Sigmoïde (mathématiques)

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La fonction sigmoïde.

En mathématiques, la fonction sigmoïde (dite aussi courbe en S) est définie par :

 f(x)=\frac{1}{1 + e^{- x}} pour tout réel x

mais on la généralise à toute fonction dont l'expression est :

 f(x)=\frac{1}{1 + e^{-\lambda x}}

Le nom de « sigmoïde » signifie étymologiquement « en forme de sigma[Note 1] » et indique en pratique une forme en S.

Elle est souvent utilisée dans les réseaux de neurones et représente la fonction de répartition de la loi logistique. En particulier, cette fonction est utilisée dans la rétropropagation de l'algorithme de Werbos, concernant le seuil d'activation des neurones (assez efficace en simulation des réseaux neuronaux-simulés, quant aux caractéristiques de la vision, et de la reconnaissance des formes).

Une courbe sigmoïde génère par transformation affine une partie des courbes logistiques et en est donc un représentant privilégié.

Propriétés graphiques[modifier | modifier le code]

La courbe sigmoïde possède pour asymptotes les droites d'équation y = 0 et y = 1. Elle a pour centre de symétrie le point I de coordonnée (0;1/2), qui est également un point d'inflexion puisqu'en ce point, la dérivée seconde est nulle.

La fonction sigmoïde avec \lambda = 5.

Pour une courbe sigmoïde de paramètre \lambda, la tangente au point d'inflexion est \lambda/4. Cette propriété permet de paramétrer facilement une sigmoïde en observant la pente au point d'inflexion.

Équation différentielle[modifier | modifier le code]

Les propriétés de la fonction sigmoïde s'expliquent par celles de sa dérivée. En effet celle-ci est égale à

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\lambda e^{-\lambda x}}{(1 + e^{-\lambda x})^2},

qui peut se transformer en

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lambda \cdot y \cdot (1-y)

y varie de 0 à 1.

Cette équation différentielle signifie que la variation de y en fonction de x (souvent le temps d'ailleurs en physique, chimie ou marketing) est proportionnelle à la fois à l'avancement de y depuis 0 et au chemin qui reste à parcourir pour arriver à 1, proportionnalité affectée d'un coefficient \lambda.

Cette équation différentielle est un cas particulier de modèle de Verhulst et a pour autres solutions des fonctions logistiques.

La dérivée seconde possède aussi quelques propriétés : elle peut se transformer en

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \lambda^2 \cdot y \cdot (1-y) \cdot (1-2y).

ce qui vérifie bien qu'un point d'inflexion est le point-milieu y= 1/2. Les autres points d'inflexion sont rencontrés aux extrémités de la courbe (y=0 et y=1), il s'agit plutôt de points asymptotiques de rayon infini.

Écriture alternative[modifier | modifier le code]

La fonction sigmoïde peut s'exprimer à l'aide de la fonction tangente hyperbolique dont la courbe représentative a aussi une forme en S mais dont les asymptotes ont pour équation y = -1 et y = 1

f(x) = \frac{1}{1+e^{-\lambda x}} = \frac{e^{\lambda x/2}}{e^{\lambda x/2}+e^{-\lambda x/2}}= \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{\lambda x/2}- e^{-\lambda x/2}}{e^{\lambda x/2}+e^{-\lambda x/2}} = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\operatorname{tanh}\left(\frac{\lambda x}2\right)

Modélisation[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de la modélisation, typiquement pour la modélisation de systèmes biologiques, les deux fonctions suivantes sont utilisées en tant que sigmoïdes :

  • \operatorname{sigp}(x) = \frac{x^n}{x^n+\theta^n}
  • \operatorname{sigm}(x) = 1 - \operatorname{sigp}(x) = \frac{\theta^n}{x^n+\theta^n}

La raideur de ces fonctions aussi nommées « sigmoïdes de Hill » est décrite par le paramètre n et le point d'inflexion est considéré être en \theta. Néanmoins, mathématiquement, ces fonctions ne sont pas des sigmoïdes et le point d'inflexion n'est pas en \theta, mais en \theta\cdot\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{1/n}.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. La lettre grecque sigma se calligraphie en minuscule σ en début et milieu de mot et ς en fin de mot.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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