Classement Elo

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Pièces d’un jeu d’échecs.

Le classement Elo est un système d’évaluation du niveau de capacités relatif d’un joueur d’échecs ou de jeu de go, ou d’autres jeux à deux joueurs. Plus généralement, il peut servir à comparer deux joueurs d’une partie, et est utilisé par de nombreux jeux en ligne.

Elo se trouve parfois écrit par erreur en haut de casse ELO. Or, il ne s’agit pas d’un acronyme. Il doit son nom à Arpad Elo (1903-1992), un professeur de physique et excellent joueur d’échecs américain d’origine hongroise qui l’a mis au point.

Historique

La Fédération américaine des échecs (USCF), a utilisé le système d’Arpad Elo dès 1960. Il fut ensuite adopté par la Fédération internationale des échecs (FIDE) en 1970. Arpad Elo a décrit son travail dans les détails dans son livre The Rating of Chessplayers, Past and Present, publié en 1978.

Arpad Elo avait étudié la force des joueurs en se basant sur leurs résultats, et en avait déduit que leur force pouvait se mesurer par un classement en points distribué selon une loi normale de répartition.

Des tests statistiques ultérieurs ont montré que la force échiquéenne n’est pas tout à fait distribuée selon une loi normale. Aussi, l’USCF et la FIDE ont fait évoluer la formule de calcul vers une loi logistique. Cependant par respect pour la contribution du professeur Elo, le nom du classement international continue d’être appelé le « classement Elo ».

Théorie Elo

Le classement Elo est basé sur une mesure de la force relative des joueurs.

La force relative entre deux joueurs peut être déterminée facilement si ceux-ci ont disputé entre eux un nombre de parties suffisant pour être significatif. Le résultat statistique obtenu détermine en même temps une probabilité de gain pour les parties à venir entre ces deux mêmes joueurs.

L’idée du classement Elo est de convertir à l’aide d’une fonction Δ (p) la probabilité p de gain d’un joueur contre un autre, en une mesure qui exprime l'écart de niveau entre les deux joueurs et de pouvoir ainsi classer ensemble des joueurs qui ne se sont jamais rencontrés directement.

Le problème se pose dans les termes suivants : connaissant la probabilité de gain d’un joueur A contre un joueur B ainsi que celle de B contre un joueur C, quelle est la probabilité de gain de A contre C ?

$q = P (A/B) \;$ la probabilité de gain de A contre B.

$r = P (B/C) \;$ la probabilité de gain de B contre C.

$p = P (A/C) \;$ la probabilité théorique de gain de A contre C est telle que :

$\frac{p}{1-p}=\frac{q}{1-q}\times\frac{r}{1-r}$

Le rapport entre la probabilité et son complément exprime la force relative f entre deux joueurs.

La force de A contre C est donc égale au produit des forces intermédiaires, celle de A contre B par celle de B contre C :

$f (p) = f (q) \times f (r)$ avec $f (p) = \frac{p}{1 - p}$ et de la force peut se déduire la probabilité : $p = \frac {f ( p )}{ 1 + f ( p )}$

Exemple :

Avec q = 60 %, f (q ) = 0.60 / 0.40 = 1.5, A est une fois et demi plus fort que B.

Avec r = 66 % , f (r ) = 0 .66 / 0.33 = 2, B est deux fois plus fort que C.

f (p) = f (q) x f (r) = 1.5 x 2 = 3, A est trois fois plus fort que C.

Avec f ( p ) = 3 la probabilité de gain de A contre C est p = 3 / 4 soit 75 %.

La force f est une mesure, mais pour avoir un classement additif il faut une fonction Δ (p) telle que : ∆(p) = ∆(q) + ∆(r)

Autrement dit, l’écart mesuré entre A et C doit être égal à la somme des écarts mesurés entre A et B d’une part et B et C d’autre part, ce qui n’est pas le cas avec le produit des forces.

Posons $\Delta ( p ) = t [ f ( p ) ] \;$ où t est une fonction à définir.

$\Delta ( p ) = \Delta ( q ) + \Delta ( r ) \Leftrightarrow t [ f (p) ] = t [ f (q) ] + t [ f (r) ] \;$

$f ( p ) = f ( q ) \times f ( r ) \Rightarrow t [ f (q) \times f (r) ] = t [ f (q) ] + t [ f (r) ]$

Cette transformation par t d’un produit en somme est la définition de la fonction logarithme, le logarithme décimal noté log est choisi pour t :

$\Delta ( p ) = log [ f (p) ] = log [ \frac {p}{1 - p} ]$

Pour étendre la plage de valeurs, un facteur multiplicatif fixé à 400 est introduit.

