Opérateur différentiel

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Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

  • Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
  • Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Notations[modifier | modifier le code]

Soit  \Omega un ouvert de \R^n, et x un point de  \Omega. On introduit les n coordonnées x_k\mbox{ }(k = 1, ... , n). Supposons que l'on ait une fonction des n variables : x_k.

Dérivées du premier ordre[modifier | modifier le code]

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée x_k par le symbole :

 \partial_k \ = \ \frac{\partial ~~}{\partial x_k}

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel \mathrm D_k du premier ordre défini par :

\mathrm D_k \ = \ - \ i \ \partial_k \ = \ - \ i \ \frac{\partial ~~}{\partial x_k}

Dans cette définition, i est la « racine de l'unité » complexe : i^2 = -1. L'intérêt de définir cet opérateur \mathrm D_k apparaitra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice \alpha est un n-uplet d'entiers

\alpha \ = \ \left( \alpha_1, \ \dots, \ \alpha_n \right) \ ; \quad \ \alpha_k \, \in \, \mathbb{N}

Sa longueur | \alpha | est définie comme la somme des \alpha_i et on définit enfin la multi-factorielle :

 \alpha \, ! \ = \ \prod_{k=1}^n ( \, \alpha_k \, ! \, ) 
\ = \ \alpha_1 \, ! \ \times \ \dots \ \times \ \alpha_n \, !

Dérivées d'ordres plus élevés[modifier | modifier le code]

  • La dérivée partielle d'ordre \alpha_k par rapport à la coordonnée x_k correspond au symbole :
     \partial^{\alpha_k}_k
  • On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global | \alpha | :
     \partial^{\alpha} \ = \ \partial^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \partial^{\alpha_n}_n
  • Et les opérateurs différentiels \mathrm D^{\alpha}, d'ordre global | \alpha |  :
     \mathrm D^{\alpha} \ = \ \mathrm D^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \mathrm D^{\alpha_n}_n

Définition d'un opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre  m est défini par :

 \mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \mathrm D^{\alpha}

où les a_{\alpha}(x) sont des fonctions de n variables, appelées coefficients de l'opérateur \mathfrak{D}.

Propriété de localité[modifier | modifier le code]

Un opérateur différentiel \mathfrak{D} est local au sens où, pour déterminer ses effets  \mathfrak{D} \, f(x) sur une fonction f(x) suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point x est nécessaire.

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Introduction de la transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f(x) de n variables x_k\mbox{ }(k = 1, ... , n) par :

 \hat{f}(\xi) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm dx \ e^{- \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ f(x)

Dans cette définition :

  • on note \xi le n-uplet constitué des variables : \xi_k\mbox{ }(k = 1, ... , n).
  • la mesure est : \mathrm dx = \prod_{k=1}^{n} \mathrm dx_k .
  • le facteur <\xi \, , \, x> dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :<\xi \, , \, x>  = \sum_{k=1}^{n} x_k \, \xi_k.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

 f(x)  \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi , \, x \, >} \ \hat{f}(\xi)

où la mesure est : \mathrm d \tilde{\xi} \ = \ \frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n} \quad avec  \mathrm d\xi = \prod_{k=1}^{n} \mathrm d\xi_k .

Application aux opérateurs différentiels[modifier | modifier le code]

Appliquons l'opérateur différentiel \mathrm D_k =  - \, i \, \partial_k à la représentation de Fourier de la fonction f(x). En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

 \mathrm D_k \, f(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \left( \ - \ i \ \partial_k \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \right) \ \hat{f}(\xi) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi_k \ \hat{f}(\xi)

qu'on peut écrire : (\widehat{\mathrm D_k \, f})(\xi) = \xi_k \ \hat{f}(\xi). On en déduit que :

(\widehat{\mathrm D^{\alpha} \, f})(\xi) \ = \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

où : \xi^{\alpha} = \xi_1^{\alpha_1} \ \times \ \dots \ \times \ \xi_n^{\alpha_n}. L'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m vérifie donc la relation :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f}(\xi)

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \left( \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \  \xi^{\alpha} \ \right) \ \hat{f}(\xi)

Symbole d'un opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

On appelle symbole de l'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m la fonction \sigma (x,\xi) des 2n variables (x,\xi) polynomiale en \xi de degré m :

