Fonction monotone

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Une fonction monotone est une fonction numérique (généralement, voir ci-dessous) qui reste toujours soit croissante, soit décroissante : c'est-à-dire qu'elle a un sens de variation constant.

La représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs images, pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents. C'est ainsi que l'on peut généraliser la notion de fonction monotone à toute fonction sur un ensemble ordonné.

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou négatif.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient I un intervalle de et f une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalle I.

Monotonie au sens large[modifier | modifier le code]

On dit que f est[1] :

  • croissante (ou : croissante au sens large) sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x ≤ y, on a f(x) ≤ f(y) ;
  • décroissante (ou : décroissante au sens large) sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x ≤ y, on a f(x) ≥ f(y) ;
  • monotone (ou : monotone au sens large) sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.

Exemple : pour tout réel x, notons ici E(x) la partie entière de x (c'est l'unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1). La fonction E : ℝ → ℝ est croissante sur ℝ mais pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle [i , i + 1[ d'extrémités entières.

Monotonie stricte[modifier | modifier le code]

On dit que f est :

  • strictement croissante sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x < y, on a f(x) < f(y) ;
  • strictement décroissante sur I sipour tout couple (x, y) d'éléments de I tels que x < y, on a f(x) > f(y) ;
  • strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I

Exemples : soit n un entier strictement positif.

  • La fonction xxn, de ℝ+ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ+.
    En effet, si a, b, a' et b' sont des réels tels que 0 ≤ a < b et 0 ≤ a' < b', alors aa' < bb'. On en déduit par récurrence sur l'entier n que pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls tels que x < y, on a xn < yn.
  • Lorsque n est impair, la fonction xxn, de ℝ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ.
    En effet, elle est strictement croissante sur ℝ+ (cf. l'exemple précédent) et impaire.

Remarque 1 : pour qu'une fonction f soit croissante (resp. strictement croissante) sur I, il faut et il suffit que –f soit décroissante (resp. strictement décroissante) sur I.

Remarque 2 : pour qu'une fonction monotone f de I dans ℝ ne le soit pas strictement, il faut (et bien sûr il suffit) que I contienne un intervalle non trivial (c'est-à-dire non vide et non réduit à un point) sur lequel f est constante.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Opérations algébriques[modifier | modifier le code]

Soient deux fonctions croissantes sur I. Alors :

  • leur somme est croissante
  • si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant
(propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes).

Composition[modifier | modifier le code]

Soient deux fonctions f : I → ℝ et g : J → ℝ, où I et J sont deux intervalles réels tels que f(I) ⊂ J ; on peut définir la fonction composée gf : I → ℝ.

Si f est monotone sur I et g monotone sur J, alors gf est monotone sur I. Plus précisément :

  • si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors gf est croissante ;
  • si l'une des deux fonctions f, g est croissante et l'autre décroissante, alors gf est décroissante.

On a une propriété analogue pour les fonctions strictement monotones.

Injectivité[modifier | modifier le code]

Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est injective, c'est-à-dire que deux éléments de I distincts ont des images distinctes. En effet, si x, y sont deux éléments de I distincts on a (en supposant par exemple f strictement croissante) si x < y alors f(x) < f(y),
si x > y alors f(x) > f(y),
donc dans les deux cas, f(x) et f(y) sont distincts.
Cette propriété, associée au théorème des valeurs intermédiaires, se révèle utile pour la recherche du nombre de racines d'une fonction.

Propriétés relatives à la continuité et aux limites[modifier | modifier le code]

Théorème de la limite monotone pour une fonction[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de la limite monotone.

Soient ]a, b[ un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante f : ]a, b[ → ℝ. Alors :

  • f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à gauche et une limite à droite, finies, qu'on note respectivement f(x) et f(x+) ; elles vérifient la double inégalité f(x) ≤ f(x) ≤ f(x+) ;
  • f admet une limite à gauche en b, finie ou égale à +∞ ; cette limite est finie si et seulement si f est majorée.
  • f admet une limite à droite en a, finie ou égale à –∞ ; cette limite est finie si et seulement si f est minorée.

