Ensemble de Smith-Volterra-Cantor

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En mathématiques, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est un exemple d'ensemble de points de la droite réelle qui n'est nulle part dense (en particulier qui ne contient aucun intervalle) et qui est pourtant de mesure de Lebesgue positive. L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est baptisé d'après les mathématiciens Henry Smith, Vito Volterra et Georg Cantor.

Après avoir retiré les intervalles noirs, les points ici en blanc forment un ensemble nulle part dense et de mesure de Lebesgue 1/2.

Construction[modifier | modifier le code]

De construction similaire à l'ensemble de Cantor, l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est construit en retirant itérativement des intervalles à l'intervalle unité [0, 1].

Le processus commence en retirant le quart médian de l'intervalle [0, 1]. L'ensemble résultat est donc

\left[0, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, 1\right].

Les étapes suivantes consistent à retirer des sous-intervalles de longueur 1/22n du milieu des 2n−1 intervalles restant. A la deuxième étape on retire donc (5/32, 7/32) et (25/32, 27/32) et l'ensemble résultat devient :

\left[0, \frac{5}{32}\right] \cup \left[\frac{7}{32}, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, \frac{25}{32}\right] \cup \left[\frac{27}{32}, 1\right].

Itérant cette règle à l'infini, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est l'ensemble des points qui ne seront jamais retirés. L'image suivante illustre l'ensemble initial et cinq itérations.

Smith-Volterra-Cantor set.svg

Propriétés[modifier | modifier le code]

Par construction l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ne contient aucun intervalle. Or, durant le processus, on retire :

 \sum_{n=0}^{\infty} 2^n(1/2^{2n + 2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{1}{2} \,

Prouvant que l'ensemble des points restants est de mesure non nulle et égale à 1/2.

Généralisation : En retirant rn de chaque sous-intervalle restant à l'itération n, l'ensemble résiduel aura une mesure positive si et seulement si la somme des termes de la suite est inférieure à la mesure de l'intervalle initial.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

La fonction de Volterra, entretien avec David Bressoud (en)


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Smith–Volterra–Cantor set » (voir la liste des auteurs)