Revêtement (mathématiques)

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Revêtement du cercle X par une hélice Y, les ensembles disjoints S_i sont projetés homéomorphiquement sur U.

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et en topologie algébrique, un revêtement d'un espace topologique B par un espace topologique E est une application continue et surjective p : EB telle que tout point de B appartienne à un ouvert U tel que l'image réciproque de U par p soit une union disjointe d'ouverts de E, chacun homéomorphe à U par p.

Il s'agit d'un cas particulier de fibré, localement trivial, à fibre discrète. Les revêtements jouent un rôle pour calculer le groupe fondamental et les groupes d'homotopie d'un espace. Un résultat de la théorie des revêtements est que si B est connexe par arcs et localement simplement connexe, il y a une correspondance bijective entre les revêtements connexes par arcs de B, à isomorphisme près, et les sous-groupes du groupe fondamental de B.

Définition mathématique et terminologie[modifier | modifier le code]

Homéomorphismes locaux au-dessus de B[modifier | modifier le code]

Soient X et B deux espaces topologiques.

Un homéomorphisme local[1] est une application continue π : XB, appelée projection, telle que pour tout point x de X, il existe un ouvert U contenant x et un ouvert V contenant π(x) tels que la restriction de π à l'ouvert U soit un homéomorphisme sur V.

Un espace X muni d'un homéomorphisme local π : XB est dit étalé[2] au-dessus de B. L'espace d'arrivée B de la projection est appelé la base de l'homéomorphisme local.

Pour tout point bB, on appelle fibre de X au-dessus du point b et l'on note X(b) le sous espace π−1(b) ⊂ X.

On appelle section (continue) de π[1], ou de X, au-dessus de B, une application continue σ : BX telle que π ∘ σ = IdB.

Par exemple, une submersion entre variétés différentielles de même dimension est un homéomorphisme local.

Conséquences de la définition :

  • un homéomorphisme local est une application ouverte et continue[1] ;
  • une section est une application injective et continue[1].

Revêtements[modifier | modifier le code]

Un revêtement d'un espace topologique B est un espace X, muni d'un homéomorphisme local \pi : X\to B~ surjectif, tel que si b est un point de B, il existe un voisinage V de b, un espace discret F (non vide) et un homéomorphisme \Phi : \pi^{-1}(V)\to V\times F~ qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si f\in F, \pi(\Phi^{-1} (b,f))=b.

La définition précédente est celle d'un fibré, localement trivial, à fibre discrète avec la remarque que si la base B n'est pas connexe, la fibre F dépend du point base b et s'identifie à la fibre \pi^{-1}(b).

Chaque application b\mapsto \Phi^{-1} (b,f) est une section de \pi^{-1}(V) au-dessus de l'ouvert V. Autrement dit {\pi}^{-1}(V)~ est la réunion disjointe des ouverts V_f=\Phi^{-1} (V\times f)~ tous homéomorphes par \pi à V.

Théorème : Soit p un homéomorphisme local dont toutes les fibres sont finies de même cardinal n (non nul), alors p est un revêtement fini.

Revêtements triviaux[modifier | modifier le code]

Si F est un espace discret, l'application  (b,f)\mapsto b définit un revêtement B\times F \to B~ au-dessus de B. Plus généralement, un revêtement est dit trivial si on peut prendre V = B dans la définition, c'est-à-dire s'il existe un espace discret F et un homéomorphisme \Phi : X\to B\times F~ qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si f\in F, alors \pi(\Phi^{-1} (b,f))=b. Un homéomorphisme est un exemple de revêtement trivial.

Exemples[modifier | modifier le code]

Revêtement du cercle par une droite[modifier | modifier le code]

Soit S1 le cercle dans le plan ℝ2 = ℂ. La droite réelle ℝ est alors un revêtement de S1 défini par l'application :

p:\R\to S^1,\quad p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=\mathrm e^{2\mathrm i\pi t}.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable : p^{-1}(p(x))=x+\Z.

La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore : \R^n\to\mathbb{T}^n=(\mathbb{S}^1)^n\subset\R^{2n}.

La fibre est dénombrable : p^{-1}(0)=\Z^n.

Les fonctions puissances[modifier | modifier le code]

L'application p du plan complexe privé de l'origine ℂ*

p:\C^*\to\C^*,\quad p(z)=z^n définit un revêtement.

Chaque fibre est ici finie et a n éléments.

L'application exponentielle[modifier | modifier le code]

L'application p=\exp du plan complexe ℂ

p:\C\to\C^*,\quad p(z)=\mathrm e^z définit un revêtement.

Chaque fibre est ici infinie dénombrable : p^{-1}(p(x))=x+2\mathrm i\pi\Z.

Revêtement à deux feuillets du ruban de Möbius, homéomorphe à un cylindre. Le ruban de Möbius vient se glisser entre les deux feuillets.

La bande de Möbius[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ruban de Möbius.

Le cylindre (ou anneau) \mathbb{S}^1\times [0; 1] est un revêtement à deux feuillets de la bande de Möbius.

La bande de Möbius est une variété topologique non orientable alors que son revêtement est orientable. On montre plus généralement que tout variété connexe non orientable possède un revêtement connexe à deux feuillets orientable. C'est le cas notamment du plan projectif dont le revêtement est une sphère (voir ci-dessous), et de la bouteille de Klein dont le revêtement est le tore.

