Discussion:Ennéagone

Proposition de contre-exemple aux « extrapolations [de Wantzel], (d'apparence parfaitement logique) de certaines constructions purement algébriques et déconnectées des évidences géométriques, et même de la plus élémentaire algèbre »

Il est bien compréhensible que les mathématiciens érudits puissent s'offusquer de ce qu'il soit très difficile à d'autres "chercheurs" d'accepter les conclusions du théorème de Gauss-Wantzel relatives à la prétendue impossibilité de trisectionner l'angle de 60° ou de construire un ennéagone exact à l'aide de la seule règle "non graduée" et du compas. Les extrapolations, (d'apparence parfaitement logique) de certaines constructions purement algébriques et déconnectées des évidences géométriques, et même de la plus élémentaire algèbre, ne doivent pas toutes être considérées comme infaillibles et non discutables: un remarquable exemple nous en est donné par l'équation du second degré :

         n + n² = 1  et dont l'unique solution est : n = 0,6180339887...

(et non pas X²-X-1 = 0 , dont la solution est : 1,6180339887...dont on ne peut rien tirer de géométriquement utile) et qui, intelligemment appliquée aux trois côtés du triangle équilatéral et au rayon de son cercle circonscrit, permet, non seulement une parfaite trisection de l'angle de 60° mais encore, comme conséquence évidente, la construction la pus exacte de l'ennéagone à l'aide de la seule règle non graduée et du compas. Ceux qui, parmi les mathématiciens non fermés, désireraient contempler cette construction d'une grande simplicité, elle est imprimable sur deux pages,figures comprises, si Wikipédia le juge opportun. --Philippe Bouet (d) 27 juillet 2012 à 16:48 (CEST)

Bonjour, pour info :

1. « 0,6180339887... » est le sinus de (environ) 38° ajout du 28/7 : 0,618… = 1/φ = 2 sin(π/10) = 2 cos(2π/5)
2. Ajout du 28/7 : Ce n'est pas l'« unique solution » de cette équation du second degré et 1,618… n'est pas « la » solution de l'autre
3. la page de discussion d'un article est un support de coordination entre rédacteurs, pas un forum
4. Wikipédia proscrit les travaux inédits
5. Les démonstrations du théorème de Wantzel et du théorème de Gauss-Wantzel sont disponibles sur de nombreux sites web et manuels. Ajout du 28/7 : Elles sont courtes elles aussi, et ont l'avantage supplémentaire d'être justes.

Anne (d) 27 juillet 2012 à 19:24 + modifs le 28 juillet avant et après 11h18 (conflit d'édit)

Merci, Anne, de votre réponse que j'ai bien comprise parce qu'elle est claire! Relativement à # 0,6180339887...j'ai bien précisé :"application intelligente" ce qui laisse supposer que cet irrationnel possède d'autres propriétés que de mesurer un angle! Voudriez-vous vous poser la question suivante? : Dans un angle quelconque, deux droites issues du sommet en formant trois angles adjacents ayant exactement même cosinus sont-elles "trisectrices" ? Votre réponse ne conditionnera pas l'expression de mes hommages.--Philippe Bouet (d) 28 juillet 2012 à 11:18 (CEST)

Doute quant à la véracité de la construction de l'ennéagone régulier

J'ai dû me tromper mais la construction de l'ennéagone régulier ne me paraît pas exacte. En effet, calculons la pente de (BG) :

X = (u cos(20°) ; 2R - u * sin(20°)) = (u cos(20°) ; u * (1 / sin(20°) - sin(20°)) car u = 2Rsin(20°)

B = (u/2 ; 0),

pente de (BG) = [(1 / sin(20°) - sin(20°))] / [cos(20°) - 0,5] = [cos(40°) + 1] / [sin(40°) - sin(20°)] = tan(80,335°)

Mais (PG,y) = 30° ; (KP,x) = 10° et GPH = 70° ; or GP = GH => GHP = 70° ; (HP,x) = 10° => (HX,x) = 80°.

