Triangle de Pascal

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Premières lignes du triangle de Pascal.

En mathématiques, le triangle de Pascal est une présentation des coefficients binomiaux dans un triangle. Il fut nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation triangle de Pascal en Occident, bien qu'il fut étudié par d'autres mathématiciens des siècles avant lui en Inde, Perse, Maghreb, Chine (où il est appelé « Triangle de Yang Hui »), Allemagne et Italie.

La construction du triangle est liée aux coefficients binomiaux selon la règle de Pascal qui s'énonce ainsi :

Si :(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k} alors : {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} pour tout entier positif n et tout entier k compris entre 1 et n−1.

Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionnelle est appelée la pyramide de Pascal ou le tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées simplexe de Pascal.

Histoire[modifier | modifier le code]

Triangle arithmétique chinois
Version de Blaise Pascal du triangle

La tradition attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en Orient et au Moyen-Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953 - 1029)[1] ou Omar Khayyam au XIe siècle ou des mathématiciens du Maghreb comme Ibn al-Banna[2] et ses disciples qui l'utilisent pour développer (a + b)n. Il apparaît en Chine dès 1261 dans un ouvrage de Yang Hui (au rang 6) et dans le Miroir de jade des quatre éléments de Zhu Shijie en 1303 (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du XIe siècle Jia Xian. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la formule du binôme et, selon Victor J. Katz, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à deux la méthode d'extraction de racine[3].

En Europe, il apparait dans l'ouvrage de Peter Apian, Rechnung[4] (1527). Il est étudié par Michael Stifel (1486 - 1567)[5], Tartaglia (1499 - 1557) et François Viète (1540-1603). C'est d'ailleurs sous le nom de « triangle de Tartaglia » qu'il est connu en Italie. Mais c'est Blaise Pascal qui lui consacre un traité : le Traité du triangle arithmétique (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition combinatoire des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du raisonnement par récurrence. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binôme. Il l'utilise dans la résolution d'un problème de partage équitable des enjeux dans un jeu de hasard qui est interrompu avant le terme défini (problème des partis)[note 1].

Construction[modifier | modifier le code]

Combinatoire[modifier | modifier le code]

PascalTriangleAnimated2.gif

En écrivant la formule de Pascal,

pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, {i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}

on remarque que le coefficient de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus on a :

{n \choose 0}={n \choose n}=1.

On en déduit une méthode de construction du triangle de Pascal, consiste, sous forme pyramidale, à placer 1 au sommet de la pyramide, puis 1 et 1 en dessous, de part et d'autre. Les extrémités des lignes sont toujours des 1, et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.

Sous forme triangulaire, i étant l'indice de ligne et j l'indice de colonne :

  • placer dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
  • en partant du haut et en descendant, compléter le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.

Nombre de chemins dans un réseau binaire[modifier | modifier le code]

Imaginons que chaque nombre dans le triangle est un nœud dans un réseau qui est connecté aux nombres adjacents du dessus et du dessous. Maintenant pour n'importe quel nœud dans le réseau, comptons le nombre de chemins qu'il y a dans le réseau (sans faire marche arrière) qui connecte ce nœud au nœud supérieur du triangle. La réponse est le nombre de Pascal associé à ce nœud.

Pascal's Triangle 4 paths.svg

Matricielle[modifier | modifier le code]

Matrice binomiale en tant que matrice exponentielle (matrices 5x5). Tous les points sont des zéros.

Facile à construire à partir des factorielles, il est possible de représenter le triangle de Pascal à l'aide de l'exponentielle d'une matrice : le triangle est le résultat de l'exponentielle d'une matrice dont la sous-diagonale contient 1, 2, 3, 4…, zéro ailleurs.

