Radian

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Radian
Informations
Système	Unités dérivées du système international
Unité de...	Angle plan
Symbole	rad

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.

Définition

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Définition de l'angle en radians

Un angle de 1 rad intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π rad, appelé angle plein (de valeur τ=2π en utilisant la constante de cercle τ, tau ).

Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (180°/π). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

Caractéristiques

Autre caractéristique précieuse du radian : pour des angles $\theta$ d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1 % près :

$\sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta$.

Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.

Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.

$\theta_{rad} \approx \ {1 \over 57,3}$

De façon générale, pour les angles inférieurs à 3°,

$\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 57,3 {deg}}$

ou

$\tan( \theta_{deg}) \approx {\theta_{deg} \over 1 rad}$ avec 1 rad = 57,3°.

Relations entre grades, degrés et radians

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

$\theta_{gra} = \theta_{rad} \cdot {200 \over \pi}$

$\theta_{rad} = \theta_{gra} \cdot {\pi \over 200}$.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

$\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot {180 \over \pi}$

$\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot {\pi \over 180}$.

Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :

nom de l'angle	valeur en radians	valeur en grades	valeur en degrés
angle nul	0 rad	0 gon	0°
milliradian	1 mrad	0,063 661 977 gon	0° 3′ 26″ 16‴
	π/6 rad	33,333 333 gon	30°
	π/4 rad	50 gon	45°
radian	1 rad	63,661 977 gon	57° 17′ 44″ 48‴
	π/3 rad	66,666 666 gon	60°
angle droit	π/2 rad	100 gon	90°
	2π/3 rad	133,333 333 gon	120°
	3π/4 rad	150 gon	135°
angle plat	π rad	200 gon	180°
	5π/4 rad	250 gon	225°
	3π/2 rad	300 gon	270°
	7π/4 rad	350 gon	315°
angle plein	2π rad	400 gon	360°

Annexes

Articles connexes

• Angle
• Degré (angle)
• Grade (angle)