Un théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit immédiatement en remplaçant f par –f.

Une application classique de ce théorème concerne les fonctions de répartition des variables aléatoires réelles.

Points de discontinuité[modifier | modifier le code]

Théorème de Froda (1929) : l'ensemble D des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable). En effet, en notant εx = f(x+) – f(x), la famille (εx)xD ∩ [c, d] de réels strictement positifs est sommable donc au plus dénombrable pour tout [c,d] inclus dans l'intervalle de monotonie. Froda (en) a en fait démontré que pour une fonction réelle quelconque, l'ensemble des points de discontinuité de première espèce est au plus dénombrable. Or pour une fonction monotone, le théorème de la limite monotone dit exactement que ce type de discontinuité est le seul possible.

Monotonie et signe de la dérivée[modifier | modifier le code]

Une utilisation classique et importante du calcul différentiel est la caractérisation, parmi les fonctions dérivables (d'une variable réelle, et à valeurs réelles), de celles qui sont monotones (au sens large ou au sens strict) sur un intervalle.

Théorème — Soient I un intervalle réel et f : I → ℝ une application dérivable sur I.

  • f est croissante sur I si et seulement si pour tout xI, f ' (x) ≥ 0.
  • f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout xI, f ' (x) ≥ 0 et de plus l'ensemble des points où la dérivée f ' s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial).
  • Un théorème analogue caractérise, parmi les fonctions dérivables, celles qui sont décroissantes, ou strictement décroissantes.
  • f est constante sur I si et seulement si pour tout xI, f ' (x) = 0.

Remarques.

  • Il en résulte qu'une condition suffisante pour qu'une fonction dérivable f : I → ℝ soit strictement croissante sur I est que pour tout xI, f ' (x) > 0. Mais cette condition n'est nullement nécessaire, comme le montrent l'énoncé du théorème et les deux exemples suivants.
  • Ce théorème se généralise aux fonctions continues sur un intervalle mais dérivables seulement sur le complémentaire d'un sous-ensemble dénombrable : cf. Inégalité des accroissements finis.

Exemple 1 : la fonction f : xx3, de ℝ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ (cf. Exemples dans le § Monotonie stricte). Le critère ci-dessus permet de le redémontrer :

  • elle est dérivable, et pour tout réel x, f ' (x) = 3x2 ≥ 0 ;
  • de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est {0} ; il est d'intérieur vide.

Exemple 2 : la fonction f : xx + cos x, de ℝ dans ℝ, est strictement croissante sur ℝ. En effet :

  • elle est dérivable, et pour tout réel x, f ' (x) = 1 – sin x ≥ 0 ;
  • de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est\frac\pi2+2\pi\Z=\left\{x\in\R\mid\exists k\in\Z,x=\frac\pi2+2k\pi\right\},qui est d'intérieur vide (il est même dénombrable).

Propriétés liées à la théorie de l'intégration[modifier | modifier le code]

Une fonction croissante est dérivable presque partout (on montre d'abord – grâce à l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood – que ses quatre dérivées de Dini sont finies presque partout, puis – grâce au théorème de recouvrement de Vitali – qu'elles sont égales[2],[3] ; une autre méthode pour cette seconde étape[4] est de la démontrer dans le cas où la fonction est continue – grâce au lemme du soleil levant – puis de remarquer que toute fonction croissante est somme d'une fonction croissante continue et d'une « fonction de saut » et que cette dernière est presque partout de dérivée nulle).

On en déduit deux corollaires :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. III.7.
  2. (en) Russel A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, AMS,‎ 1994 (ISBN 978-0-82183805-1, lire en ligne), p. 55-56
  3. (en) Andrew M. Bruckner (en), Judith B. Bruckner et Brian S. Thomson, Real Analysis,‎ 1997 (ISBN 978-0-13458886-5, lire en ligne), p. 269
  4. (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, AMS,‎ 2011 (lire en ligne), p. 129-135
  5. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover,‎ 1971, 2e éd. (ISBN 978-0-48666509-2, lire en ligne), p. 235-236

Articles connexes[modifier | modifier le code]