On obtient la formule Elo : $\Delta ( p ) = 400 \times log (\frac {p}{1 - p})$

D(p)

Exemple :

• Avec q = 0.60 et r = 0.66, les forces sont f(q) = 1.5, f(r) = 2 et f(p) = 3.

∆ (q)   =  400 x log ( 1.5 ) =  400 x 0.176  =  70.4
∆ (r)   =  400 x log ( 2 )   =  400 x 0.301  = 120.4  
∆ (p)   =  400 x log ( 3 )   =  400 x 0.477  = 190.8

Nous avons bien ∆ (p) = 70.4 + 120.4 = 190.8

p(D)

La fonction réciproque p (D) donne la probabilité de gain en fonction de la différence Elo D :

$log (\frac{p(D)}{1-p(D)}) = \frac {D}{400} \Leftrightarrow p(D) = \frac{1}{1 + 10^{\frac{-D}{400}}}$

Cette fonction est comprise entre 0 et 1 et vaut 0.5 en D=0.

Aux échecs, la fonction p (d) est utilisée pour calculer le nouvel Elo E_n+1 en fonction de l'ancien E_n :

$E_{n+1}= E_n + K \times (W - p(D))$

W est le résultat de la partie : 1 pour une victoire, 0.5 pour un nul et 0 pour une défaite.

p (D) représente le résultat attendu de la part du joueur en fonction de la différence D avec son adversaire.

La différence W – p (D) traduit l’écart entre résultat effectif et résultat attendu.

K est un coefficient de développement : 30 pour les 30 premières parties, 15 tant que le joueur est en dessous de 2400 points Elo et définitivement 10 ensuite.

Exemple : un joueur classé 1800 fait nul contre un joueur classé 2005.

$\Delta=1800-2005=-205 \Leftrightarrow p(D) = 0,235 \text{ avec } K=15 :$ $E_{n+1} = 1800 + 15 \times (0,5 - 0,235) = 1800 + 4 = 1804$

Nombre de GMI par tranche de 10 points Elo (Juillet 2009).

En pratique la FIDE limite ses calculs en plafonnant D à 400 points, c’est-à-dire que s’il y a plus de 400 points d’écart, donc plus de 91 % de chances de gain théoriques, la différence est ramenée à 400 points.

Du facteur K dépend la volatilité du classement, plus K est élevé et plus les variations du classement seront amplifiées. Cela pour permettre aux nouveaux joueurs entrants dans le classement de progresser rapidement vers leur niveau réel. Les joueurs anciens dans le classement ont un facteur K moins élevé et les joueurs qui ont atteint un Elo supérieur à 2400 ont leur facteur K au minimum.

Historiquement à l’initialisation du processus en 1970, il fut décidé que tous les grands maîtres internationaux du monde avaient un classement de 2 500 points Elo. C’est à partir de cette base de joueurs initiale que le classement s’est progressivement calculé pour tous les autres joueurs.

Mode de calcul

Les fédérations nationales utilisent souvent un système légèrement différent de celui de la Fédération internationale des échecs (FIDE).

Il existe souvent deux classements distincts : l’un au niveau international, géré par la FIDE, et dit « Classement FIDE » ou « Classement international », et un au niveau national, géré en France par la FFE, par la FQE au Québec, par la FCE au Canada et par la FSE en Suisse, dit « Elo national ». Un joueur peut disposer à la fois d’un classement international et d’un ou plusieurs classements nationaux qui évoluent indépendamment.

Jusqu’en 1993, le seuil minimal du classement FIDE était fixé à 2200, soit le niveau d’un candidat maître, les amateurs ne disposaient que du classement national. Il a été abaissé progressivement jusqu’à atteindre 1200 depuis le 1^er juillet 2009, soit le niveau d’un joueur de club débutant, et l’intention de la FIDE est de le baisser jusqu’à 1000, qui est le niveau d’un débutant en tout début d'apprentissage, soit in fine la totalité des joueurs.

Depuis le 1^er juillet 2009, la différence maximale entre deux classements pour le calcul des points gagnés ou perdus après chaque partie a été ramenée à 400 points au lieu de 350 précédemment.

Calcul du classement FIDE

Nombre de classés FIDE par tranche de 10 points Elo (juillet 2009).

