Arbre de Pythagore

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L'arbre de Pythagore est une fractale plane construite à l'aide de carrés. Elle porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclôt un triangle rectangle, une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.

L'arbre

Construction[modifier | modifier le code]

La construction de l'arbre de Pythagore débute avec un simple carré. Sur ce carré sont construits deux autres carrés, chacun plus petit d'un facteur ½√2, tels que les coins des carrés soient en contact. La procédure est appliquée récursivement à chaque carré, jusqu'à l'infini. L'illustration ci-dessous illustre les premières itérations de la construction.

Construction de l'arbre de Pythagore, ordre 1
Ordre 2
Ordre 3
Ordre 4
Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3

Aire[modifier | modifier le code]

La ne itération ajoute 2n carrés de côté (½√2)n, pour une aire totale de 1. Ainsi, l'aire totale de l'arbre semble a priori tendre vers l'infini. Cependant, certains des carrés se superposent à partir de la 5e itération et l'arbre possède finalement une aire finie et tient en fait dans un rectangle de 6×4.

Variations[modifier | modifier le code]

En conservant la contrainte de former un triangle rectangle à partir de trois carrés, mais en donnant des tailles différentes à chacun des carrés ajoutés à chaque itération, il est possible de créer des formes fractales similaires à l'arbre de Pythagore. L'illustration suivante illustre un telle variation (les carrés sont indiqués en noir, les triangles rectangles en bleu).

Ordre 0
Ordre 1
Ordre 2
Ordre 5
Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 5

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]