Informatique[modifier | modifier le code]

Un algorithme, en langage formel, de construction du triangle de Pascal peut se présenter comme suit, en utilisant la relation de récurrence entre coefficients binomiaux :

Variables :
Tableau de 1 à X de tableau de 1 à X d'entiers c (tableau bidimensionnel)
Entiers i, j, n, x
n ← 10    (* n est inférieur ou égal à la taille X utilisée dans le tableau c *)
c[0][0] ← 1

pour i de 1 à n faire
     c[i][0] ← 1
     pour j de 1 à i-1 faire
          c[i][j] ← c[i-1][j-1] + c[i-1][j]
     finpour
     c[i][i] ← 1
finpour

Le résultat d'un tel programme nous donnerait ainsi pour n = 23


                                                                    1
                                                                   1 1
                                                                  1 2 1 
                                                                 1 3 3 1 
                                                                1 4 6 4 1 
                                                              1 5 10 10 5 1 
                                                            1 6 15 20 15 6 1 
                                                           1 7 21 35 35 21 7 1 
                                                         1 8 28 56 70 56 28 8 1 
                                                       1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 
                                                   1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 
                                                 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 
                                               1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 
                                           1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 
                                       1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 
                                    1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 
                                1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 
                            1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 
                         1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 
                     1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 
              1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1 
          1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1 
      1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1 
1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1

Propriétés[modifier | modifier le code]

Liées à la construction[modifier | modifier le code]

La somme des diagonales ascendantes du triangle de Pascal forme la suite de Fibonacci.
Le nombre de coefficients impairs dans les diagonales ascendantes du triangle de Pascal forme la suite diatomique de Stern. Ci-dessus, les nombres impairs ont été remplacés par des 1 et les nombres pairs par des 0.
  • La somme des termes d'une ligne : la somme des termes sur la ligne de rang n (première ligne = rang 0) est égale à 2n.
  • Les crosses de hockey : Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant verticalement, on obtient le terme situé en diagonale en bas à droite du dernier terme de la colonne. Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant en diagonale vers la droite, on obtient le terme situé sous le dernier terme de la diagonale.
    Exemple : descente de 4 termes dans la colonne de rang 3 : 1 + 3 + 6 + 10 =.20 terme situé en bas à droite du dernier terme
    Exemple : Descente en diagonale de 5 termes à partir de la ligne de rang 4 : 1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126 terme situé sous le dernier
  • Le triangle est symétrique par rapport à un axe vertical, il en est de même pour chaque ligne, ex. 1, 4, 6, 4, 1.
  • Diagonale ascendante : la somme des termes des diagonales ascendantes forme la suite de Fibonacci. Si, au lieu d'en faire la somme, on compte le nombre de coefficients impairs sur les diagonales ascendantes, on obtient la suite diatomique de Stern.

Formule du binôme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule du binôme de Newton.

Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. En effet, on trouve sur une même ligne tous les coefficients intervenant dans le développement d'une puissance de la somme de deux termes.

Exemple : (X+1)^2=X^2+2X+1^2\, et les coefficients de chaque monôme sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal (la ligne de rang 2), c'est-à-dire 1, 2, 1.
Généralisation : (X+Y)^n=a_0X^nY^0+a_1X^{n-1}Y+a_2X^{n-2}Y^2+\ldots+a_nY^nX^0\,, où les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1e ligne du triangle de Pascal (ligne de rang n).

Connaissant ainsi la formule de sommation (a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}, plusieurs propriétés apparaissent simplement.

Posons a = b = 1, on a alors 2^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,{} .

Posons a = 1 et b = -1, on a alors 0 = \sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,(-1)^i .

Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est 2^{n-1} et est égale à la somme des termes d'ordre 1, 3, 5, ....

Propriété liée au dénombrement[modifier | modifier le code]

Le nombre situé dans la colonne p(en comptant à partir de 0 les colonnes) et la ligne n (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de combinaisons possibles de p éléments dans un ensemble à n éléments.

Dans la ligne n et la colonne p, on a {n \choose p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}.

  • Dans la ligne n et la colonne p, on lit le nombre de fois où l'on peut espérer obtenir p piles et n-p faces lors de 2n lancers d'une pièce équilibrée [note 2]
  • En multipliant un terme par le rang de sa colonne et en le divisant par le rang de sa ligne, on obtient le terme situé en cran plus haut sur la gauche
    exemple le terme dans la ligne 6 et la colonne 4 est 15 (on rappelle que les lignes et les colonnes sont numérotées en commençant à 0); Or 15 × 4/6=10 situé dans la case juste à côté en haut à gauche.
  • En multipliant le terme de ligne n et de colonne p par \frac{n-p}{p+1}, on obtient son voisin sur la droite
  • Tous les termes de la ligne de rang n (sauf le premier et le dernier) sont multiples de n si et seulement si n est un nombre premier

Nombres de Catalan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Catalan.

