Radian
| Radian | |
| Informations | |
|---|---|
| Système | Unités dérivées du système international |
| Unité de... | Angle plan |
| Symbole | rad |
| modifier |
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Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.
Sommaire |
Définition [modifier]
Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.
Un angle de 1 rad intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π rad, appelé angle plein (de valeur τ=2π en utilisant la constante de cercle τ, tau [1]).
Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (180°/π). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.
L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.
Caractéristiques [modifier]
Autre caractéristique précieuse du radian : pour des angles
d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1 % près :
.
Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.
Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.
De façon générale, pour les angles inférieurs à 3°,
ou
avec 1 rad = 57,3°.
Relations entre grades, degrés et radians [modifier]
Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

.
Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

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Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :
| nom de l'angle | valeur en radians | valeur en grades | valeur en degrés |
|---|---|---|---|
| angle nul | 0 rad | 0 gon | 0° |
| milliradian | 1 mrad | 0,063 661 977 gon | 0° 3′ 26″ 16‴ |
| π/6 rad | 33,333 333 gon | 30° | |
| π/4 rad | 50 gon | 45° | |
| radian | 1 rad | 63,661 977 gon | 57° 17′ 44″ 48‴ |
| π/3 rad | 66,666 666 gon | 60° | |
| angle droit | π/2 rad | 100 gon | 90° |
| 2π/3 rad | 133,333 333 gon | 120° | |
| 3π/4 rad | 150 gon | 135° | |
| angle plat | π rad | 200 gon | 180° |
| 5π/4 rad | 250 gon | 225° | |
| 3π/2 rad | 300 gon | 270° | |
| 7π/4 rad | 350 gon | 315° | |
| angle plein | 2π rad | 400 gon | 360° |
Notes et références [modifier]
- (en) the Tau manifesto

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avec 1 rad = 57,3°.
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