Variété riemannienne

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une variété riemannienne est une variété différentielle ayant une structure supplémentaire (une métrique riemannienne) permettant de définir la longueur d'un chemin entre deux points de la variété.

Définitions et exemples élémentaires[modifier | modifier le code]

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Une variété riemannienne est la donnée d'une variété différentielle M et, en chaque point m, d'une forme quadratique définie positive g_m sur l'espace tangent T_mM avec des hypothèses de régularité supplémentaires. Les espaces tangents (T_mM,g_m) sont des espaces euclidiens. Les hypothèses de régularité s'énoncent de deux manières équivalentes :

  1. L'application m\mapsto g_m est une section globale de classe Ck du fibré vectoriel S^2T^*M.
  2. Pour tous champs de vecteurs X,Y de M, l'application m\mapsto g_m(X_m,Y_m) est de classe Ck.

La donnée g est appelée métrique riemannienne sur M. Les métriques riemanniennes existent sur toute variété différentielle (paracompacte) et forment un cône convexe fermé de \Gamma S^2T^*M (avec des topologies raisonnables).

Si (M,g_1) et (N,g_2) sont deux variétés riemanniennes, une isométrie locale f:M\rightarrow N est une application différentiable vérifiant f^*g_2=g_1. Autrement dit, les différentielles df(x):T_xM\rightarrow T_{f(x)}N sont des applications linéaires isométriques. Par le théorème d'inversion locale, toute isométrie locale est un difféomorphisme local.

Une isométrie (globale) est une isométrie locale bijective.

Longueur et distance[modifier | modifier le code]

Les variétés riemanniennes sont les exemples les plus élémentaires de variétés de Finsler. Une métrique riemannienne g sur une variété différentielle connexe M définit sur chaque espace tangent une norme euclidienne, donnée par :

\|v\|=\sqrt{g(v,v)}

Par définition, la longueur d'une courbe C1 par morceaux γ : [a, b] → M est définie par :

L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;\mathrm dt.
  • La longueur d'une courbe est invariante par reparamétrage régulier.
  • La longueur du concaténé de deux courbes C1 par morceaux est la somme des longueurs.

Pour x,y\in M, on définit :

 \mathrm{d}(x,y)=\inf L(\gamma)

où l'infimum porte sur toutes les courbes C1 par morceaux d'origine x et d'extrémité y.

Comme les notations le laissent suggérer, d est une distance sur M appelée distance riemannienne. Il est à remarquer que cette dernière redéfinit la topologie de M.

Exemples fondamentaux[modifier | modifier le code]

Les sphères[modifier | modifier le code]

L'espace hyperbolique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Géométrie hyperbolique.

Disque de Poincaré : l'espace hyperbolique (H^n,g) est la boule unité de ℝn, munie de la métrique :

g = 4 \sum_{i = 1}^n \frac{\mathrm{d}x_i^2}{\left( 1 - \left\| x \right\|^2 \right)^2}

Modèle de Klein : l'espace hyperbolique est aussi représenté par la boule unité, mais la métrique est différente :

g = \frac{\left( \sum_{i=1}^n x_i \mathrm{d}x_i \right)^2}{\left(1-\left\| x \right\|^2 \right)^2} + \sum_{i = 1}^n \frac{\mathrm{d}x_i^2}{1 - \left\| x \right\|^2}

Dans ce modèle, les droites de l'espace hyperbolique sont des segments de la boule unité, contrairement au modèle de Poincaré, mais les angles ne sont pas conservés.

Demi-plan de Poincaré : ce modèle de l'espace hyperbolique est donné par la métrique définie sur le demi-espace supérieur \mathbb{R}_*^+\times\mathbb{R}^{n-1} :

g = \sum_{i = 1}^n \frac{\mathrm{d}x_i^2}{x_1^2}

Une isométrie explicite du disque unité sur le demi-plan supérieur est donnée par l'inversion de pôle t=(-1,0,\dots,0) :

x \mapsto t + 2 \frac{x - t}{\left\| x - t \right\|^2}

Remarque : l'espace hyperbolique H^2 intervient en arithmétique, domaine dans lequel on utilise habituellement le modèle du demi-plan supérieur. Toutefois, en géométrie, les goûts sont très largement partagés : le modèle du disque de Poincaré offre l'avantage d'un meilleur graphisme dans les figures. Il existe d'autres modèles (comme le modèle de l'hyperboloïde), peu utilisés en pratique.

De la connexion aux géodésiques[modifier | modifier le code]

Connexion de Levi-Civita[modifier | modifier le code]

Sur une variété riemannienne (M,g), il existe une unique connexion sans torsion (en) telle que, pour tous champs de vecteurs X,Y,Z :

X.g(Y,Z)=g(D_XY,Z)+g(Y,D_XZ).

Cette connexion est appelée la connexion de Levi-Civita de (M,g), ou la connexion canonique.

Si f:N\rightarrow M est une application différentiable, un champ de vecteurs le long de f est une section globale du fibré vectoriel f^*TM, soit donc une application X:N\rightarrow TM telle que, pour tout point n\in N, on a : X(n)\in T_{f(n)}M. On note \Gamma\left[f^*TM\right] l'espace des champs de vecteurs le long de f.

Équations des géodésiques[modifier | modifier le code]

 \frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}t^2}+\sum \Gamma^i_{jk}\left[x(t)\right]\frac{\mathrm{d}x^k}{dt}\frac{\mathrm{d}x^l}{dt}=0

Théorème de Hopf-Rinow[modifier | modifier le code]

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • Pour tout point m, l'application expm est définie sur T_mM
  • La variété (M,g) est géodésiquement complète, c'est-à-dire que les géodésiques sont définies sur ℝ.
  • L'espace M est complet pour la distance riemannienne.
  • Les boules fermées et bornées sont compactes.

Courbure[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Courbure.


Généralisations[modifier | modifier le code]

La notion de variété riemannienne se généralise dans deux directions complètement différentes.

  • On remplace g par un champ de formes quadratiques non dégénérées de signature quelconque

(variétés pseudo-riemanniennes). On a toujours une connexion de Levi-Civita, des géodésiques et une notion de courbure, mais les propriétés géométriques sont complètement différentes.

  • On s'intéresse à la structure métrique. Une généralisation naturelle est alors celle

d'espace de longueur. Ces espaces ont été particulièrement étudiés par l'école russe (D.A. Alexandrov, et plus récemment G. Perelman et M. Gromov).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Pierre Pansu, Cours de géométrie différentielle, niveau Master 2

Article connexe[modifier | modifier le code]

Variété sous-riemannienne (en)