Identité trigonométrique

Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : avec les fonctions trigonométriques, nous définirons $\sin^2$, $\cos^2$, etc., les fonctions telles que pour tout réel $x$, $\sin^2(x) = (\sin(x))^2$, ...

Relations entre fonctions trigonométriques

Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part de définitions

$\tan x =\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x =\frac{\cos x}{\sin x},\quad\ldots$

et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore, notamment :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1\quad\tan^2 x + 1 = \frac 1{\cos^2 x},\quad\cot^2 x + 1 = \frac 1{\sin^2 x}.$

Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant ($0 \le x \le \pi/2$).

	cos	sin	tan	cot	sec	csc
cos		$\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x}$	$\cos x = \frac1{\sqrt{1+\tan^2 x}}$	$\cos x = \frac{\cot x}{\sqrt{1+\cot^2 x}}$	$\cos x = \frac1{\sec x}$	$\cos x = \frac{\sqrt{\csc^2 x-1}}{\csc x}$
sin	$\sin x = \sqrt{1-\cos^2 x}$		$\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}$	$\sin x = \frac1{\sqrt{1+\cot^2 x}}$	$\sin x = \frac{\sqrt{\sec^2 x-1}}{\sec x}$	$\sin x = \frac1{\csc x}$
tan	$\tan x = \frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}$	$\tan x = \frac{\sin x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}$		$\tan x = \frac1{\cot x}$	$\tan x = \sqrt{\sec^2 x-1}$	$\tan x = \frac1{\sqrt{\csc^2 x-1}}$
cot	$\cot x = \frac{\cos x}{\sqrt{1-\cos^2x}}$	$\cot x = \frac{\sqrt{1-\sin^2x}}{\sin x}$	$\cot x = \frac1{\tan x}$		$\cot x = \frac1{\sqrt{\sec^2x-1}}$	$\cot x = \sqrt{\csc^2x-1}$
sec	$\sec x = \frac1{\cos x}$	$\sec x = \frac1{\sqrt{1-\sin^2x}}$	$\sec x = \sqrt{1+\tan^2x}$	$\sec x = \frac{\sqrt{1+\cot^2x}}{\cot x}$		$\sec x = \frac{\csc x}{\sqrt{\csc^2x-1}}$
csc	$\csc x = \frac1{\sqrt{1-\cos^2x}}$	$\csc x = \frac1{\sin x}$	$\csc x = \frac{\sqrt{1+\tan^2x}}{\tan x}$	$\csc x = \sqrt{1+\cot^2x}$	$\csc x = \frac{\sec x}{\sqrt{\sec^2x-1}}$

Propriétés liées au cercle trigonométrique

Symétries, parité

Parité - Réflexion d'axe $\theta=0$	Réflexion d'axe $\theta= \pi/4$	Réflexion d'axe $\theta= \pi/2$
$\begin{align} \sin(-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan \theta \\ \mathrm{cotan} (-\theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\mathrm{cotan} \theta \\ \mathrm{cotan}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \mathrm{cotan} (\pi - \theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \\ \end{align}$

Note : Toutes les formules sont également valables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : $\sin(\tfrac{\pi}{2} + \theta) = \sin(\tfrac{\pi}{2} - (-\theta)) = \cos(-\theta)$. Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.

Périodicité, décalages

Décalage de $\dfrac{\pi}{2}$	Décalage de $\pi$ (Période de tan et cotan)	Décalage de $2\pi$ (Période de sin et cos)
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{cotan} \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + \pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + 2\pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \end{align}$

Équations trigonométriques

Certaines des équations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes :

$\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})$

$\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=\pi-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})$

$\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})$

Formules d'addition et de différence

Le moyen le plus rapide pour retrouver ces formules est d'utiliser les formules d'Euler.

$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \,$

$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \,$

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \,$

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \,$

$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \,$

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \,$

Une conséquence intéressante de ces égalités est qu'elles permettent de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus :

$\alpha\sin x+\beta\cos x=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sin(x+\varphi)$

où

$\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha)$ si α est positif et $\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi$ sinon

Démonstration des formules d'addition

Il existe de nombreuses démonstrations possibles dont une utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, une autre la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire, ou bien en se servant des nombres complexes. La démonstration proposée ici démontre à la fois la formule du cosinus et celle du sinus. Elle utilise la propriété du changement de repère.

Sur le cercle trigonométrique, on considère le point $M$ tel que $(\vec i, \overrightarrow{OM}) = a$ et le point $M'$ tel que la base $(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'})$ soit orthonormale directe. Les deux vecteurs ont alors, dans la base $(\vec i, \vec j)$ respectivement les coordonnées $(\cos(a), \sin(a))$ et $(-\sin(a), \cos(a))$

On considère le point $N$ tel que $( \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = b$.

