Mesure (mathématiques)

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De façon informelle, une mesure a la propriété d'être monotone : si l'ensemble E est un sous-ensemble de F, la mesure de E est inférieure ou égale à celle de F. De plus, on impose à la mesure de l'ensemble vide la valeur 0.

En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités.

Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.

L'étude des espaces munis de mesures est l'objet de la théorie de la mesure.

Définition

Formellement, une mesure μ est une fonction qui associe à chaque élément S d'une σ-algèbre (ou tribu) $\scriptstyle\ \mathcal{A}\$ de parties de X une valeur μ(S), qui est un réel positif ou l'infini.

Définition — Soit $\scriptstyle\ (X,\mathcal{A}),$ un espace mesurable (i.e. un couple $\scriptstyle\ (X,\mathcal{A}),$ où $\scriptstyle\ X\$ est un ensemble et $\scriptstyle\ \mathcal{A}\$ est une tribu sur $\scriptstyle\ X$).

Une application μ définie sur $\scriptstyle\ \mathcal{A},\$ à valeurs dans $\scriptstyle\ [0,+\infty],\$ est appelée mesure lorsque les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

• L'ensemble vide a une mesure nulle : $\mu\left(\varnothing\right)=0$

• L'application μ est σ-additive : si E₁, E₂, … est une famille dénombrable de parties de X appartenant à $\scriptstyle\ \mathcal{A},\$ et si ces parties sont deux à deux disjointes, alors la mesure μ(E) de leur réunion E est égale à la somme des mesures des parties :

$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(E_{k}).$

Terminologies connexes

• Lorsqu'on dispose d'une mesure μ sur un espace mesurable $\scriptstyle\ (X,\mathcal{A})$, on dit que le triplet $\scriptstyle\ (X,\mathcal{A},\mu)$ est un espace mesuré ;

• Pour S ensemble mesurable (c'est-à-dire pour $\scriptstyle\ S\in\mathcal{A}$), la valeur μ(S) est appelée la mesure de S ;

• Lorsque μ(X) est fini, on parle de mesure finie ou mesure bornée ;

• Lorsque μ(X)=1, on parle de mesure de probabilité. Le triplet $\scriptstyle\ (X,\mathcal{A},\mu)$ est alors appelé un espace probabilisé. Voir pour ce cadre l'article axiomes des probabilités.

• Lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire, plus formellement, lorsqu'il existe une suite $\scriptstyle\ (E_n)_{n\in\N}\$ d'éléments de la tribu, tous de mesure finie, avec

$X=\bigcup_{n\in\N}E_n,$

on parle de mesure $\scriptstyle\sigma$-finie. Quitte à remplacer chaque $\scriptstyle\ E_k$ par $\scriptstyle\ E_0\cup\ldots\cup E_k,$ on peut supposer que la suite de sous-ensembles figurant dans la définition est croissante pour l'inclusion.

• Un sous-ensemble S de X est dit négligeable lorsqu'il est inclus dans un T appartenant à la tribu $\mathcal{A}$ et de mesure nulle.

• La mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable appartient à la tribu $\mathcal{A}$.

Propriétés

Les propriétés suivantes s'obtiennent sans mal à partir des axiomes précédents :

• Additivité : Si E₁ et E₂ sont deux ensembles mesurables disjoints, µ(E₁ ∪ E₂) = µ(E₁) + µ(E₂).
• Monotonie : Si E₁ et E₂ sont deux ensembles mesurables tels que E₁ est un sous-ensemble de E₂, alors μ(E₁) ≤ μ(E₂).
• Continuité à gauche : Si E₁, E₂, E₃, ... sont des ensembles mesurables et si E_n est un sous-ensemble de E_n+1 pour tout n, alors la réunion E des ensembles E_n est mesurable et μ(E) = lim μ(E_n).
• Continuité à droite : Si E₁, E₂, E₃, ... sont des ensembles mesurables et si, pour tout n, E_n+1 est un sous-ensemble de E_n, alors l'intersection E des ensembles E_n est mesurable ; de plus, si au moins l'un des ensembles E_n a une mesure finie, alors μ(E) = lim μ(E_n).

Exemples

Voici quelques exemples importants de mesure :

• la mesure de dénombrement (ou mesure de comptage) est définie par μ(S) = nombre d'éléments dans S ;
• la mesure de Dirac μ_a associée à un point a de X est définie par μ_a(S) = χ_S(a), où χ_S est la fonction indicatrice de S. En d'autres termes, la mesure d'un ensemble est égale à 1 si celui-ci contient le point a et à 0 sinon ;
• la mesure de densité une fonction mesurable positive ƒ par rapport à une autre mesure positive μ est souvent notée ƒ.μ ;
• la mesure de Lebesgue (restreinte aux boréliens) est l'unique mesure invariante par translation définie sur la tribu borélienne de ℝ et telle que μ([0,1]) = 1 ;
• la mesure de Haar sur un groupe topologique localement compact est une généralisation de la mesure de Lebesgue, également caractérisée par une propriété d'invariance.

Généralisation

Dans certains contextes, notamment pour exposer la construction de mesures à partir de leurs valeurs sur des classes d'ensembles plus petites que des tribus, il est agréable de disposer d'une définition plus générale pour énoncer brièvement divers résultats ; selon les sources le mot « mesure » est employé pour des fonctions vérifiant la propriété d'additivité dénombrable sur des algèbres d'ensembles, anneaux d'ensembles voire semi-anneaux d'ensembles. Plus généralement, on pourra donc poser :

Définition — Soit $\scriptstyle X$ un ensemble et $\scriptstyle\mathcal{C}$ un ensemble de parties de $\scriptstyle X$ contenant l'ensembe vide :

Une application μ définie sur $\scriptstyle\ \mathcal{C}\$ à valeurs dans $\scriptstyle\ [0,+\infty],\$ est appelée mesure lorsque les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

• L'ensemble vide a une mesure nulle :

$\varnothing\in\mathcal{C}\quad\mathrm{et}\quad\mu\left(\varnothing\right)=0,$

• L'application μ est σ-additive : si E₁, E₂, … est une famille dénombrable de parties de X appartenant à $\scriptstyle\ \mathcal{C}\$, si ces parties sont deux à deux disjointes et si leur réunion E est aussi un élément de $\scriptstyle\ \mathcal{C}\$, alors la mesure μ(E) de cette réunion est égale à la somme des mesures des parties :

$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(E_{k}).$ .

Dans certains cas, il est utile d'avoir une « mesure » dont les valeurs ne sont pas restreintes aux réels positifs et à l'infini. Par exemple, une fonction σ-additive définie sur des ensembles et qui prend des valeurs réelles est appelée mesure signée, tandis qu'une telle fonction qui prend des valeurs complexes est appelée mesure complexe (en). Une mesure qui prend des valeurs dans un espace de Banach est appelée mesure spectrale ; celles-ci sont principalement utilisés en analyse fonctionnelle pour le théorème spectral.

Une autre généralisation est la notion de mesure additive ou moyenne. La définition est la même que celle d'une mesure sauf que la σ-additivité est remplacée par l'additivité finie.

On rencontre enfin parfois, surtout en théorie des nombres, des « mesures » vérifiant des propriétés incompatibles avec celles de véritables mesures ; c'est par exemple le cas de la densité asymptotique, permettant de préciser le sens de formules telles que « un entier sur deux est pair ».

Bibliographie

Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert », octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2) 

Articles connexes

• La mesure de Hausdorff, utilisée dans l'étude des fractales, n'est pas une mesure au sens défini ici mais une mesure extérieure
• Mesure intérieure (en)
• Valuation (théorie de la mesure) (en)