Fonction monotone

Dans l'étude des fonctions numériques à valeurs dans ℝ, les fonctions monotones tiennent une grande place. Ce sont les fonctions dont le sens de variation ne change pas. Une fonction monotone sur un intervalle est une fonction qui reste croissante ou qui reste décroissante sur cet intervalle.

La représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas sous cette forme que la propriété de monotonie se révèle la plus intéressante. Une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux réels se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents.

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée.

Définitions

Soient I un intervalle de ℝ et une f une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalle I.

Monotonie au sens large

On dit que f est :

• croissante (ou : croissante au sens large) sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x ≤ y, on a f(x) ≤ f(y) ;
• décroissante (ou : décroissante au sens large) sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x ≤ y, on a f(x) ≥ f(y) ;
• monotone (ou : monotone au sens large) sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.

Exemple : pour tout réel x, notons ici E(x) la partie entière de x (c'est l'unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1). La fonction E : ℝ → ℝ est croissante sur ℝ mais pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle [i , i + 1[ d'extrémités entières.

Monotonie stricte

On dit que f est :

• strictement croissante sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x < y, on a f(x) < f(y) ;
• strictement décroissante sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x < y, on a f(x) > f(y) ;
• strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I

Exemples : soit n un entier strictement positif.

• La fonction x ↦ xⁿ, de ℝ⁺ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ⁺.
  En effet, si a, b, a' et b' sont des réels tels que 0 ≤ a < b et 0 ≤ a' < b', alors aa' < bb'. On en déduit par récurrence sur l'entier n que pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls tels que x < y, on a xⁿ < yⁿ.
• Lorsque n est impair, la fonction x ↦ xⁿ, de ℝ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ.
  En effet, elle est strictement croissante sur ℝ⁺ (cf. l'exemple précédent) et impaire.

Remarque 1 : pour qu'une fonction f soit croissante (resp. strictement croissante) sur I, il faut et il suffit que –f soit décroissante (resp. strictement décroissante) sur I.

Remarque 2 : pour qu'une fonction monotone f de I dans ℝ ne le soit pas strictement, il faut (et bien sûr il suffit) qu'il existe un intervalle J inclus dans I, non vide et non réduit à un point, sur lequel f est constante.

Justification de la remarque 2

Supposons par exemple que f est croissante sur I, mais pas strictement croissante. Il existe donc dans I deux réels a < b tels que f(a) < f(b) n'ait pas lieu. Alors f(b) ≤ f(a) et pour tout x ∈ [a, b], par croissance de f, f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), donc f(b) ≤ f(x) ≤ f(b), ce qui prouve que f est constante sur [a, b].

Propriétés

Propriétés élémentaires

Opérations algébriques

Soient deux fonctions croissantes sur I. Alors :

• leur somme est croissante
• si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant

(propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes).

Composition

Soient deux fonctions f : I → ℝ et g : J → ℝ, où I et J sont deux intervalles réels tels que f(I) ⊂ J ; on peut définir la fonction composée g ∘ f : I → ℝ.

Si f est monotone sur I et g monotone sur J, alors g ∘ f est monotone sur I. Plus précisément :

• si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors g ∘ f est croissante ;
• si l'une des deux fonctions f, g est croissante et l'autre décroissante, alors g ∘ f est décroissante.

On a une propriété analogue pour les fonctions strictement monotones.

Injectivité

Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est-à-dire que deux éléments de I distincts ont des images distinctes. En effet, si x, y sont deux éléments de I distincts on a (en supposant par exemple f strictement croissante) si x < y alors f(x) < f(y),
si x > y alors f(x) > f(y), donc dans les deux cas, f(x) et f(y) sont distincts. Cette propriété, associée au théorème des valeurs intermédiaires, se révèle utile pour la recherche du nombre de racines d'une fonction.

Propriétés relatives à la continuité et aux limites

Théorème de la limite monotone pour une fonction

Article détaillé : Théorème de la limite monotone.

Soient ]a, b[ un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante f : ]a, b[ → ℝ. Alors :

• f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à gauche et une limite à droite, finies, qu'on note respectivement f(x^–) et f(x⁺) ; elles vérifient la double inégalité f(x^–) ≤ f(x) ≤ f(x⁺) ;
• f admet une limite à gauche en b, finie ou égale à +∞ ; cette limite est finie si et seulement si f est majorée.
• f admet une limite à droite en a, finie ou égale à –∞ ; cette limite est finie si et seulement si f est minorée.

Un théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit immédiatement en remplaçant f par –f.

Une application classique de ce théorème concerne les fonctions de répartition des variables aléatoires réelles.

