33c 33cc 33ccc | 120° | |
| 3π/4 rad | 150g | 135° | |
| angle plat | π rad | 200g | 180° |
| 5π/4 rad | 250g | 225° | |
| 3π/2 rad | 300g | 270° | |
| 7π/4 rad | 350g | 315° | |
| angle plein | 2π rad | 400g | 360° |
- Les angles aigus ont une valeur comprise entre celles de l'angle nul et de l'angle droit.
- Les angles obtus ont une valeur comprise entre celles de l'angle droit et de l'angle plat.
- Les angles saillants ont une valeur comprise entre celles de l'angle nul et de l'angle plat.
- Les angles rentrants ont une valeur comprise entre celles de l'angle plat et de l'angle plein.
- Deux angles de même valeur sont dits superposables, congruents ou isométriques.
- Deux angles dont la somme des valeurs égale un angle droit sont dits complémentaires.
- Deux angles dont la somme des valeurs égale un angle plat sont dits supplémentaires.
- Deux angles qui ont leurs sommets et un côté en commun sont dits adjacents.
- Deux angles qui ont leurs sommets en commun mais qui sont formés des demies différentes des mêmes deux droites sont dits opposés par le sommet.
- Lorsqu'une sécante coupe deux droites parallèles (diagramme) :
- deux angles congruents situés entre les droites et de côtés opposés de la sécante sont dits alternes internes ;
- deux angles congruents situés en dehors des droites et de côtés opposés de la sécante sont dits alternes externes ;
- deux angles congruents situés du même côté de la sécante sont dits correspondants.
