Variable (mathématiques)

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Dans les mathématiques élémentaires, une variable désigne une valeur arbitraire, pas totalement précisée, ou même inconnue - appartenant à un ensemble - sur laquelle est effectué une combinaison d'opérations avec d'éventuelles constantes ou même d'autres variables. Faire des calculs avec les variables comme s'il s'agissait de nombres explicites permet de résoudre des problèmes analogues en une seule fois.

La variable est habituellement représentée par un symbole, le plus souvent une lettre de l'alphabet latin telle que x ou y. Une fonction numérique y=f(x) implique deux variables, une valeur d'entrée indépendante x et une valeur de sortie y qui est le résultat d'un calcul effectué sur la variable d'entrée. Le terme variable provient du fait que lorsque l'antécédent x de la fonction varie, alors son image y varie aussi.

Dans les mathématiques supérieures et en logique, une variable est un symbole utilisé pour marquer un rôle dans un prédicat, une formule ou un algorithme. Il peut s'agit d'une simple valeur, ou d'un objet mathématique tel qu'un vecteur, une matrice ou même une fonction. Dans un polynôme, une fraction rationnelle ou une série formelle, la variable est remplacée par une indéterminée notée X.

Notion intuitive de variable[modifier | modifier le code]

Pour calculer la longueur et la largeur d'une citerne dont on connait le volume, la hauteur et la différence entre la longueur et largeur, on peut décrire la méthode de calcul (l'algorithme sur les nombres et les opérations sur eux) sur un exemple, puis reproduire plusieurs exemples pour décrire complètement la méthode. C'est la méthode adoptée pendant l'Antiquité par les mathématiques babyloniennes[1].

À la place des données et des résultats, qui changent dans chaque exemple, on peut décider de remplacer des valeurs fictives - appelées variables - par des symboles. Une variable est donc une entité syntaxique qui apparaît dans une expression et que l'on peut remplacer par une valeur, par exemple par un nombre.

Dans l'exemple proposé par les mathématiques babyloniennes, si V est le volume, h est la hauteur, et d est la différence entre la longueur L et la largeur l, on a

 L = \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \frac{V}{h}} + \frac{d}{2} \qquad\qquad l = \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \frac{V}{h}} - \frac{d}{2}

En remplaçant les variables d par 6, V par 14, h par 2, on obtient les résultats suivants :

 L = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + \frac{14}{2}} + \frac{6}{2} \qquad\qquad l = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + \frac{14}{2}} - \frac{6}{2}

c'est-à-dire L=7 (la longueur est 7) et l=1 (la largeur est 1).

Variable libre et variable liée[modifier | modifier le code]

En mathématiques une variable est dite :

  • libre si elle est remplaçable par le nom d'un objet appartenant à un ensemble donné ; ainsi dans la formule ouverte[2] « 4x2 + x - 3 = 0 », la lettre « x » est une variable libre ; si x est remplacée par une constante a, l'expression « 4a2 + a - 3 = 0 » est un énoncé clos ou proposition.
  • liée ou muette lorsqu'elle entre dans le champ d'un opérateur, en sorte que son rôle est seulement descriptif. Ainsi en est-il de x, k, i, et t respectivement dans les propositions suivantes :

\forall x \in \mathbb N \quad  x+1> 0 \quad;\quad
\sum_{k=1}^b k  = \frac {b(b+1)}{2} \quad;\quad \prod_{i=1}^ {10} i = 3628800  \quad;\quad  \pi = \int_0^\infty \frac{2}{1+t^2} \,dt\, .

On dit que les opérateurs, respectivement , , et , lient ces variables : ce sont des signes mutificateurs.

Article détaillé : Variable libre.

Les variables liées par un quantificateur universel ∀ traduisent l'universalité d'une propriété, c'est-à-dire le fait que la dite propriété est satisfaite par tous les objets d'un certain domaine.

