Fonction analytique

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout $x_0$ de ce domaine, il existe une suite $(a_n)$ donnant une expression de la fonction, valable pour tout x assez proche de $x_0$, sous la forme d'une série convergente :

$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n.$

Toute fonction analytique est dérivable de dérivée analytique, ce qui implique que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en analyse réelle. En revanche, en analyse complexe, toute fonction simplement dérivable est analytique et vérifie de nombreuses autres propriétés.

Article détaillé : Fonction holomorphe.

Qu'elle soit de variable réelle ou complexe, une fonction analytique non nulle a ses zéros isolés. Cette propriété induit l'unicité du prolongement analytique sur tout ouvert connexe.

Définition

Soit $f : U \to \mathbb{C} \,$ une fonction à variable complexe, où $U \,$ est un ouvert de $\mathbb{C} \,$. On dit que la fonction $f \,$est analytique sur $U \,$ si pour tout $a \in U \,$, il existe une suite $(a_{n}) \,$ de nombres complexes et un réel $r>0 \,$ tel que, pour tout $z \in D(a,r) \,$, c'est-à-dire pour tout $z \,$ dans le disque (ouvert) de centre $a \,$ et de rayon $r \,$, supposé inclus dans $U \,$, on a :

• $f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty}a_{n}\,(z-a)^{n}$

Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition.

Propriétés

• Une fonction analytique est holomorphe. Il existe d'ailleurs une réciproque à cette proposition, à savoir que toute fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur celui-ci.

• De plus, une fonction analytique est indéfiniment dérivable (au sens complexe, voir fonction holomorphe) et la dérivée n-ième en un point $a \in U \,$ est $f^{(n)}(a)=n\,!\,a_{n} \,$ avec les notations données dans la définition. Ceci prouve que le développement de $f$ en série entière au voisinage de chaque point $a$ de $U$ est unique ; on l'appelle encore développement en série de Taylor.

• L'ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert est une algèbre: le produit par une constante d'une fonction analytique, la somme et le produit de fonctions analytiques sont analytiques.

• Lorsqu'elle est définie, la composée de fonctions analytiques est analytique.

• Toute série entière de rayon de convergence non nul définit sur son disque de convergence une fonction analytique. Ce n'est pas trivial, car une série entière est a priori un développement au voisinage d'un seul point.

• Toute fonction polynomiale est analytique sur $\mathbb{C}$ : on dit qu'elle est entière. Étant donnée une fonction polynomiale, les termes de son développement en série entière au voisinage d'un point quelconque de $\mathbb{C}$ sont tous nuls à partir d'un certain rang $d+1$ où $d$ est le degré du polynôme. On obtient son développement en un point $z_0$ à partir de son développement en un autre point à l'aide de la formule du binôme de Newton: $P(z)=\sum_{n=0}^da_n z^n = \sum_{k=0}^db_k (z-z_0)^k$ avec $b_k=\sum_{n=k}^da_n{n \choose k}z_0^{n-k}$.

Exemples et contre-exemples

• La fonction exponentielle donnée par $\exp(z)= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!}$ est analytique sur $\mathbb{C}$ : c'est une fonction entière.

• La fonction $f : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}, z \mapsto z^{-1}$ est analytique sur $\mathbb{C}^*$.

• La fonction $\mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2 = z \overline{z}$ n'est pas analytique : on montre qu'elle n'admet de dérivée (au sens complexe) qu'en 0.

• La fonction $\mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto \mathrm{Re}(z) = \frac{1}{2}\left(z + \overline{z} \right)$ n'est pas analytique : elle n'admet de dérivée (au sens complexe) en aucun point de $\mathbb{C}$.

Les deux dernières fonctions admettent cependant des dérivées partielles de tous ordres (elles sont de classe $\mathrm{C}^\infty$ en tant que fonctions de deux variables réelles). Elles ne sont pas analytiques car l'ensemble des points où elles vérifient les équations de Cauchy-Riemann est d'intérieur vide (il est réduit à {0} pour la première, et vide pour la seconde).

• La fonction $\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^{-1/x^2}$ pour $x\ne 0$ et $0\mapsto 0$ n'est pas analytique en 0 (bien qu'elle soit de classe $\mathrm{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$) ; elle possède en effet en 0 une série de Taylor identiquement nulle, et qui ne converge donc vers la fonction qu'en ce point. On trouvera d'autres contre-exemples réels à l'article série de Taylor.