Revêtement de l'espace projectif[modifier | modifier le code]

Pour n > 1, l'application canonique \mathbb{S}^n\to\mathbb{RP}^n est un revêtement de l'espace projectif (réel) ; la fibre a deux éléments.

Dans le cas du plan projectif dont une représentation dans ℝ3 est donnée par la surface de Boy, il est possible de transformer la sphère par immersion en un revêtement à deux feuillets de cette surface de Boy. Si on fait se traverser ces deux feuillets, on procède alors à un retournement de la sphère[3].

On procède de même pour le retournement du tore, après avoir fait coïncider celui-ci en un revêtement à deux feuillets de la bouteille de Klein.

Constructions de revêtements[modifier | modifier le code]

Produit fibré, Somme directe, Changement de base[modifier | modifier le code]

Soit X, Y et Z trois espaces topologiques, \varphi un morphisme (application continue) de X dans Z et \psi de Y dans Z. On appelle produit fibré de X et Y par rapport à Z, noté X \otimes _ Z Y, un espace topologique, X \otimes _ Z Y, un morphisme, p _ X, de ce produit dans X et p _ Y de ce produit dans Y tels que pour tout espace topologique, A et deux morphismes, f (de A dans X) et g (de A dans Y) tels que \varphi \circ f = \psi \circ g, alors il existe un morphisme, p _ A de A dans le produit, tel que p _ X \circ p _ A = f et p _ Y \circ p _ A = g.

Article détaillé : Produit fibré.

Groupes discrets opérant proprement et librement[modifier | modifier le code]

Soit Γ un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace localement compact E, la projection EE/Γ définit un revêtement de fibre Γ.

En particulier si Γ est un sous-groupe discret d'un groupe topologique G, la projection GG/Γ est un revêtement de fibre Γ.

Construction de revêtements par recollement[modifier | modifier le code]

Théorie des revêtements[modifier | modifier le code]

Morphismes et transformations de revêtements[modifier | modifier le code]

Un morphisme de revêtements au-dessus de B est une application continue f : X\to X' (où X et X' sont des revêtements) qui commute avec les projections \pi_X et \pi_{X'}, c'est-à-dire telle que :

\pi_{X'}\circ f=\pi_X.
L'application identité IdX est un morphisme de revêtements.
La composée de deux morphismes de revêtements est un morphisme.

Par conséquent, les revêtements de base B avec leurs morphismes forment une catégorie.

Revêtements sur un segment[modifier | modifier le code]

ThéorèmeTout revêtement d'un intervalle compact deest trivial.

C'est un cas particulier du théorème plus général :

ThéorèmeTout espace fibré, localement trivial, sur un intervalle compact de, est trivial.

Relèvement des chemins[modifier | modifier le code]

PropositionSoit (X, π) un revêtement de B, b un point de B et xX(b). Soit c un chemin d'origine b. Alors il existe un chemin \tilde{c} et un seul dans X origine x tel que \pi\circ \tilde{c}=c.

Monodromie des lacets et relèvement des applications[modifier | modifier le code]

Le groupe fondamental de la base, π1(B, b), opère par une action de groupe à droite sur la fibre X(b) = π−1(b), de façon compatible avec l'action à gauche du groupe des automorphismes du revêtement.

Soient Z un espace connexe par arcs et localement connexe par arcs, f : (Z, z) → (B, b) une application continue et xX(b). Une condition (nécessaire et) suffisante pour que f possède un relèvement g : (Z, z) → (X, x) est que les morphismes induits, f# : π1 (Z, z) → π1(B, b) et π# : π1(X, x) → π1(B, b), vérifient :

f_\#(\pi_1(Z,z))\subset\pi_\#(\pi_1(X,x)).

De plus, le relèvement g est alors unique.

Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement[modifier | modifier le code]

Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point. Il est dit abélien si de plus le groupe est abélien.

Revêtements universels[modifier | modifier le code]

Un revêtement universel d'un espace B est un revêtement galoisien E tel que, pour tout revêtement D de B, il existe un morphisme de E sur D.

Deux revêtements universels sont isomorphes et tout revêtement d'un revêtement universel est trivial.

ThéorèmeTout revêtement simplement connexe est un revêtement universel.

ThéorèmeUn espace (connexe par arcs) admet un revêtement simplement connexe si et seulement s'il est semi-localement simplement connexe.

En particulier tout graphe, toute variété topologique admet un revêtement simplement connexe.

Classification des revêtements et théorie de Galois[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Calcul des groupes d'homotopies[modifier | modifier le code]

Si B est connexe par arc, alors on a un isomorphisme entre les groupes d'homotopie, conséquence de la suite exacte longue d'une fibration :

 \pi_n(E) \simeq \pi_n(B), \quad n \ge 2.

Par exemple, la droite réelle ℝ est un revêtement de S1 donc  \pi_n(S^1) = 0, n \ge 2 .

Graphes et groupes libres[modifier | modifier le code]

Théorème de Nielsen-SchreierTout sous-groupe d'un groupe libre est un groupe libre.

Théorème de Van Kampen[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Van Kampen.

Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ramification.

Revêtements des groupes topologiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Revêtement de groupe (en).

Bibliographie (en français)[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d Godbillon 1971, p. 105
  2. R. et A. Douady
  3. Bernard Morin et Jean-Pierre Petit, Le retournement de la sphère, Les Progrès des mathématiques, Pour la Science, Belin, 1981 ISBN 2-902918-14-3, p. 32-45