Par exemple, nous remarquons que

(1+0)^2\geq 1
(1+1)^2\geq 1+2\times 1
(1+ (-0,5))^2\geq 1+2\times (-0,5)

Alors nous pouvons conjecturer que:

pour tout nombre x \in \mathbb R, (1+x)^2\geq 1+2\times x

Si par un raisonnement cette affirmation est démontrée alors il sera possible de l'utiliser pour n'importe quel nombre donné. Pour démontrer ce théorème, il suffit de considérer une variable x représentant un nombre réel quelconque et de développer:

(1+x)^2=1+2\times x+x^2\,

D'autre part nous savons que tout nombre réel élevé au carré est positif, donc x^2\geq 0. De plus en ajoutant de chaque côté de cette dernière inégalité 1+2\times x, il vient

1+2\times x+x^2\geq 1+2\times x

donc

(1+x)^2\geq 1+2\times x.

La propriété est donc universelle.

Les variables liées par un quantificateur existentiel ∃ traduisent l'existence d'objets vérifiant une certaine propriété.

Par exemple, le théorème suivant :

deux droites non parallèles du plan se coupent en un point,

affirme qu'il existe un point appartenant à deux droites non parallèles, sans le donner par une formule.

Dans le cadre d'une démonstration, en partant de deux droites non parallèles on pourra utiliser le théorème et affirmer qu'il existe un point M commun à ces deux droites. En fait M est une variable représentant ce point et cette définition de la variable M, va nous permettre de travailler avec ce point.

Voyons encore un autre exemple. Admettons le théorème:

tout nombre (réel) positif peut s'écrire comme un carré.

Considérons 2, on sait que 2 est positif, d'après le théorème il existe un nombre x tel que 2=x^2. Encore une fois x est une variable représentant un tel nombre (en fait il y en a deux). Maintenant, on peut utiliser x sans le connaître et calculer par exemple x^4-x^2.

x^4-x^2=(x^2)^2-2=2^2-2=2.

Variables mathématiques et variables informatiques[modifier | modifier le code]

Dans les langages de programmation impératifs, ce que les informaticiens appellent des variables sont des repères de valeurs qui évoluent au cours du temps. Il s'agit donc plutôt d'emplacement mémoire. Si une variable informatique n'est pas initialisé, la valeur qu'elle repère est non définie. Quand on doit utiliser dans le même cadre le concept de variable mathématique et le concept de variable informatique, comme c'est le cas en sémantique des langages de programmation, on appelle la variable informatique, un « emplacement » (une « location » en anglais).

Dans les langages fonctionnels, grâce à la transparence référentielle, les variables des programmes sont des variables mathématiques.

Article détaillé : Variable (informatique).

Histoire[modifier | modifier le code]

Dans sa logistique spécieuse, François Viète ouvre la voie au formalisme en utilisant des lettres pour représenter les entités utilisées dans un problème mathématique.

Une mathématique sans variable[modifier | modifier le code]

Le mathématicien Moses Schönfinkel a eu l'idée que l'on pouvait fonder les mathématiques sur une logique sans variable[3]. Il a créé pour cela un système formel que l'on appelle la logique combinatoire. Ce système a été repris et complété par Haskell Curry[4]. Un tel système n'a pas les complications de la substitution, mais perd en lisibilité. En utilisant le calcul des relations, Tarski et Givant ont aussi défini une mathématique sans variable.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Extrait de la tablette BM85200 et VAT6599. Cette tablette est étudiée d'un point de vue algorithmique dans l'article de Donald E. Knuth : Ancient Babylonian Algorithms. Commun. ACM 15(7): 671-677 (1972), repris dans son livre Selected Papers on Computer Science, (Stanford, California: Center for the Study of Language and Information, 1996).
  2. C'est-à-dire qui contient des variables libres.
  3. Moses Schönfinkel, Uber die Bausteine der mathematischen Logik, Annals of Mathematics, 92, 1924, p. 305-316. Trad. par G. Vandevelde, Sur les éléments de construction de la logique mathématique. Analyse et note par Jean-Pierre Ginisti, Mathématiques, informatique et Sciences Humaines (MISH), 112, hiver 1990, p. 5-26. Conférence donnée à Göttingen en 1920.
  4. Dans de nombreux textes depuis An analysis of logical substitution, The American Journal of Mathematics, 51, 1929, p. 363-384. Ouvrages de référence : Haskell Brooks Curry et alii, Combinatory logic 1, 1958 et Combinatory logic 2, 1972, Ed. North Holland. Voir aussi A mathematical logic without variables by John Barkley Rosser, Univ. Diss. Princeton, NJ 1934, p. 127-150, 328-355.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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