Les principaux théorèmes

On considère maintenant un ouvert connexe $U$ de ℂ (l'hypothèse de connexité est essentielle) et $\scriptstyle f:U\to\C$ une fonction analytique.

Le principe du prolongement analytique

Pour tout point $a$ de $U$, les quatre propositions suivantes sont alors équivalentes (une démonstration est proposée dans l'article « Prolongement analytique ») :

1. $f$ est identiquement nulle sur $U$ ;
2. $f$ est identiquement nulle dans un voisinage de $a$ ;
3. pour tout entier naturel $n$, $f^{(n)}(a)=0$ ;
4. $f$ est identiquement nulle sur un ensemble de points possédant un point d'accumulation dans $U$.

Un corollaire de ce théorème est que si une fonction analytique sur un ouvert connexe s'annule sur un disque de rayon si petit soit-il, alors c'est la fonction nulle. On peut interpréter cela comme un résultat d'unicité pour la théorie du prolongement analytique : si deux fonctions analytiques coïncident sur un voisinage d'un point d'un ouvert connexe, alors ces deux fonctions sont égales sur tout cet ouvert.

Le principe des zéros isolés

Un corollaire plus précis est que si $f$ n'est pas la fonction nulle, alors tous ses zéros sont isolés, c'est-à-dire que pour tout point $a$ de $U$ où $f$ s'annule, il existe un disque centré en $a$, inclus dans $U$, sur lequel $f$ ne s'annule en aucun autre point que $a$.

Ainsi, si $f$ n'est pas constante alors elle « n'est constante en aucun point » c'est-à-dire que pour tout point $a$ de $U$, il existe un disque centré en $a$, inclus dans $U$, sur lequel $f$ ne prend la valeur $f(a)$ en aucun autre point que $a$.

On en déduit qu'aucune fonction analytique $\scriptstyle f:U\to\C$ non constante ne peut avoir son image $f(U)$ contenue dans un espace vectoriel réel de dimension 1 (en particulier, $f(U)$ n'est pas inclus dans ℝ). En effet, comme $f$ est continue car analytique, il devrait y avoir existence de courbes de niveau, or le résultat ci-dessus l'interdit.

Mathématiciens ayant travaillé sur le sujet

• De Moivre a établi la formule de De Moivre.
• Stirling donna la formule de Stirling.
• Euler développa la théorie du logarithme et démontra qu'il existe une infinité de solutions complexes. Il est l'un des premiers à s'intéresser aux fonctions complexes.
• Legendre a développé la théorie des fonctions elliptiques.
• Gauss a démontré différents théorèmes se rapportant à l'analyse complexe.
• Laplace inventa la méthode d'estimation des intégrales qui porte son nom. Il a aussi introduit la transformée de Laplace.
• Poisson a fait, dans un article de 1813, le lien entre « étrangetés » en variable réelle et comportement de la fonction dans le plan complexe.
• Argand interpréta entre 1785 et 1830 les nombres complexes en terme géométrique.
• Cauchy a fourni plusieurs outils : théorème des résidus, intégrale curviligne, rayon de convergence…
• Riemann à qui l'on doit l'application conforme, la fonction zêta de Riemann…
• Weierstrass a étudié les singularités essentielles.
• Laurent a étudié le développement au voisinage d'un pôle.
• Émile Picard a publié deux théorèmes (le « petit » et le « grand ») sur les valeurs exceptionnelles
• Émile Borel a développé la théorie des séries divergentes, des transformations intégrales, de la croissance…
• Jacques Hadamard a fourni le théorème de décomposition, a démontré le théorème des nombres premiers…
• Edmund Landau
• Jensen a publié la formule de Jensen.
• Paul Koebe (en) donna une démonstration du théorème de l'application conforme de Riemann.
• Eugène Cahen s'est penché sur la théorie des séries de Dirichlet
• Paul Montel a publié sur les familles normales, le théorème de Montel…
• Georges Valiron s'est intéressé à la théorie des fonctions entières ou méromorphes
• Otto Blumenthal a publié la théorie des fonctions d'ordre infini.

Voir aussi

• Fonction entière

Bibliographie

• « Fonctions analytiques », Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1997.