Premier classement 

Dans un système suisse où le joueur rencontre au moins trois joueurs classés FIDE :

• on détermine le classement moyen des adversaires, R_c.
• on calcule le pourcentage de gain contre ces adversaires, p (c’est-à-dire la somme des points obtenus divisée par le nombre de parties)
• on détermine d(p) en fonction de la table FIDE
• si p < 0,5, alors R_u=R_c + d(p)
• si p = 0,5, alors R_u=R_c
• si p > 0,5, alors R_u=R_c + 15 points par demi-point obtenu au-dessus de 50 %

Dès qu’il existe 9 parties jouées, le premier classement publié sera égal à la moyenne pondérée des R_u de chaque tournoi, arrondie à l’entier le plus proche, si toutefois celle-ci dépasse 1200 (seuil plancher au 1^er juillet 2009).

Par exemple, un joueur qui joue trois tournois :

• dans le premier, il réalise un R_u= 2280 sur 5 parties
• dans le second, R_u= 2400 sur 10 parties
• dans le troisième, R_u= 2000 sur 5 parties

Son premier classement sera :

• Rn = ( 2280 × 5 + 2400 × 10 + 2000 × 5 ) / 20 = 2270.

Classement habituel 

Pour chaque partie jouée contre un joueur classé FIDE :

• on détermine la différence d de classement entre le joueur adverse et le sien (ramenée à 400 si elle dépasse 400 depuis le 1^er juillet 2009 - au lieu de 350 avant cette date)
• on détermine p(d) à l’aide de la table FIDE
• on détermine un coefficient K qui vaudra :
  • K=25 jusqu’à la 30^e partie du joueur, sinon
  • K=15 pour un classement Elo en dessous de 2400 Elo, sinon
  • K=10 pour un classement Elo au-dessus de 2400.
• soit W le résultat contre l’adversaire (W=1, ½ ou 0), le nouveau classement sera :
• R_n = R_o + K x (W - p(d))

Par exemple, si un joueur classé 2600 gagne contre un joueur classé 2700, son nouveau classement sera : 2600 + 10 × ( 1 - 0,36 ) = 2606,4. Pour la publication, on arrondira à l’entier le plus proche.

Le classement FIDE est mis à jour tous les deux mois, et publié le 1^er janvier, 1^er mars, 1^er mai et 1^er juillet, 1^er septembre, 1^er novembre. Si un joueur a moins de quatre parties classées sur une période d’un an, il est considéré comme inactif. Si le classement passe en dessous du seuil FIDE (1200), le joueur est retiré de la liste et à nouveau considéré comme un non-classé.

Performance Elo 

On utilise la notion de performance Elo pour caractériser la force d’un joueur dans un tournoi, en fonction de la moyenne des classements Elo des adversaires (R_c) et du résultat contre ceux-ci (p), elle est aussi parfois employée comme système de départage d’un tournoi au système suisse :

• R_p=R_c + d(p)

Statistiques

Au 1er septembre 2010 :

• Joueur classé premier le plus de fois : Garry Kasparov (23 fois)
• Plus jeune joueur classé parmi les 100 premiers : Anish Giri 2 677 points (16 ans - n^o 61)
• Plus jeune joueur parmi les 10 premiers : Magnus Carlsen 2 826 points (20 ans - n^o 1)
• Plus vieux joueur classé parmi les 100 premiers : Kiril Georgiev (45 ans - n^o 51) et Nigel Short (45 ans - n^o 48)

Au 1^er mars 2012, seuls six joueurs avaient dépassé les 2 800 points, soit avec indication de l'Elo le plus élevé :

• Garry Kasparov (2 851),
• Magnus Carlsen (2 835) ,
• Levon Aronian (2 820) ,
• Viswanathan Anand (2 817),
• Veselin Topalov (2 813),
• Vladimir Kramnik (2 811).

Niveau de jeu en fonction du nombre de points

Ces éléments sont donnés à titre indicatif. Les titres sont attribués par la FIDE en fonction de performances réalisées lors de compétitions et si le prétendant a obtenu un classement Elo requis. Ils sont ensuite acquis à vie et le classement d’un maître peut ensuite être inférieur à ce minimum.

