Trigonométrie complexe

Cet article est une ébauche concernant l'analyse. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Extension des fonctions circulaires

Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

$\sin z = \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}$

$\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}$

$\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}$

De même que leurs fonctions réciproques :

$\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right)$

$\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {z^2-1} \right)$

$\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)$

Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

Fonctions trigonométriques d'un complexe

Voici la démonstration de la formule permettant de calculer le cosinus d'un complexe :

$af + ibf = \cos{(a + i.b)} = \frac{e^{i(a + i.b)} + e^{-i(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{i.a - b} + e^{-i.a + b}}{2} = \frac{e^{-b}.e^{i.a} + e^{b}.e^{-i.a}}{2} = \frac{e^{-b}}{2}.e^{i.a} + \frac{e^{b}}{2}.e^{-i.a}$

$=> r1 = \frac{e^{-b}}{2}$        $t1 = a$                $=> r2 = \frac{e^{b}}{2}$        $t2 = -a$

$=> a1 = r1.\cos{t1} = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a}$        $b1 = r1.\sin{t1} = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a}$

$=> a2 = r2.\cos{t2} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{(-a)} = \frac{e^{b}}{2}.\cos{a}$        $b2 = r2.\sin{t2} = \frac{e^{b}}{2}.\sin{(-a)} = -\frac{e^{b}}{2}.\sin{a}$

$=> af = a1 + a2 = \frac{e^{-b}}{2}.\cos{a} + \frac{e^{b}}{2}.\cos{a} = \cos{a}.[\frac{e^{-b}}{2} + \frac{e^{b}}{2}] = \cos{a}.[\frac{e^{b} + e^{-b}}{2}] = \cos{a}.\cosh{b}$

$=> bf = b1 + b2 = \frac{e^{-b}}{2}.\sin{a} - \frac{e^{b}}{2}.\sin{a} = \sin{a}.[\frac{e^{-b}}{2} - \frac{e^{b}}{2}] = \sin{a}.[\frac{-1.(e^{b} - e^{-b})}{2}] = -\sin{a}.\sinh{b}$

$=> \cos{(a + i.b)} = \cos{(a)}.\cosh{(b)} - i.\sin{(a)}.\sinh{(b)}$

Pour les autres fonctions trigonométriques, faire de même. Pour tan et cotan, mieux vaut utiliser leurs propriétés suivantes :

$\tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}}$        $\cot{z} = \frac{\cos{z}}{\sin{z}}$

Voici la démonstration pour le cosinus hyperbolique :

$af + ibf = \cosh{(a + i.b)} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-(a + i.b)}} {2} = \frac{e^{a + i.b} + e^{-a - i.b}}{2} = \frac{e^{a}.e^{i.b} + e^{-a}.e^{-i.b}}{2} = \frac{e^{a}}{2}.e^{i.b} + \frac{e^{-a}}{2}.e^{-i.b}$

$=> r1 = \frac{e^{a}}{2}$        $t1 = b$                $=> r2 = \frac{e^{-a}}{2}$        $t2 = -b$

$=> a1 = r1.\cos{t1} = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b}$        $b1 = r1.\sin{t1} = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b}$

$=> a2 = r2.\cos{t2} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{(-b)} = \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b}$        $b2 = r2.\sin{t2} = \frac{e^{-a}}{2}.\sin{(-b)} = -\frac{e^{-a}}{2}.\sin{b}$

$=> af = a1 + a2 = \frac{e^{a}}{2}.\cos{b} + \frac{e^{-a}}{2}.\cos{b} = [\frac{e^{a}}{2} + \frac{e^{-a}}{2}].\cos{b} = [\frac{e^{a} + e^{-a}}{2}].\cos{b} = \cosh{a}.\cos{b}$

$=> bf = b1 + b2 = \frac{e^{a}}{2}.\sin{b} - \frac{e^{-a}}{2}.\sin{b} = [\frac{e^{a}}{2} - \frac{e^{-a}}{2}].\sin{b} = [\frac{e^{a} - e^{-a}}{2}].\sin{b} = \sinh{a}.\sin{b}$

$=> \cosh{(a + i.b)} = \cosh{(a)}.\cos{(b)} - i.\sinh{(a)}.\sin{(b)}$

Pour les autres fonctions trigonométriques hyperboliques, faire de même. Pour tanh et cotanh, mieux vaut utiliser leurs propriétés suivantes :

$\tanh{z} = \frac{\sinh{z}}{\cosh{z}}$        $\coth{z} = \frac{\cosh{z}}{\sinh{z}}$

Sujets liés

• Fonction trigonométrique
• Fonction exponentielle
• Exponentielle complexe
• Fonction hyperbolique
• Nombre complexe