Théorème de Taylor

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En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715[1] [2] [3], montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.

De manière plus précise, soit :

Alors, pour tout x dans I, l’expression


  f(x) = f(a)
  + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
  + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
  + R_n(x)

ou son équivalent

\displaystyle f(x) =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)

définit un reste Rn(x) dont le comportement s’apparente au monôme (x – a)n + 1.

En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série[4], mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement.

On désigne par théorème de Taylor ou formule de Taylor plusieurs résultats et expressions pour \scriptstyle R_n(x) découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires.

La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)

Expressions et estimations du reste[modifier | modifier le code]

Formule de Taylor-Young[modifier | modifier le code]

Si la fonction f (à valeurs réelles ou complexes ou même dans un espace normé) est dérivable en a jusqu’à l’ordre n, la fonction R_n(x) est négligeable devant (x-a)^n.

{R_n(x)}=o({(x-a)^n}).

Formulation équivalente :

\lim_{x\to a\atop x\ne a}\frac{R_n(x)}{(x-a)^n}=0.

Formule de Taylor-Lagrange[modifier | modifier le code]

Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur I jusqu’à l’ordre n + 1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}.

Cette relation s’appelle également forme de Lagrange.

Le nombre ξ est parfois noté a + (x – a, et la condition qu'il soit compris entre a et x s'écrit alors 0 < θ < 1.

Inégalité de Taylor-Lagrange[modifier | modifier le code]

S’il existe M tel que

\forall y\in I,|f^{(n+1)}(y)|\le M,

alors

|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.

C'est notamment le cas pour les fonctions de classe Cn + 1 sur [a, x].

Formule de Taylor-Cauchy[modifier | modifier le code]

C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange[5],[6]. Si la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable sur I jusqu’à l’ordre n+1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x - a) (x-\xi)^{n}.

Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral)[modifier | modifier le code]

Si la fonction f est continûment dérivable sur I jusqu’à l’ordre n + 1, alors

R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \,\mathrm dt.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • L'inégalité de Taylor-Lagrange est une conséquence de la relation précédente.
  • Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque a = 0, la formule s’écrit
    
  f(x) = f(0)
  + \frac{f'(0)}{1!}x
  + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
  + R_n(x).
  • La formule de Taylor-Lagrange est une généralisation du théorème des accroissements finis. Ce dernier peut être utilisé pour montrer cette formule dans le cas d’une fonction à valeurs réelles. Cependant, si E est un espace vectoriel normé, l'égalité de la formule doit être remplacée par une inégalité (voir l'article Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles).
  • La formule de Taylor avec reste de Laplace est une généralisation du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (ce dernier est utilisé dans la preuve ci-dessous).
  • Pour certaines fonctions f, le reste Rn(x) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.
  • Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, les théorèmes de Taylor-Young et de Taylor-Laplace sont vrais pour des fonctions f à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel normé.

Preuves[modifier | modifier le code]

Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables[modifier | modifier le code]

Il existe des formules analogues pour des fonctions n fois différentiables en un point a d’un domaine \Omega \subset \R^{p} à valeurs dans \R (et même à valeurs dans \R^{q}). Cependant, les coefficients multinomiaux qui interviennent rendent l'expression assez lourde.

Considérons une boule ouverte B de \R^{p} (généralisation de l’intervalle I) centrée en a et f une fonction à valeurs réelles définie sur l'adhérence \bar{B}, possédant des dérivées partielles d'ordre n+1 continues en chaque point. Alors, pour tout x\in B :

f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha

où les sommes portent sur les multi-indices α (cette formule utilise les notations multi-indicées décrites dans l'article multi-indice), et où le reste vérifie l'inégalité

|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|

pour tous les α tels que |α| = n + 1.

En particulier, pour une fonction f deux fois différentiable en a\in\Omega\subset\R^2 à valeur dans \R, on peut écrire pour tout x\in\Omega :


f(x) = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a)
+ \frac{1}{2}(x-a)^T \mathbb{H}(a) (x-a)+ o(||x-a||^{2}).

\nabla f est le gradient de f et \mathbb{H}(a) est sa matrice hessienne évaluée en a.

Exemple  :

Soit une fonction f deux fois différentiable en (a,b) à valeur dans \R, alors pour tout (x,y)\in\R^{2}

\begin{align}

f(x,y)\approx f(a,b) 
&+ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) 
+ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) 
+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2\\
&+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 
+ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b)
\end{align}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Taylor, Methodus incrementorum directa & inversa, Prop.VII, theo. III, p.21
  2. L'article consacré à Taylor précise que : « En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d'où lui est venue cette idée, c'est-à-dire d'un commentaire que fit Machin au Child's Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également « les méthodes de Dr. Halley pour extraire les racines » d'équations polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier à découvrir ce résultat ! »
  3. Dans son ouvrage Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, (1884), p.XVII, Giuseppe Peano signale qu'en 1694, Jean Bernoulli donna une formule équivalente à la formule de Taylor. cf. Jean Bernoulli, Additamentum effectionis omnium quadraturarum & rectificationum curvarum per seriem quandam generalissimam, Opera Omnia, t.I, p.126
  4. (en) Brook Taylor (trad. Ian Bruce), Methodus incrementorum directe et inversa, proposition VII, théorème III, Corollaire II, Londres, 1715, Lire en ligne
  5. Formules de Taylor, cours de Jean-François Burnol
  6. Cauchy Remainder sur MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques (T2 : Analyse), Bordas, 1977
  • Claude Deschamps et André Warusfel, J'intègre : Mathématiques première année, Dunod, 1999
  • Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, (1797), Journal de l'école polytechnique, 9ème cahier, tome III, §52, p.49

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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