Fonction analytique

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Une fonction analytique est une fonction qui peut s'exprimer localement comme une série entière convergente. En analyse complexe, le résultat important est que les fonctions holomorphes sont analytiques.

Sommaire

[modifier] Définition

Soit f : U \to \mathbb{C} \, une fonction à variable complexe, où U \, est un ouvert de \mathbb{C} \,. On dit que la fonction f \,est analytique sur U \, si pour tout a \in U \,, il existe une suite (a_{n}) \, de nombres complexes et un réel r>0 \, tel que, pour tout z \in D(a,r) \,, c'est-à-dire pour tout z \, dans le disque (ouvert) de centre a \, et de rayon r \,, supposé inclus dans U \,, on a :

  • f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty}a_{n}\,(z-a)^{n}

Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition.

[modifier] Propriétés

  • Une fonction analytique est holomorphe. Il existe d'ailleurs une réciproque à cette proposition, à savoir que toute fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur celui-ci.
  • De plus, une fonction analytique est infiniment dérivable (au sens complexe, voir fonction holomorphe) et la dérivée n-ième en un point a \in U \, est f^{(n)}(a)=n\,!\,a_{n} \, avec les notations données dans la définition. Ceci prouve que le développement de f en série entière au voisinage de chaque point a de U est unique ; on l'appelle encore développement en série de Taylor.
  • L'ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert est une algèbre : la somme et le produit de fonctions analytiques sont analytiques.
  • Lorsqu'elle est définie, la composée de fonctions analytiques est analytique.
  • Toute série entière de rayon de convergence non nul définit sur son disque de convergence une fonction analytique. Ce n'est pas trivial, car une série entière est a priori un développement au voisinage d'un seul point.
  • Toute fonction polynomiale est analytique sur \mathbb{C} : on dit qu'elle est entière. Étant donnée une fonction polynomiale, les termes de son développement en série entière au voisinage d'un point quelconque de \mathbb{C} sont tous nuls à partir d'un certain rang.

[modifier] Exemples et contre-exemples

  • La fonction exponentielle donnée par \exp(z)= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!} est analytique sur \mathbb{C} : c'est une fonction entière.
  • La fonction f : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}, z \mapsto z^{-1} est analytique sur \mathbb{C}^*.
  • La fonction z \mapsto |z|^2 = z \overline{z} n'est pas analytique : on montre qu'elle n'admet de dérivée (au sens complexe) qu'en 0.
  • La fonction z \mapsto \mathrm{Re}(z) n'est pas analytique : elle n'admet de dérivée (au sens complexe) en aucun point de \mathbb{C}.

Les deux dernières fonctions admettent des dérivées partielles de tous ordres.

[modifier] Les principaux théorèmes

[modifier] Le principe des zéros isolés

On considère maintenant un ouvert connexe U \subset \mathbb{C} et une fonction analytique f : U \to \mathbb{C} \,. Si f \, n'est pas la fonction nulle, alors tous ses zéros sont isolés, c'est-à-dire que si a \in U \, est tel que f(a) = 0, alors il existe un disque centré en a \, , inclus dans \ U, tel que f \, ne s'annule en aucun autre point que a \, sur ce disque ; ceci se traduit par :

  • \exists r >0 , D(a,r) \subset U et \forall z \in D(a,r)\setminus \{a\}, f(z) \neq 0

Ainsi, toute fonction f : U \to \mathbb{C} \, non constante (ie. \exists (\alpha,\beta)\in U^2\ \alpha\neq\beta\ et\ f(\alpha) \neq f(\beta)), n'est constante en aucun point (ie. dans aucune direction à partir de ce point), ce qui se traduit par :

  • \forall a \in U\ \exists r >0 , D(a,r) \subset U et \forall z \in D(a,r)\setminus \{a\}, f(z) \neq f(a)

On en déduit qu'aucune fonction analytique f : U \to \mathbb{C} \, non constante ne peut avoir son image f(U)\, contenue dans un espace vectoriel réel de dimension 1 (en particulier, f(U) \not\subset \mathbb{R}). En effet, comme f\, est continue car analytique, il devrait y avoir existence de courbes de niveau, et le résultat ci-dessus l'interdit, d'où ce dernier corollaire.

[modifier] Le principe du prolongement analytique

Icône de détail Article détaillé : prolongement analytique.

Soient U \subset \mathbb{C} un ouvert, a un point de U et une fonction analytique f : U \to \mathbb{C}. On suppose en outre que U est connexe (cette hypothèse est essentielle). Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  1. f est identiquement nulle sur U
  2. f est identiquement nulle dans un voisinage de a
  3. \forall n \in \N,\ f^{(n)}(a)=0

Ce théorème signifie que si une fonction analytique sur un ouvert connexe s'annule sur un disque de rayon si petit soit-il, alors c'est la fonction nulle. On peut interpréter cela comme un résultat d'unicité pour la théorie du prolongement analytique.


Démonstration

Il est clair que 1 implique 2 qui implique 3.

La fonction f est analytique sur U donc au voisinage de a \in U on a

f(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(z-a)^n

donc si

\forall n \in \N,\ f^{(n)}(a)=0

on obtient bien que f est identiquement nulle au voisinage de a. Donc 3 implique 2.

Montrons maintenant que 2 implique 1. L'ensemble A des points de U telle que f soit nulle dans un voisinage de ces points est un ouvert par définition, et il est de plus non vide (on suppose 2). On prend maintenant une suite (zn) de points de A qui converge vers \ell \in U. Comme 2 implique 3, on a

\forall n,k \in \N,\ f^{(n)}(z_k)=0

La fonction f étant analytique sur U, elle est développable en série entière en \ell \in U, et donc f est nulle au voisinage de \ell, donc \ell \in A. Donc A est fermé dans U. Il est de plus non vide et ouvert dans U donc par connexité de U il vient A = U. Donc f est identiquement nulle sur U . Donc 2 implique 1.

Un corollaire de ce théorème nous dit que si deux fonctions analytiques coïncident sur un voisinage d'un point d'un ouvert connexe, alors ces deux fonctions sont égales.

[modifier] Mathématiciens ayant travaillé sur le sujet

[modifier] Bibliographie

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