Toutes les lignes de rang pair (2n) ont un terme central, en divisant ce terme par n+1 ou en lui ôtant son voisin, on obtient un nombre de Catalan.

Triangle de Sierpinski[modifier | modifier le code]

Article détaillé : triangle de Sierpiński.
Un triangle de Sierpiński

En grisant les cases où apparaît un nombre impair et blanchissant les cases où apparaît un nombre pair, on obtient une image analogue au triangle de Sierpiński[6]. Il en est de même si on noircit toutes les cases qui ne sont pas congrues à 0 modulo p.

Nombres figurés[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre figuré.

Les nombres situés sur la troisième diagonale descendante correspondent aux nombres triangulaires, ceux de la quatrième diagonale aux nombres tétraédriques, ceux de la cinquième diagonale aux nombres pentatopiques et ceux de la n-ième diagonale aux nombres n-topiques.

Formules trigonométriques[modifier | modifier le code]

La formule du binôme appliqué à la formule de Moivre  (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) permet de développer cos(nθ) et sin(nθ).

Les coefficients situés sur la ligne de rang n permettent d'écrire tan(nθ) en fonction de t = tan(θ)

Exemple : sur la ligne 4 on lit 1 - 4 - 6 - 4 - 1 et \tan(4\theta) = \frac{4t -4t^3 }{1-6t^2 + t^4}
Formule générale : \tan(n\theta) = \frac{\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}{(-1)^k {n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k{n \choose 2k}t^{2k}}.

Les coefficients situés sur une diagonale ascendante permettent d'exprimer sin(n θ) comme produit de sin(θ) par un polynôme en cos(θ) (voir Polynôme de Tchebychev) :

Exemple : sur la diagonale ascendante de rang 5, on lit 1 - 3 - 1 et  \sin(5\theta)=\sin(\theta)\left((2\cos(\theta)^4 - 3(2\cos(\theta))^2 + 1)\right)
Généralisation[7] : si les termes de la diagonale ascendante de rang n sont a_{n,0}, a_{n,1}, \cdots a_{n,[(n-1)/2]}, on a  \sin(n\theta) = \sin(\theta)\left(\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k a_{n,k}\left(2\cos(\theta)\right)^{n-1-2k}\right)

Par conséquent, les coefficients situés sur la diagonale ascendante de rang n permettent de déterminer un polynôme de degré [(n-1)/2] dont les racines sont les valeurs  \left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2 [8] pour k variant de 1 à [(n-1)/2]

Exemple : sur la diagonale de rang 7, on lit 1 - 5 - 6 - 1, on sait donc que les  \left(2\cos\left(\frac{k\pi}7\right)\right)^2 (pour k=1,2,3) sont les racines de  P(x)= x^3 - 5x^2 + 6x - 1
Généralisation : P(x) = \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k a_{n,k} x^{[(n-1)/2] - k} a pour racines  \left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2


Transformée de Fourier de sin(x)n+1/x[modifier | modifier le code]

Comme nous l'avons vu précédemment, les coefficients de (x + 1)n sont la énième ligne du triangle. Les coefficients de (x − 1)n sont les mêmes, sauf que le signe est alterné.

Après une normalisation appropriée, la même suite de nombres est présente dans la transformée de Fourier de sin(x)n+1/x.

Plus précisément : si n est pair, il faut prendre la partie réelle de la transformée et si n est impair, il faut prendre la partie imaginaire.

Le résultat est alors une fonction en escalier dont les valeurs (convenablement normalisées) sont données par la ènième rangée du triangle en alternant les signes.

Ainsi :

\,\mathfrak{Re}\left(\text{Fourier} \left[  \frac{\sin(x)^5}{x}   \right]\right)

compose la 4ème rangée du triangle, avec des signes alternés.