Dans la base $(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'})$ , le vecteur $\overrightarrow{ON}$ a pour coordonnées $(\cos(b) ; \sin(b))$. Ce qui conduit aux égalités vectorielles :

$\overrightarrow{ON} = \cos(b)\overrightarrow{OM}+ \sin(b)\overrightarrow{OM'}$

$\overrightarrow{ON} = \cos(b)(\cos(a) \vec i + \sin(a) \vec j) + \sin(b)(-\sin(a)\vec i + \cos(a) \vec j)$

$\overrightarrow{ON} = (\cos(b)\cos(a) - \sin(b)\sin(a)) \vec i + (\cos(b)\sin(a) + \sin(b)\cos(a)) \vec j$

D'autre part, puisque $(\vec i, \overrightarrow{ON}) = (\vec i, \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}) = a + b$, on a :

$\overrightarrow{ON} = \cos(a+b) \vec i + \sin(a+b) \vec j$

Les formules s'obtiennent alors par identification.

La formule de la tangente s'obtient alors par quotient

$\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\cos(b)\sin(a) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(b)\cos(a) - \sin(b)\sin(a)} = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

par division au numérateur et dénominateur par $\cos(a)\cos(b)$

Formules de duplication et d'angle moitié

Formules de l'angle double

Appelées aussi formules d'angle double, elle peuvent être obtenues en remplaçant $a$ et $b$ par $x$ dans les formules d’addition. On peut aussi les obtenir en utilisant le théorème de Pythagore pour les deux dernières, ou bien en utilisant la formule de Moivre avec $n = 2$ :

$\sin 2x \quad= 2\sin x \cos x \,$

$\cos 2x \quad= \cos^2 x - \sin^2 x \quad= 2 \cos^2 x - 1 \quad= 1 - 2 \sin^2 x \,$

$\tan 2x \quad= \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \quad= \frac{2 \cot x}{\cot^2 x - 1} \quad= \frac{2}{\cot x - \tan x} \,$

Une conséquence de la formule de duplication du cosinus est la suivante :

$\left( \forall n > 1 \right) \cos\left( \frac{\pi}{2^n} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \,$

avec (n - 1) radicaux imbriqués et autant de nombres « 2 » sous ces radicaux. En passant à la limite, on a une démonstration du fait que :

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}} = 2\,$

Formules de réduction du carré

Ces formules permettent d'écrire $\cos^2(x)$, $\sin^2(x)$ et $\tan^2(x)$ en fonction du cosinus de l'angle double.

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

$\tan^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}$

Formules d'angle moitié

$\left|\cos\left(\frac x2\right)\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}2},\qquad\left|\sin\left(\frac x2\right)\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}2}$

$\tan\left(\frac x2\right)=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$

Démonstration

Les deux premières identités se déduisent des formules de réduction des carrés en remplaçant $x$ par $\tfrac x2$.

La troisième s'obtient en écrivant

$\tan\left(\frac x2\right)=\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}=\frac{2\cos(x/2)}{2\cos(x/2)}\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)},$

puis en remplaçant le numérateur par $\sin(x)$ d'après la formule d'angle double, et le dénominateur par $1+\cos(x)$ selon la formule de réduction du carré.

La dernière (où $\sin(x)$ est supposé non nul) se déduit de

$\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x).~$

Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »

Si on pose $t=\tan(\tfrac{x}{2})$, on a :

$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

$\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}$

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera :

$\mathrm d x = \frac{2\mathrm d t}{1 + t^2}$

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Formules de Simpson

Transformation de produits en sommes

$\cos p\cos q=\frac{1}{2}\bigl(\cos(p+q)+\cos(p-q)\bigr)$

$\sin p\cos q=\frac{1}{2}\bigl(\sin(p+q)+\sin(p-q)\bigr)$

$\sin p\sin q=\frac{1}{2}\bigl(\cos(p-q)-\cos(p+q)\bigr)$

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition

Transformation de sommes en produits

$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

Il suffit de remplacer p par $\tfrac{p+q}{2}$ et $q$ par $\tfrac{p-q}{2}$ dans les formules de transformation de produit en somme.

$\tan p + \tan q = \frac{\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}$

Formules d'Euler

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

On en déduit que

$\tan x=\frac{i(1-e^{2ix})}{1+e^{2ix}}$

Article détaillé : Formules d'Euler.

Article connexe : Trigonométrie complexe.

Formule de Moivre et formules d'angle multiple

La formule de Moivre s'écrit :

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x +i\sin x )^n\,\!$ où $i$ est l'unité imaginaire.