• > 1000 : Débutant (enfant)
• > 1200 : Débutant
• > 1400 : Joueur amateur
• > 1600 : Bon joueur
• > 1800 : Très bon joueur
• > 2000 : Niveau national
• > 2200 : candidat maître
• > 2300 : Maître FIDE
• > 2400 : Maître international (~ 2 565 joueurs)
• > 2500 : Grand maître international (~ 1 200 joueurs)
• > 2600 : Les 200 meilleurs joueurs mondiaux
• > 2700 : Les 30 meilleurs joueurs mondiaux
• > 2800 : Seuls Garry Kasparov, Vladimir Kramnik, Veselin Topalov, Viswanathan Anand, Magnus Carlsen et Levon Aronian ont dépassé les 2 800 points

Les numéros un mondiaux

Depuis l’adoption du classement par la FIDE en 1970, seuls sept joueurs ont été classés à la première place. Garry Kasparov est le joueur ayant obtenu le plus haut classement et celui étant resté numéro un le plus longtemps. Il faut noter que Bobby Fischer a cessé de participer aux compétitions après août 1972 mais est resté numéro un jusqu'en 1975. De même, Garry Kasparov s'est retiré du circuit professionnel en mars 2005 et a conservé son classement Elo pendant un an (jusqu'en février 2006).

De 1972 à 1980, les classement Elo étaient publiés une fois par an. De janvier 1981 à juillet 2000, il paraissaient deux fois par an (tous les six mois : en janvier et en juillet). De juillet 2000 à juillet 2009, ils furent publiés quatre fois par an (un classement chaque trimestre : en janvier, avril, juillet et octobre). Depuis septembre 2009, ils sont publiés tous les deux mois.

De 1970 à janvier 2006

Période	Nom	Elo max
janvier 1970 – janvier 1975	Bobby Fischer	2785
janvier 1976 – juillet 1983	Anatoli Karpov	2725
janvier 1984 – juillet 1995	Garry Kasparov	2815
janvier 1996	Garry Kasparov Vladimir Kramnik	2775
juillet 1996 – janvier 2006	Garry Kasparov	2851

Depuis avril 2006

Période	Nom	Elo max
avril 2006 – janvier 2007	Veselin Topalov	2813
avril 2007 – octobre 2007	Viswanathan Anand	2801
janvier 2008	Viswanathan Anand Vladimir Kramnik	2799
avril 2008 – juillet 2008	Viswanathan Anand	2803
octobre 2008 – novembre 2009	Veselin Topalov	2813
janvier 2010 – septembre 2010	Magnus Carlsen	2826
novembre 2010	Viswanathan Anand	2804
janvier 2011	Magnus Carlsen	2814
mars 2011 – mai 2011	Viswanathan Anand	2817
depuis juillet 2011	Magnus Carlsen	2835

Le classement Elo maximum indiqué est celui de la période considérée (ce qui ne correspond pas toujours au meilleur classement Elo du joueur).

Classement récent

Liste des 10 premiers mondiaux au 1^er janvier 2012

Rang	Ancien rang	Nom	Nation	Elo (variation)	Parties jouées	Né en
1	1	Magnus Carlsen	Norvège	2835 (+ 9)	17	1990
2	3	Levon Aronian	Arménie	2805 (+ 3)	25	1982
3	4	Vladimir Kramnik	Russie	2801 (+ 1)	17	1975
4	2	Viswanathan Anand	Inde	2799 (− 12)	17	1969
5	5	Teimour Radjabov	Azerbaïdjan	2773 (- 8)	9	1987
6	7	Veselin Topalov	Bulgarie	2770 ( + 2)	9	1975
7	8	Sergueï Kariakine	Russie	2769 (+ 6)	16	1990
8	6	Vassili Ivantchouk	Ukraine	2766 (- 9)	16	1969
9	9	Aleksandr Morozevitch	Russie	2763 (+ 1)	6	1977
10	11	Vugar Gashimov	Azerbaïdjan	2761 (+ 4)	9	1986

Moyenne Elo : 2784,2 (-0,4)

Cette liste est établie tous les deux mois et les variations concernent la différence avec la liste du 1^er novembre 2011.

Annexes

Bibliographie

• (en) Arpad Elo, The Rating of Chessplayers, Past and Present, New York, Arco Pub., 1978, 206 p. (ISBN 0-668-04721-6 et 9780668047210) (OCLC 4504131) 
• « Jeux et sports : le problème des classements », Rémi Coulom, Pour la Science, juillet 2010, pages 20 à 27.

Articles connexes

• Classement ECF
• Classement mondial de football Elo
• Classement Glicko
• Fédération internationale des échecs