Discussion:Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Le contenu de la page n’est pas pris en charge dans d’autres langues.
Une page de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Autres discussions [liste]
  • Admissibilité
  • Neutralité
  • Droit d'auteur
  • Article de qualité
  • Bon article
  • Lumière sur
  • À faire
  • Archives
  • Commons

Hello, A ce jour, je suis le principal contributeur de cette page (Elle était auparavant réduite aux quelques 6 ou 7 fractales classiques). L'objectif est d'établir une liste illustrée avec des commentaires volontairement réduits, et redirigeant vers des pages dédiées à créer pour la plupart. Vous trouverez peut-être quelques erreurs (Errare..). Parfois j'assimile un peu hardiment la dimension d'homothétie à la dimension de Hausdorff-Besicovitch. Si vous en trouvez (et que vous en êtes sûr) n'hésitez pas à corriger. Des illustrations me manquent, si vous en avez, et qu'elles sotn de qualité, c'est tant mieux (passez par commons.wikimedia.com). Pour ajouter de nouvelles fractales merci de respecter la distinction entre fractales déterministes et aléatoires. N'ajoutons pas les variantes mineures (des courbes de Peano ou de Koch par exemple) qui ne feraient qu'alourdir la liste sans apporter une réelle plus-value.

Prokofiev le 14 septembre 2006.

cela n'est-il pas absurde ?[modifier le code]

Le fait d'assimiler des objets physiques à des constructions fractales ne relève-t-il pas de l'absurde ? Pour ma part, je réponds oui. Prenons le cas classique du flocon de Von Koch. Si l'on arrête à une étape quelconque le processus de construction, la dimension fractale est égale à 1. Alors arrêtons de rêver à la dimension fractale des objets physiques qui, nécessairement, ne peuvent être que de dimension entière, le processus de construction étant nécessairement fini.Claudeh5 (d) 31 août 2009 à 21:13 (CEST)[répondre]