\sigma (x,\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}

de telle sorte que :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur \mathfrak{D} à partir de son symbole \sigma. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients a_{\alpha}(x) ne sont pas constants, le symbole \sigma(x,\xi) dépend des coordonnées d'espace x, et l'expression \sigma(x,\xi) \, \hat{f}(\xi) n'est pas la transformée de Fourier de (\mathfrak{D} \, f)(x), c’est-à-dire que :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ \ne  \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m la fonction  :

\sigma_m (x,\xi) = \sum_{|\alpha| = m} \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}

Classification des opérateurs différentiels[modifier | modifier le code]

Opérateur elliptique[modifier | modifier le code]

L'opérateur différentiel  \mathfrak{D} est dit elliptique au point  x \ \in \ \Omega si et seulement si :

\forall \ \xi \ \in \ \R^n \backslash \{ 0\} \ , \quad \sigma_m (x, \xi) \ \ne \ 0

 \mathfrak{D} est dit elliptique dans \Omega s'il est elliptique pour tout point  x \ \in \ \Omega.

Opérateur hyperbolique[modifier | modifier le code]

L'opérateur différentiel  \mathfrak{D} est dit hyperbolique dans la direction \eta au point  x \ \in \ \Omega si et seulement si : \sigma_m (x, \eta) \ne  0 et si, pout tout \xi non colinéaire à \eta, les racines \lambda_i de l'équation :

\sigma_m (x, \ \xi \ + \ \lambda \, \eta) \  = \ 0

sont toutes réelles. Si, de plus, les m racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur  \mathfrak{D} est dit strictement hyperbolique dans la direction \eta.

 \mathfrak{D} est dit (strictement) hyperbolique dans la direction \eta dans \Omega s'il est strictement hyperbolique dans la direction \eta pour tout point  x \ \in \ \Omega.

Exemples importants pour la physique théorique[modifier | modifier le code]

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien[modifier | modifier le code]

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

  • en coordonnées cartésiennes dans \R^n :
    \Delta \ = \ \sum_{k=1}^n \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x_k^2}
  • soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :
     \Delta \ = \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x^2} \ + \  \frac{\partial^2 ~~}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial z^2}

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien[modifier | modifier le code]

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes (x,t) dans \R^{n+1} :

\Box  \ = \ \frac{1}{c^2} \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial t^2} \ - \ \Delta

\Delta est le laplacien à n variables d'espace, t est le temps, et c une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse c dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur[modifier | modifier le code]

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes (x,t) dans \R^{n+1} :

 \frac{\partial ~}{\partial t} \ - \ \tilde{D} \ \Delta

\Delta est le laplacien à n variables d'espace, t est le temps, et \tilde{D} est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Article connexe : équation de la chaleur.

Opérateur différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Si les coefficients a_{\alpha} sont indépendants des n variables d'espace x^k, le symbole de l'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m est seulement une fonction \sigma (\xi) des n variables \xi polynomiale en \xi :

\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}

de telle sorte que :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ =  \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)

Le symbole principal de l'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m à coefficients constants est la fonction des n variables \xi :

\sigma_m (\xi) = \sum_{|\alpha| = m} \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}

Cas général[modifier | modifier le code]

On a vu que plus haut :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients a_{\alpha}(x) ne sont pas constants, le symbole \sigma(x,\xi) dépend des coordonnées d'espace x, et on a  :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ \ne  \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

Expression de la transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Partons de la relation générale :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f}(\xi)

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

a_{\alpha}(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, < \, \eta \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta)

on obtient :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ 
\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, < \, \eta \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \times \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f}(\xi)

soit :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ 
\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, (\xi + \eta ) \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f}(\xi)

A \xi fixé, on fait le changement de variable :  \eta \to t = \xi + \eta, ce qui donne :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ 
\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, < \, t \, , \, x \, >} \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \  \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f}(\xi)

On reconnait le produit de convolution :

 \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f} \, \right)(t) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f}(\xi)

d'où :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ 
\int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, < \, t \, , \, x \, >} \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f} \, \right)(t)

qu'on peut réécrire :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ =  \  \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \  \xi^{\alpha}  \ \hat{f} \, \right)(\xi )

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2e édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3. Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l' Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2e édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3. Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.