Attracteur de Lorenz

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L'attracteur de Lorenz

En 1963, le météorologue Edward Lorenz est le premier à mettre en évidence le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie.

Le modèle de Lorenz, appelé aussi système dynamique de Lorenz ou oscillateur de Lorenz, est une modélisation simplifiée de phénomènes météorologiques basée sur la mécanique des fluides. L'oscillateur de Lorenz est un système dynamique tridimensionnel qui engendre un comportement chaotique dans certaines conditions.

L'attracteur de Lorenz, baptisé d'après son découvreur, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l'oscillateur de Lorenz. L'attracteur montre comment les différentes variables du système dynamique évoluent dans le temps en une trajectoire non périodique.

Le modèle de Lorenz a eu des répercussions importantes en montrant les limites possibles sur la capacité de prédiction à long terme de l'évolution climatique et météorologique. C'est un élément important de la théorie selon laquelle l'atmosphère des planètes et des étoiles peut comporter une grande variété de régimes quasi-périodiques et est sujette à des changements abrupts et, en apparence, aléatoires.

C'est aussi un exemple utile à la théorie des systèmes dynamiques servant de source à de nouveau concepts mathématiques[1].


Modèle de Lorenz[modifier | modifier le code]

L'attracteur et les équations associées ont été rendues publiques en 1963 par Edward Lorenz.

Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.


Système dynamique différentiel de Lorenz[modifier | modifier le code]

Ce système différentiel s'écrit :

\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\sigma \bigl( y(t) - x(t) \bigr)\\
\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=\rho \, x(t) - y(t) - x(t) \, z(t)\\
\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t} =x(t) \, y(t) - \beta \, z(t) \end{cases}

Dans ces équations, \sigma, \rho et β sont trois paramètres réels strictement positifs fixés. Le paramètre \sigma est appelé nombre de Prandtl et \rho est appelé nombre de Rayleigh[citation nécessaire] (c'est un rapport du nombre de Rayleigh sur un Rayleigh critique).

Les variables dynamiques x,y et z représentent l'état du système à chaque instant. L'interprétation physique en est la suivante : x(t) est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, y(t) est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et z(t) est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire[2].

On pose souvent \sigma = 10, \beta = 8/3 ; \rho restant variable. Le système présente un comportement chaotique pour \rho = 28.

Points d'équilibre[modifier | modifier le code]

Les points d'équilibre, ou points fixes, du système sont les solutions (x,y,z) constantes du système différentiel. Il en existe au plus trois :

  • le point fixe (0, 0, 0), qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres réels \sigma, \rho et β.
  • les deux points fixes symétriques : \left( - \sqrt{\beta(\rho - 1)},-\sqrt{\beta( \rho - 1)},  \rho - 1\right) et : \left( \sqrt{\beta( \rho - 1)},\sqrt{\beta( \rho - 1)}, \rho - 1 \right), qui n'existent que lorsque  \rho > 1 .

Attracteur de Lorenz[modifier | modifier le code]

Attracteur étrange de Lorenz

Il est défini comme l'ensemble des trajectoires à long terme du système dynamique de Lorenz ci-dessus.

En effet lorsque les paramètres \sigma, \rho et β prennent les valeurs suivantes :\sigma = 10, \rho = 28 et \beta=8/3, le système dynamique différentiel de Lorenz présente un attracteur étrange en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.

Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des points fixes), l'orbite du système s'approche rapidement de l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.

L'existence d'un attracteur étrange pour certaines valeurs des paramètres a été conjecturée par Edward Lorenz dès 1963 sur la base de simulations numériques. Il a cependant fallu attendre 2001 pour avoir une démonstration rigoureuse de ce fait par Warwick Tucker[3].

L'attracteur, dans ces cas, est une fractale de dimension de Hausdorff comprise entre 2 et 3[4].


Variantes[modifier | modifier le code]

Afin d'étudier mathématiquement l'attracteur de Lorenz des modèles rigoureux mais distincts de celui-ci sont apparus dans la littérature scientifique[5]. Leur intérêt principal étant qu'ils étaient plus faciles à étudier et surtout on était sûr de leur existence (néanmoins on ignorait si l'attracteur de Lorenz était correctement décrit par ces modèles, voir plus haut).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf
  2. Tels que définis dans l'article de Lorenz, 1963, p.135
  3. cf. bibliographie
  4. Grassberger (1983) a estimé sa valeur à 2.06 ± 0.01 et sa dimension de corrélation à 2.05 ± 0.01
  5. Appelés modèles géométriques de Lorenz, cf. bibliographie, articles d'Afraimovich, Bykov, et Shil’nikov de Guckenheimer et de Williams.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (ru) V. S. Afraimovich, V. V. Bykov et L. P. Shil’nikov, « The origin and structure of the Lorenz attractor », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 234, t. 2,‎ 1977.
  • (en) J. Guckenheimer et R. F. Williams, « Structural stability of Lorenz attractors », Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., vol. 50,‎ 1979, p. 59–72.
  • (en) W. Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », Foundations of Computational Mathematics, vol. 2,‎ 2002, p. 53–117 (lire en ligne).
  • (en) R. F. Williams, « The structure of Lorenz attractors », Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., vol. 50,‎ 1979, p. 73–99.