D'un strict point de vue mathématique la dimension fractale ne s'entend en effet qu'à la limite. Toutefois, parce qu'ils ont jugé que la dimension fractale avait du sens pour décrire certaines structures, les physiciens se l'ont appropriée et en ont élaboré une définition plus faible et sur des domaines de validité limités. La littérature abonde de tels modèles (voir références).Prokofiev (d) 1 septembre 2009 à 09:51 (CEST)[répondre]
Je confirme la pertinence de la mesure de dimension fractale pour des objets naturels. Il me semble que Mandelbrot lui-même donne l'exemple de la pelote de laine dont la dimension fractale varie selon l'échelle à laquelle on la considère : ponctuelle de loin, c'est un volume de près, dont le bord est de dimension supérieure à 2 à petite échelle. Le fil est de dimension 1 tant qu'on n'y regarde pas de trop près et à la fin on retourne à la dimension zéro des atomes.
Concrètement, on mesure la côte de Bretagne avec des pas d'une certaine longueur puis on recommence avec des pas plus petits. En itérant le processus, on observe que cette longueur croît comme une fonction puissance du pas. Il ne reste qu'à déterminer une valeur approchée de l'exposant, que l'on peut noter . Cette dimension ne sera valide que pour des échelles macroscopiques, mais elle a un sens.
Rejeter ce type de calcul sous-prétexte que le calcul ne fonctionne plus en dessous d'une certaine échelle, ce serait comme réfuter le caractère parabolique de la trajectoire d'un corps en chute libre si cette chute prend fin (par exemple sur la tête d'un savant génial). Ambigraphe, le 2 septembre 2009 à 00:14 (CEST)[répondre]
Je suppose que tu n'as jamais observé qu'il existe des suites numériques qui décroissent d'abord et dont la limite est pourtant infinie genre (n!/10000000000^n) ? Le fait d'observer que l'on a un alignement sur quelques termes voire même sur "beaucoup" ne justifie rien du tout. Tu sais comme moi que la convergence d'une suite ne dépend jamais de ses premiers termes.Claudeh5 (d) 2 septembre 2009 à 00:36 (CEST)[répondre]
Passons sur ta supposition désobligeante. Je sais très bien que la limite ne dépend pas des valeurs d'un segment initial aussi grand soit-il. Mais il me semble exact de dire que la suite de terme général n!/10000000000^n est décroissante jusqu'à l'indice 10000000000. La méthode que je cite plus haut ne fait pas autre chose que de décrire un comportement sur une plage d'échelles et pas à la limite. Si on définit la dimension fractale uniquement comme la dimension de Hausdorff, il s'agit bien d'une limite qui n'a donc pas de sens pour les objets physiques moléculaires. Mais si on définit la dimension fractale par un procédé d'approximations successives, on obtient une définition qui s'applique aux objets réels. Ambigraphe, le 2 septembre 2009 à 14:00 (CEST)[répondre]
Le problème est que la dimension de Hausdorff est une limite.Pour les objets physiques,il y a donc à ce stade une hypothèse de continuité qui, non seulement n'est justifiée par rien mais dont on sait pertinemment qu'elle est fausse. C'est comme en mécanique des fluides: si l'on admet l'hypothèse de continuité des fluides on tombe sur le paradoxe de D'Alembert: il n'y a plus de trainée ! On ne peut pas, même avec toute la bonne volonté du monde poursuivre le processus indéfiniment, outre que tu tombes immanquablement sur l'échelle quantique.Claudeh5 (d) 2 septembre 2009 à 15:40 (CEST)[répondre]
Pour être clair, si le modèle mathématique qui permet de décrire l'objet physique, dans un domaine de validité certes borné mais significatif, est fractal (c'est à dire qu'il a une dimension de Hausdorff supérieure à sa dimension topologique), alors on peut dire (et on le dit) que l'objet lui-même est fractal. Le contraire serait de la dialectique un peu stérile (à mon sens). Prokofiev (d) 3 septembre 2009 à 11:32 (CEST)[répondre]
Ah mais c'est qu'on a un modèle mathématique de l'objet physique côte d'Angleterre... Il n'y a pas comme un tantinet de rêve là ?Claudeh5 (d) 3 septembre 2009 à 11:56 (CEST)[répondre]
Le modèle mathématique d'une côte rocheuse existe et a été amplement décrit par Mandelbrot. Celle de Grande-Bretagne plus particulièrement s'appuie sur les mesures de Lewis Fry Richardson.Prokofiev (d) 3 septembre 2009 à 13:16 (CEST)[répondre]
"c'est à dire qu'il a une dimension de Hausdorff supérieure à sa dimension topologique" Euh, à mon humble avis ne serait-ce pas plutôt inférieure ? il me semble que pour l'éponge de sierpinsky, on part d'un volume à 3 dimensions pour obtenir un être de dimension inférieure à 3, non ?Claudeh5 (d) 3 septembre 2009 à 11:56 (CEST)[répondre]
Si, c'est la définition de Falconer.Prokofiev (d) 3 septembre 2009 à 13:16 (CEST)[répondre]

Application au flocon de Von Koch[modifier le code]

Admettons que je dispose d'un objet physique qui ressemble au flocon de Von Koch. En mesurant son bord avec un pas de (1/3)^n, avec n variant dans un intervalle borné, j'obtiens une longueur de 3*(4/3)^n. Sur l'intervalle considéré, la longueur du bord est une fonction puissance du pas, d'exposant (log(4/3)/log(1/3)). Même sans pouvoir construire de limite, je peux attribuer à cet objet la dimension log(4)/log(3). Ambigraphe, le 2 septembre 2009 à 14:16 (CEST)[répondre]