Points de discontinuité

Théorème de Froda (en) (1929) : l'ensemble D des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable). En effet, en notant ε_x = f(x⁺) – f(x^–), la famille (ε_x)_{x ∈ D ∩ [c, d]} de réels strictement positifs est sommable donc au plus dénombrable pour tout [c,d] inclus dans l'intervalle de monotonie.

Monotonie et signe de la dérivée

Une utilisation classique et importante du calcul différentiel est la caractérisation, parmi les fonctions dérivables (d'une variable réelle, et à valeurs réelles), de celles qui sont monotones (au sens large ou au sens strict) sur un intervalle.

Théorème — Soient I un intervalle réel et f : I → ℝ une application dérivable sur I.

• f est croissante sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0.
• f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0 et de plus l'ensemble des points où la dérivée f ' s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire que chaque intervalle qu'il contient est vide ou réduit à un point).
• Un théorème analogue caractérise, parmi les fonctions dérivables, celles qui sont décroissantes, ou strictement décroissantes.
• f est constante sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, f ' (x) = 0.

Démonstration

(On suppose que I contient au moins deux points.)

• Supposons f croissante sur I. Soit x ∈ I ; il existe un réel α > 0 tel que l'un au moins des deux intervalles [x – α, x[ ou ]x, x + α] soit inclus dans I. Pour tout réel non nul h tel que x + h ∈ I, (f(x + h) – f(x))/h ≥ 0 par croissance de f (si h > 0, le numérateur est positif ou nul, et si h < 0, le numérateur est négatif ou nul).
  On conclut que la dérivée f ' (x) est positive ou nulle, car c'est la limite quand h → 0 du quotient précédent, à valeurs dans ℝ⁺.
• Réciproquement, supposons que pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0. Soit un couple (x, y) d'éléments de I tel que x < y : on va montrer que f(x) ≤ f(y).
  On peut appliquer à f le théorème des accroissements finis sur l'intervalle [x, y] : il existe c ∈ ]x, y[ tel que f(y) – f(x) = (y – x)f ' (c) ; comme f ' (c) ≥ 0 (par hypothèse) et y – x > 0, on en déduit f(y) – f(x) ≥ 0, d'où la croissance de f sur I.
• On a donc montré la première équivalence. L'énoncé analogue sur les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant f par –f et la conjonction des deux énoncés prouve la dernière équivalence, puisqu'une fonction est constante sur I si et seulement si elle est à la fois croissante et décroissante.
• La deuxième équivalence résulte alors immédiatement de la première et la dernière, en utilisant la remarque 2 supra.

Remarques.

• Il en résulte qu'une condition suffisante pour qu'une fonction dérivable f : I → ℝ soit strictement croissante sur I est que pour tout x ∈ I, f ' (x) > 0. Mais cette condition n'est nullement nécessaire, comme le montrent l'énoncé du théorème et les deux exemples suivants.
• Ce théorème se généralise aux fonctions continues sur un intervalle mais dérivables seulement sur le complémentaire d'un sous-ensemble dénombrable : cf. Inégalité des accroissements finis.

Exemple 1 : la fonction f : x ↦ x³, de ℝ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ (cf. Exemples dans le § Monotonie stricte). Le critère ci-dessus permet de le redémontrer :

• elle est dérivable, et pour tout réel x, f ' (x) = 3x² ≥ 0 ;
• de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est {0} ; il est d'intérieur vide.

Exemple 2 : la fonction f : x ↦ x + cos x, de ℝ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ. En effet :

• elle est dérivable, et pour tout réel x, f ' (x) = 1 – sin x ≥ 0 ;
• de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est$\frac\pi2+2\pi\Z=\left\{x\in\R\mid\exists k\in\Z,x=\frac\pi2+2k\pi\right\},$qui est d'intérieur vide (il est même dénombrable).

Propriétés liées à la théorie de l'intégration

Une fonction croissante est dérivable presque partout (on montre d'abord – grâce à l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood – que ses quatre dérivées de Dini sont finies presque partout, puis – grâce au théorème de recouvrement de Vitali – qu'elles sont égales ; une autre méthode pour cette seconde étape est de la démontrer dans le cas où la fonction est continue – grâce au lemme du soleil levant – puis de remarquer que toute fonction croissante est somme d'une fonction croissante continue et d'une « fonction de saut » et que cette dernière est presque partout de dérivée nulle).

On en déduit deux corollaires :

• Toute fonction à variation bornée d'un intervalle réel dans ℝ est dérivable presque partout (comme différence de deux fonctions croissantes).
• Théorème de différentiation de Fubini : une série de fonctions croissantes est presque partout dérivable terme à terme.

Articles connexes

• Opérateur monotone : extension de la notion de monotonie aux multifonctions
• Théorème de la bijection