Sachant que les angles vus du centre entre chaque sommet (par exemple AKB) doit être de 40°, le plus sûr est de :

• prendre un triangle équilatéral (on obtient un angle de 60°) ;
• y tracer une bissectrice et la prolonger (on obtient un angle de 30° et un angle de 150°) ;
• diviser cet angle en 3 en utilisant la trisection de l'angle (on obtient un angle de 50°) ;
• tracer une perpendiculaire à l'une des demi-droites précédentes (on obtient un angle de 40°) ;
• tracer un cercle dont le centre est la jonction les 2 demi-droites précédentes et le rayon est la distance entre le centre de l'ennéagone qu'on souhaite tracer et ses sommets, il coupe ces 2 demi-droites en 2 points qui sont deux sommets voisins de l'ennéagone ;
• reporter cette distance 7 fois de suite sur le cercle : on obtient tous les sommets de l'ennéagone.

Ton erreur est dans les coordonnées. L'ordonnée de G est 2R - u cos(20) seulement si l'origine du repère est sur le bout du cercle. Mais dans ce cas, l'ordonnée de B n'est plus 0 mais R (1-cos(20)).

Pour la construction proposée, il s'agit de présenter explicitement une construction par neusis pour découper l'angle de 60° en trois : c'est l'objet de la figure ABG et des segment BF, FH, HG égaux à u

• si on note "a" l'angle FGH, comme le triangle FGH est isocèle, on a FGH=GFH=a et FHB=2a
• le triangle FHB est isocèle donc FHB=FBH=2a et HFB=180-4a
• on a donc AFB + BFH + HFG=180=60+180-4a+a ce qui donne bien a=20.
• Après, tout coule de source l'angle au centre AKB = 40, l'angle au centre BKG=120=4*40 etc.

En gros la construction ne fait que détailler ton point trois que tu éludes, explicite la construction du triangle équilatéral, la construction du cercle circonscrit, limite le nombre de cercles à construire en plus (il n'a pas besoin de reporter 7 longueurs).

HB (discuter) 21 décembre 2023 à 14:22 (CET)

Mille mercis pour tout le temps dépensé à me répondre et à corriger l'article.

Ta démonstration mérite de figurer dans l'article.

Je ne sais pas comment remercier sur Wikipedia en cliquant quelque part comme tu as fait, mais vraiment merci pour tout ce temps dépensé. SARIAN Armen (discuter) 23 décembre 2023 à 22:59 (CET)

Mais au fait, comment as-tu fait pour trouver l'angle au centre AKB = 40° ? J'y suis arrivé, mais au prix d'une page de calcul avec une équation de degré 5 : $32\left(\sin 10^{\circ }\right)^{5}-32\left(\sin 10^{\circ }\right)^{3}+4\left(\sin 10^{\circ }\right)^{2}+6\left(\sin 10^{\circ }\right)-1=0$ ? SARIAN Armen (discuter) 24 décembre 2023 à 01:25 (CET)

Vieille propriété du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre: K est le centre du cercle circonstrit à AGB. L'angle inscrit AGB est égal à FGB=a=20° (voir plus haut). L'angle au centre est le double de l'angle inscrit donc AKB = 40°.

Mais à force de chercher des sources, je trouve plein de choses intéressantes à dire (une construction plus simple par Neusis pour découper un cercle en 9 parts, une utilisation d'intersection de conique pour des constructions exactes. Et des constructions approchées datant de Albert Dürer ou Nicolas Bion. Quand les fêtes seront passées, il faudra que je complète l'article. HB (discuter) 24 décembre 2023 à 19:51 (CET) HB (discuter) 24 décembre 2023 à 19:51 (CET)

Merci beaucoup HB. SARIAN Armen (discuter) 25 décembre 2023 à 13:15 (CET)