Série de Taylor

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor d'une fonction f (au voisinage d'un point a), appelée aussi le développement en série de Taylor de f, est une série entière construite à partir de f et de ses dérivées successives en a.

Brook Taylor,
Celui dont la série porte le nom.

Pour les fonctions usuelles (dites analytiques), dans un intervalle autour de 0, plus le degré du polynôme de Taylor augmente, plus sa courbe se rapproche de la courbe de la fonction de départ. Cette image montre la courbe de $\sin x$ (en noir) et les approximations des polynômes de Taylor selon le degré du polynôme 1, 3, 5, 7, 9, 11 et 13.

Définition

Soit f une fonction indéfiniment dérivable d'une variable réelle ou complexe et a un point au voisinage duquel la fonction est définie. La série de Taylor de f en a est la série de fonctions suivante :

$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\,$

ce qui s'écrit sous forme synthétique comme suit :

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$.

n! est la factorielle de n (le produit des entiers de 1 à n) et f ⁽ⁿ⁾(a) désigne la dérivée n-ième de f au point a.

Cette série de fonctions (convergente ou non) est une série entière de la variable x - a.

La notation a encore un sens en analyse fonctionnelle dans les algèbres normées, réelles ou complexes ; mais cette généralisation ne sera pas abordée dans cet article.

Si a = 0, la série est aussi appelée la série de Maclaurin de f.

Développements en série de Maclaurin des fonctions usuelles

Notations : dans le tableau ci-dessous, on a utilisé les notations suivantes :

• Les nombres B_2n apparaissant dans les développements de tan(x) et de th(x) sont les nombres de Bernoulli.
• ${\alpha \choose n}$, apparaissant dans le développement de $(1+x)^\alpha$, est un coefficient binomial (généralisé) : ${\alpha \choose n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}$ .
• Les nombres E_k dans le développement de sec(x) sont les nombres d'Euler.

Nom de la fonction :	Série de Maclaurin:		Rayon de convergence :
Exponentielle	$e^{x} =$	$\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}$	Infini
Logarithme	$\ln(1+x) =$	$\sum^{\infin}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}n x^n$	1
Somme d'une série géométrique	$\frac{1}{1-x} =$	$\sum^{\infin}_{n=0}x^n$	1
Série du binôme	$(1+x)^\alpha =$	$1+ \sum^{\infin}_{n=1}{\alpha \choose n}x^n$	1
Fonctions trigonométriques :	$\sin(x) =$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$	Infini
	$\cos(x) =$	$\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$	Infini
	$\tan(x) =$	$\sum^{\infin}_{n=1} |B_{2n}| \frac{4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$	$\frac{\pi}{2}$
	$\sec(x) =$	$\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$	$\frac{\pi}{2}$
	$\arcsin (x) =$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$	1
	$\arccos (x) =$	$\frac{\pi}{2} - \sum^{\infin}_{n=0}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$	1
	$\arctan (x) =$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$	1
Fonctions hyperboliques :	$\mathrm {sh}( x )=$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$	Infini
	$\mathrm {ch}( x )=$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$	Infini
	$\mathrm {th}( x )=$	$\sum^{\infin}_{n=1} B_{2n} \frac{4^n(4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$	$\frac{\pi}{2}$
	$\mathrm {argsh}( x )=$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{(-1)^n (2n)!}{4^n(n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$	1
	$\mathrm {argth}( x )=$	$\sum^{\infin}_{n=0}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}$	1
Fonction W de Lambert	$W_0( x )=$	$\sum^{\infin}_{n=1}\frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n$	$\frac{1}{e}$

Convergence de la série de Taylor

La série de Taylor est une série entière. Elle admet donc un rayon de convergence R, et sur le disque de centre a et de rayon R, la série converge normalement sur tout compact. Cependant,

• Le rayon de convergence ne donne en général pas de renseignements sur la taille du domaine de définition de f.
• Pour des fonctions de variable réelle, la somme de la série de Taylor de f en a sur son disque de convergence peut être différente de la fonction f ;
• Pour des fonctions f de variable réelle, il peut arriver que R soit nul (la série diverge en tout point autre que l'origine), bien que f soit indéfiniment dérivable en tout point ; ces deux derniers phénomènes ne peuvent se produire pour des fonctions de variable complexe.

Par exemple, si f(x)  =  exp(-1/x²), prolongée par continuité en 0 par f(0)=0, alors f est indéfiniment dérivable en tout point, et toutes les dérivées de f sont nulles en x = 0, donc la somme de la série de Taylor de f est nulle (et son rayon de convergence est infini), alors que la fonction n'est jamais nulle, sauf en 0. Ce phénomène vient de ce que la fonction est plate (en) (négligeable près de 0 par rapport à toute puissance de x).

Si la fonction f vaut la somme de sa série entière au voisinage de a, alors on dit que f est analytique. Cette définition est valable aussi bien pour les fonctions d'une variable réelle que pour les fonctions d'une variable complexe. Toutefois, une fonction d'une variable complexe analytique est appelée holomorphe : pour qu'elle le soit, il suffit de la supposer dérivable. C'est un des premiers résultats de rigidité en analyse complexe.

Les sommes partielles d'une série de Taylor peuvent être utilisées pour calculer des valeurs approchées de la fonction au voisinage d'un point : voir l'article Développement limité.

Articles connexes

• Théorème de Taylor
• Série de Laurent
• Formulaire de développement en série entière