Si $T_n$ est le $n$-ième polynôme de Tchebychev alors

$\cos(nx)=T_n(\cos x )\,\!.$

Pour tout entier naturel n on a

$\cos(nx)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}~{n \choose n-2k}~(-1)^k~cos^{n-2k} x \ ~(1- cos^2 x )^k$

Le noyau de Dirichlet $D_n$ est la fonction définie par :

pour tout réel $x$, $D_n(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}$

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période $2\pi$ avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre $n$ de sa série de Fourier.

Linéarisation

$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$

$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$

Connaissant la formule de Moivre :

$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \,$ ;

il suffit alors de développer la somme grâce à la formule du binôme de Newton, à regrouper les termes sachant que

$e^{i(n-k)x}e^{-ikx} = e^{i(n-2k)x}\,$

$e^{inx} + e^{-inx} = 2\cos (nx)\,$

$e^{inx} - e^{-inx} = 2i\sin (nx)\,$

Formules de linéarisation de degré 2

$\cos^2 a + \sin^2 a = 1~$

$\cos^2 a = {{1 + \cos(2a)} \over 2}$

$\sin^2 a = {{1 - \cos(2a)} \over 2}$

$\tan^2 a = {{1 - \cos(2a)} \over {1 + cos(2a)}}$

Formules de linéarisation de degré 3

$\cos^3 a = {{3 \cos a + \cos(3a)} \over 4}$

$\sin^3 a = {{3 \sin a - \sin(3a)} \over 4}$

$\tan^3 a = {{3 \sin a - \sin(3a)} \over {3 \cos a + \cos(3a)}}$

Formules de linéarisation : généralisation

$\begin{align} & \sin ^{2n}x=\left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^{2n} \\ & \sin ^{2n}x=\frac{1}{\left( 2i \right)^{2n}}\left( \left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)e^{ixk}\left( -1 \right)^{k}e^{-ix\left( 2n-k \right)}+\left( \begin{matrix} 2n \\ 2n-k \\ \end{matrix} \right)e^{ix\left( 2n-k \right)}\left( -1 \right)^{2n-k}e^{-ixk} \right)} \right) \\ & \sin ^{2n}x=\frac{1}{\left( -4 \right)^{n}}\left( \left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)\left( e^{-ix\left( 2n-2k \right)}+e^{ix\left( 2n-2k \right)} \right)} \right) \\ & \sin ^{2n}x=\frac{1}{\left( -4 \right)^{n}}\left( \left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+2\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)\left( \cos \left( \left( 2n-2k \right)x \right) \right)} \right) \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\sin ^{2n}x=\frac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)-2\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ n-1-k \\ \end{matrix} \right)\cos \left( 2\left( k+1 \right)x \right)} \right)}}}} \\ & \sin ^{2n+1}x=\left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^{2n+1} \\ & \sin ^{2n+1}x=\frac{1}{\left( 2i \right)^{2n+1}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)e^{ixk}\left( -1 \right)^{2n+1-k}e^{-ix\left( 2n+1-k \right)}+\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ 2n+1-k \\ \end{matrix} \right)e^{ix\left( 2n+1-k \right)}\left( -1 \right)^{k}e^{-ixk} \right)} \\ & \sin ^{2n+1}x=\frac{1}{\left( -4 \right)^{n}2i}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)\left( e^{ix\left( 2n+1-2k \right)}-e^{-ix\left( 2n+1-2k \right)} \right)} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\sin ^{2n+1}x=\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)\sin \left( \left( 2k+1 \right)x \right)}}}}} \\ & \bullet \text{ }x\leftarrow x+\frac{\pi }{2} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\cos ^{2n}x=\frac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+2\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{matrix} 2n \\ n-1-k \\ \end{matrix} \right)\cos \left( 2\left( k+1 \right)x \right)} \right)}}}} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\cos ^{2n+1}x=\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)\cos \left( \left( 2k+1 \right)x \right)}}}}} \end{align}$

Fonctions trigonométriques réciproques

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

$y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\quad \text{avec}\quad y\in\left[\frac{-\pi}{2}\, ;\frac{\pi}{2}\right]$

$y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\quad \text{avec}\quad y\in\left[0\, ;\pi\right]$

$y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\quad \text{avec}\quad y\in\left]\frac{-\pi}{2}\, ;\frac{\pi}{2}\right[$

Si $x > 0$ alors

$\arctan(x)+\arctan\left(\frac1x\right)=\frac{\pi}{2}$.

Si $x < 0$ alors le côté droit de l'égalité doit être remplacé par $-\tfrac{\pi}{2}$.

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) + k\pi$

où

$k = 0 \quad \text{si} \quad xy < 1$

$k = 1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x>0$

$k = -1 \quad \text{si} \quad xy > 1 \quad \text{et} \quad x<0$

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore.

