Théorème de Taylor

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En mathématiques, plus précisément en analyse, le théorème de Taylor (ou formule de Taylor), du nom du mathématicien anglais Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Cette fonction polynôme est parfois appelée polynôme de Taylor.

La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu)

Définition[modifier | modifier le code]

Formulation standard[modifier | modifier le code]

De manière plus précise, soit :

Alors pour tout nombre réel x appartenant à I, on a :


  f(x) = f(a)
  + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
  + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
  + R_n(x)

ou de façon équivalente :


  \displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)

où le reste Rn(x) est une fonction négligeable par rapport à (x – a)n au voisinage de a.

Autre formulation[modifier | modifier le code]

Par simple changement de variable, la formule de Taylor peut aussi s'exprimer sous la forme :


  f(a + h) = f(a)
  + \frac{h}{1!}f'(a)
  + \frac{h^2}{2!}f^{(2)}(a)
  + \cdots
  + \frac{h^n}{n!}f^{(n)}(a)
  + R_n(h)

ou de façon équivalente :


  \displaystyle f(a + h) = \sum_{k=0}^n \frac{h^k}{k!}f^{(k)}(a) + R_n(h)

souvent employée en se situant dans un voisinage de a (c'est-à-dire pour h petit).

Expressions et estimations du reste[modifier | modifier le code]

En présentant cette formule en 1715[1],[2] [3], Taylor propose une méthode de développement en série[4], mais sans se préoccuper du reste Rn(x). En effet, pendant tout le XVIIIe siècle, les mathématiciens n'établissent pas encore de différence entre développement limité et développement en série entière. C'est Joseph-Louis Lagrange qui, en 1799, soulignera le premier la nécessité de définir rigoureusement ce reste[5],[6]. Les propriétés de celui-ci s'énoncent différemment en fonction des hypothèses utilisées.

Formule de Taylor-Young[modifier | modifier le code]

Si la fonction f (à valeurs réelles ou complexes ou même dans un espace normé) est dérivable en a jusqu'à l'ordre n, alors la fonction Rn(x) est négligeable devant (x – a)n.

{R_n(x)}=o({(x-a)^n}).

Formulation équivalente :

\lim_{x\to a\atop x\ne a}\frac{R_n(x)}{(x-a)^n}=0.

Formule de Taylor-Lagrange[modifier | modifier le code]

Si la fonction f est à valeurs réelles et est dérivable sur I jusqu'à l'ordre n + 1, alors il existe un nombre réel ξ strictement compris entre a et x tel que

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}.

Cette relation s'appelle également la forme de Lagrange.

Le nombre ξ est parfois noté a + (x – a, et la condition qu'il soit compris entre a et x s'écrit alors 0 < θ < 1.

Inégalité de Taylor-Lagrange[modifier | modifier le code]

S'il existe M tel que

\forall y\in I\quad|f^{(n+1)}(y)|\le M,

alors

|R_n(x)| \leq \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.

C'est notamment le cas pour les fonctions de classe Cn + 1 sur [a, x].

Formule de Taylor-Cauchy[modifier | modifier le code]

C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange[7],[8]. Si la fonction f est à valeurs réelles et qu'elle est dérivable sur I jusqu'à l'ordre n + 1, alors il existe un nombre ξ strictement compris entre a et x tel que

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x - a)(x-\xi)^n.

Formule de Taylor avec reste intégral de Laplace[modifier | modifier le code]

Si la fonction f est continûment dérivable sur I jusqu'à l'ordre n + 1, alors

R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \,\mathrm dt.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • L'inégalité de Taylor-Lagrange est une conséquence de la relation précédente.
  • Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque a = 0, la formule s’écrit
    
  f(x) = f(0)
  + \frac{f'(0)}{1!}x
  + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
  + R_n(x).
  • La formule de Taylor-Lagrange est une généralisation du théorème des accroissements finis. Ce dernier peut être utilisé pour montrer cette formule dans le cas d'une fonction à valeurs réelles. Cependant, si E est un espace vectoriel normé, l'égalité de la formule doit être remplacée par une inégalité (voir l'article Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles).
  • La formule de Taylor avec reste de Laplace est une généralisation du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (ce dernier est utilisé dans la preuve ci-dessous).
  • Pour certaines fonctions f, le reste Rn(x) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point a. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.
  • Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, les théorèmes de Taylor-Young et de Taylor-Laplace sont vrais pour des fonctions f à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel normé.

Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables[modifier | modifier le code]

Il existe des formules analogues pour des fonctions n fois différentiables en un point a d'un ouvert Ω de ℝp et à valeurs dans ℝ (ou même à valeurs dans ℝq). Cependant, les coefficients multinomiaux qui interviennent rendent l'expression assez lourde.

Considérons une boule ouverte B de ℝp (généralisation de l'intervalle I) centrée en a et f une fonction à valeurs réelles définie sur l'adhérence B, possédant des dérivées partielles d'ordre n + 1 continues en chaque point. Alors pour tout xB :

f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac1{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha

où les sommes portent sur les multi-indices α, et où le reste vérifie l'inégalité

|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac1{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|

pour tous les α tels que |α| = n + 1.

En particulier, pour une fonction f deux fois différentiable en a ∈ Ω ⊂ ℝ2 et à valeurs réelles, on peut écrire, pour tout x ∈ Ω :


f(x) = f(a)+\nabla f(a) \cdot (x-a)
+ \frac12(x-a)^T \mathbb{H}(a) (x-a)+ o(\|x-a\|^2)

\nabla f est le gradient de f et \mathbb{H}(a) est sa matrice hessienne évaluée en a.

Exemple  :

Soit une fonction f deux fois différentiable en (a, b), à valeurs réelles. Pour tout (x, y) ∈2

\begin{align}

f(x,y)=f(a,b) 
&+ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) 
+ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) 
+ \frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2\\
&+ \frac12\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b)(y-b)^2 
+ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)(x-a)(y-b)\\
&+o((x-a)^2+(y-b)^2).
\end{align}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Taylor, Methodus incrementorum directa & inversa, Prop.VII, theo. III, p. 21.
  2. L'article consacré à Taylor précise que : « En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui « théorème de Taylor » apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d'où lui est venue cette idée, c'est-à-dire d'un commentaire que fit Machin au Child's Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également « les méthodes de Dr. Halley pour extraire les racines » d'équations polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier à découvrir ce résultat ! »
  3. Dans son ouvrage Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, (1884), p.XVII, Giuseppe Peano signale qu'en 1694, Jean Bernoulli donna une formule équivalente à la formule de Taylor. cf. Jean Bernoulli, Additamentum effectionis omnium quadraturarum & rectificationum curvarum per seriem quandam generalissimam, Opera Omnia, t.I, p. 126.
  4. (en) Brook Taylor (trad. Ian Bruce), Methodus incrementorum directe et inversa, proposition VII, théorème III, Corollaire II, Londres, 1715, [lire en ligne].
  5. Jean-Luc Chabert & al. Histoire d'algorithmes, du caillou à la puce, Belin, (1993), p.455
  6. Joseph-Louis Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, 1799, réédité en 1806, leçon neuvième, p.88 : « Tant que ce développement ne sert qu'à la génération des fonctions dérivées, il est indifférent que la série aille à l'infini ou non ; il l'est aussi lorsqu'on ne considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction ; mais, si on veut l'employer pour avoir la valeur de la fonction dans les cas particuliers, comme offrant une expression d'une forme plus simple [...], alors, ne pouvant tenir compte que d'un certain nombre plus ou moins grand de termes, il est important d'avoir un moyen d'évaluer le reste de la série qu'on néglige, ou du moins de trouver des limites de l'erreur qu'on commet en négligeant ce reste. »
  7. Formules de Taylor, cours de Jean-François Burnol.
  8. (en) Eric W. Weisstein, « Cauchy Remainder », MathWorld.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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