C'est une généralisation du résultat suivant ( souvent utilisé en ingénierie électrique ) :

\,\mathfrak{Re}\left(\text{Fourier} \left[ \frac{\sin(x)^1}{x}\right] \right)

est la fonction de Heaviside.

La rangée correspondante du triangle est la rangée 0, qui est restreinte au nombre 1.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Binôme généralisé[modifier | modifier le code]

La formule du binôme généralisé est une importante généralisation du triangle de Pascal, car elle permet de manipuler des nombres complexes dans la base, tout comme d'utiliser des exposants complexes.

Généralisation aux dimensions supérieures[modifier | modifier le code]

Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal.

Généralisation pour rangées négatives[modifier | modifier le code]

Le triangle de Pascal se généralise pour les rangées négatives.

D'abord, il faut écrire le triangle sous la forme suivante :

m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 1 4 6 4 1 0 ...

Ensuite l'écrire de la façon suivante :

m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = -4 1 ...
n = -3 1 ...
n = -2 1 ...
n = -1 1 ...
n = 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 1 4 6 4 1 0 ...

La formule :

 {n \choose m} = {n-1 \choose m-1} + {n-1 \choose m}

peut être ré-arrangée de la façon suivante :

 {n-1 \choose m} = {n \choose m} - {n-1 \choose m-1}

ce qui permet le calcul des termes de rang négatif :

m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = −4 1 −4 10 −20 35 −56 ...
n = −3 1 −3 6 −10 15 −21 ...
n = −2 1 −2 3 −4 5 −6 ...
n = −1 1 −1 1 −1 1 −1 ...
n = 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 1 4 6 4 1 0 ...

Cette extension préserve les formules :


{n \choose m} = \frac{1}{m!}\prod_{k=0}^{m-1} (n-k) = \frac{1}{m!}\prod_{k=1}^{m} (n-k+1)
.

et


(1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k \quad |x| < 1

Ainsi :


(1+x)^{-2} = 1-2x+3x^2-4x^3+... \quad |x| < 1

Une autre alternative d'extension aux rangées négatives est la suivante :

m = -4 m = -3 m = -2 m = -1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = -3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = -2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = -1 1 0 0 0 0 0 0 ...
n = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

En appliquant les mêmes règles que précédemment, nous avons :

m = -4 m = -3 m = -2 m = -1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 ...
n = -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = -3 -3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = -2 3 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
n = -1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 ..
n = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
n = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
n = 2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
n = 3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
n = 4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Cette généralisation permet de conserver la propriété d'exponentielle d'une matrice. en effet, comme nous avons,


exp\begin{pmatrix}
. & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . \\
. & . & . & 4 & .
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & . & . & . & . \\
1 & 1 & . & . & . \\
1 & 2 & 1 & . & . \\
1 & 3 & 3 & 1 & . \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix} ,

nous avons,


exp\begin{pmatrix}
. & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
-4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & -3 & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & -2 & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & -1 & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & 0 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & 2 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & 3 & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & . & 4 & .
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
-4 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . \\
6 & -3 & 1 & . & . & . & . & . & . & . \\
-4 & 3 & -2 & 1 & . & . & . & . & . & . \\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 1 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 2 & 1 & . & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 3 & 3 & 1 & . \\
. & . & . & . & . & 1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix}

Ces deux généralisations peuvent être aussi obtenues à l'aide la fonction \Gamma(z), en écrivant :

 {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \equiv \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties.
  2. Formule exploitée par Pascal dans son problème des partis

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  2. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Ibn al-Banna », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  3. (en) V. J. Katz, A History Of Mathematics: An Introduction, 1992 (d'après Binomial Theorem and the Pascal Triangle, par l'UniSA)
  4. Site de Gérard Vilemin
  5. Henri Bosmans, Note historique sur le triangle arithmétique [PDF]
  6. Ian Stewart, « Les fractals de Pascal », Pour la Science, no 129, (1988), p. 100-105. Selon ce site
  7. Henri Immediato, Calcul pratique avec le triangle de Pascal
  8. Calcul les nombres réels COS(pi/n) grâce au triangle de Pascal

Annexes[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]