Relations entre fonctions trigonométriques inverses pour x>0.

	arccos	arcsin	arctan	arccot
arccos		$\arccos x = \frac\pi2-\arcsin x$	$\arccos x = \arctan \frac {\sqrt{1-x^2}}x$	$\arccos x = \arccot \frac x{\sqrt{1-x^2}}$
arcsin	$\arcsin x = \frac\pi2-\arccos x$		$\arcsin x = \arctan \frac x{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x = \arccot \frac {\sqrt{1-x^2}}x$
arctan	$\arctan x = \arccos \frac 1{\sqrt{1+x^2}}$	$\arctan x =\arcsin \frac x{\sqrt{1+x^2}}$		$\arctan x = \arccot \frac 1x$
arccot	$\arccot x = \arccos \frac x{\sqrt{1+x^2}}$	$\arccot x = \arcsin \frac1 {\sqrt{1+x^2}}$	$\arccot x = \arctan \frac 1x$

Propriétés métriques dans un triangle quelconque

Article détaillé : résolution d'un triangle.

Cet article ou cette section concernant les mathématiques doit être recyclé. Une réorganisation et une clarification du contenu est nécessaire. Discutez des points à améliorer en page de discussion.

Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus

Article détaillé : Théorème d'Al-Kashi.

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors on a :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\ \cos\ \gamma.$

Formule des sinus

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Soit un triangle ABC de côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$ (le côté [AB] est de longueur $c$, etc.), d'aire $S$, de hauteur $h$, de demi-périmètre $p$ et dont le rayon du cercle circonscrit est $R$ (voir figure ci-contre). Nous avons l'égalité suivante :

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{abc}{2S} = \frac{abc}{2pr} = 2R$

Il suffit de voir que $ha = 2S$ avec $h = c\sin \beta$ donc $abc\sin \beta = 2Sb$. D'autre part soit $I$ le point de concours des bissectrices $r$ le cercle inscrit $ra +rb + rc = 2S = 2rp$.

Formule des différences des côtés

$b - c = a \cdot {{\sin({{B-C} \over 2})} \over {\cos({A \over 2})}}$

${{b-c} \over {b+c}} = \frac{\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)}{\tan\left(\frac{B+C}{2}\right)}$

$\tan\left(\frac{A}{2}\right) = { r \over {p-a}}$

(Se rappeler que $\tfrac{A}{2}$ étant aigu, $\tan\left(\tfrac{A}{2}\right) = \sqrt{\tfrac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}}$ et appliquer le théorème d'Al-Kashi.

Identités sans variable

Richard Feynman s'est rappelé toute sa vie cette curieuse identité, qu'il appelait Morrie's law :

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\tfrac18.$

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable et s'obtient à partir de l'égalité :

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

Les relations suivantes peuvent aussi être considérées comme des identités sans variable :

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\tfrac12.$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\tfrac12.$

Il se trouve que la mesure en degrés des angles ne donne pas une formule plus simple qu'avec la mesure en radians lorsque nous considérons cette identité avec 21 aux dénominateurs :

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21} +\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac12.$

Mais les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 peuvent nous faire penser aux entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21. Les derniers exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans la relation précédente.

En analyse

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

Encadrement

L'analyse consiste souvent à encadrer une fonction. La signification géométrique du sinus et de la tangente « montre » que pour x inférieur à $^{\frac \pi 2}$ :

$\sin (x) \leq x \leq \tan(x)$.

Cet encadrement est souvent utilisé ; un exemple est la méthode d'Archimède pour le calcul de $\pi$ (voir quadrature du cercle).

Dérivées

Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, alors leurs dérivées peuvent être obtenues en établissant préalablement ces limites :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}x=1$,

et

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0$ ;

et en utilisant alors la définition avec les limites de la dérivée en un point ainsi que les théorèmes d'addition ; si les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries de Taylor, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.

${\mathrm d\over \mathrm dx} \sin (x) = \cos(x) = \sin\left(x + \frac \pi{2}\right)$

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation, par exemple :

${\mathrm d\over \mathrm dx} \cos (x) = -\sin(x) = \cos\left(x + \frac \pi2\right)$

${\mathrm d\over \mathrm dx} \tan (x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x) } = \sec^2(x)$

${\mathrm d\over \mathrm dx} \,\mathrm{cotan} (x) = -1 - \,\mathrm{cotan}^2(x) = -\frac1{\sin^2(x) } = - \mathrm{cosec}^2(x)$

${\mathrm d\over \mathrm dx} \arcsin (x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

${\mathrm d\over \mathrm dx} \arccos (x)=-{\mathrm d\over \mathrm dx} \arcsin (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

${\mathrm d \over \mathrm dx} \arctan (x)=\frac1{1+x^2}$

Primitives

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques.

Articles connexes

• Fonction hyperbolique
• Trigonométrie

Bibliographie

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail des éditions] [lire en ligne] .