Je suis navré de te dire que même si tu calcules ainsi le volume de l'éponge de Sierpinski, tu auras "sur l'intervalle considéré" un volume de dimension 3, mêm si ton volume suit une loi en puissance du nombre d'étapes. Tant que c'est fini, cela reste un corps ordinaire.Claudeh5 (d) 2 septembre 2009 à 15:40 (CEST)[répondre]
Oui, chacune des étapes de construction de l'éponge de Sierpinski est un volume de dimension 3. Tu peux être navré, je n'ai jamais écrit le contraire. Ambigraphe, le 3 septembre 2009 à 15:29 (CEST)[répondre]
J'admets que l'on puisse le faire pour des objets mathématiques pour lesquels la construction suit des règles immuables et connues. Mais pour un corps physique, qu'est-ce qui justifie qu'il y ait même une limite ? L'intuition de celui qui fait le calcul ? c'est tout de même léger.Claudeh5 (d) 7 septembre 2009 à 16:23 (CEST)[répondre]
Il n'y a pas de dimension de Hausdorff (laquelle reste bien une limite) pour les objets physiques. Le présent article ne parle pas de dimension de Hausdorff, mais de dimension fractale. Or des objets physiques peuvent très bien présenter une structure fractale dans un domaine d'échelles et dans ce cas, il y a un sens à calculer leur dimension fractale.
Ces deux notions de dimension ne se recouvrent que pour certains objets géométriques présentant une structure fractale, tel le flocon de Von Koch. Ambigraphe, le 9 septembre 2009 à 23:12 (CEST)[répondre]
Ah bon, tu m'as fait peur... j'avais cru lire que l'article s'intitulait "Liste de fractales par dimension de Hausdorff" mais j'ai du rêver...Claudeh5 (d) 9 septembre 2009 à 23:38 (CEST)[répondre]
Mea maxima culpa, comme dirait l'autre. J'étais tellement persuadé qu'il s'agissait de dimension fractale que je n'ai même pas fait attention au titre réel de l'article. Nous sommes donc parfaitement d'accord : soit on supprime tout ce qui n'est pas objet géométrique, soit on renomme la page « Liste de fractales par dimension ». Je préfère la seconde option. Ambigraphe, le 10 septembre 2009 à 14:10 (CEST)[répondre]
claudeh5=+1; Ambigraphe=+1 aussi. ;-)Claudeh5 (d) 10 septembre 2009 à 22:19 (CEST)[répondre]

Renommage et retouche[modifier le code]

Bon, puisqu'il est clair qu'il s'agit de dimension d'objets fractals, il vaudrait mieux éliminer la précision « de Hausdorff » du titre de l'article. Je serais pour également que la liste soit précédée de quelques lignes expliquant les différentes méthodes de calcul ou d'estimation de la dimension fractale, puis que les tableaux mélangent objets mathématiques et objets physiques. L'intérêt de la liste est justement de comparer les dimensions d'objets physiques avec celles d'objets idéaux. Ambigraphe, le 10 septembre 2009 à 14:36 (CEST)[répondre]

Liens externes modifiés[modifier le code]

Bonjour aux contributeurs,

Je viens de modifier 1 lien(s) externe(s) sur Liste de fractales par dimension de Hausdorff. Prenez le temps de vérifier ma modification. Si vous avez des questions, ou que vous voulez que le bot ignore le lien ou la page complète, lisez cette FaQ pour de plus amples informations. J'ai fait les changements suivants :

SVP, lisez la FaQ pour connaître les erreurs corrigées par le bot.

Cordialement.—InternetArchiveBot (Rapportez une erreur) 23 mars 2018 à 11:42 (CET)[répondre]

Erreur probable concernant l'hypercube de Cantor[modifier le code]

N'étant pas spécialiste des fractales, je ne peux pas juger si les valeurs indiquées sont correctes, mais constater ce qui me parait être une contradiction.

Pour le dit hypercube, la colonne de gauche indique le log de 16 en base 3 (qui vaut effectivement ~ 2,5237 selon mes calculs avec l'applicat. de Windows 10). Mais à droite (colonne des remarques) il est écrit: "D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à log_3(2)" -> ne serait-ce pas plutôt la puissance n de ce logarithme pour qu'elle soit égale au nombre de gauche pour n=4? Ou bien y a-t-il une distinction entre cette dimension et celle de Hausdorff? (toutes deux susceptibles d'être des nombres non entiers), la seconde étant censée être celle qu'on voit à gauche (d'après la ligne-titre du tableau et l'introduction)--Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 4 avril 2020 à 17:52 (CEST)[répondre]

Erreur concernant Fractale d'inversion à 5 cercles de dimension 1,328[modifier le code]

Il me semble que la ligne concernant la Fractale d'inversion à 5 cercles de dimension 1,328 est à supprimer.

En effet elle provient de https://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/CircInvFrac/CircDim/CircDim2.html qui a fait un calcul approché avec une droite de régression.

Le site est manifestement un travail réalisé par des étudiants :https://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/CircInvFrac/welcome.html

La fractale Liste de fractales par dimension de Hausdorff#/media/Fichier:Cicle inversion.svg est formée d'empilements apolloniens complets de triangles curvilignes dont la dimension de Hausdorff ne dépend pas des rayons des cercles :

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/27/7/007/pdf

donc est aussi égale au 1,3057 de la ligne précédente. Robert FERREOL (discuter) 19 février 2023 à 16:39 (CET)[répondre]