Dérivée seconde

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La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.

Fonction d'une seule variable réelle[modifier | modifier le code]

Si la fonction admet une dérivée seconde, on dit qu'elle est de classe D2 ; si de plus cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.

Notation[modifier | modifier le code]

Si on note ƒ(x) la fonction, alors

  • la dérivée est notée ƒ '(x) ou \frac{df}{dx}, et
  • la dérivée seconde est notée ƒ ''(x) (« f seconde de x ») ou \frac{d^2f}{dx^2}

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

La dérivée seconde indique la variation de la pente :

  • si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle ;
  • si elle est négative sur un intervalle, la pente diminue, la courbure est vers le bas, la fonction est dite « concave » sur cet intervalle ;
  • si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ;
  • si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.

Fonction n'admettant pas de dérivée seconde[modifier | modifier le code]

  • Les fonctions non dérivables en un point n'y admettent pas de dérivée seconde ; a fortiori les fonctions non continues en un point ;
  • une primitive d'une fonction continue non dérivable est une fonction continue et dérivable, mais elle n'a pas de dérivée seconde aux points où la fonction initiale n'est pas dérivable ; c'est notamment le cas de la primitive de primitive d'une fonction non continue mais bornée.
    • une primitive double de la fonction signe, ∫∫sgn
      \sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.  ;
      une double primitive en est f: x\mapsto (x \times |x|)/2.
    • la primitive d'une fonction triangulaire (en dents de scie), la primitive double d'une fonction carrée, la primitive double de la fonction partie entière E, …

Voir aussi[modifier | modifier le code]