Test d'hypothèse

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En statistiques, un test d'hypothèse est une démarche consistant à évaluer une hypothèse statistique en fonction d'un jeu de données (échantillon).

Par exemple, ayant observé un certain nombre de tirages « pile ou face » produit par une pièce, on peut se demander si celle-ci est biaisée (c'est-à-dire possède une probabilité différente de 1/2 de tomber sur une face donnée). Dans cette situation, l'approche par test d'hypothèse consiste à supposer que la pièce est non biaisée (hypothèse nulle), et à calculer la probabilité d'observer des tirages au moins aussi extrêmes que celui effectivement observé (grâce à une loi binomiale). Si cette probabilité est faible (en pratique, inférieure à un seuil fixé, en général de 5%), on rejette l'hypothèse nulle de l'équiprobabilité des faces de la pièce, et on décide qu'elle est biaisée.

Risque de première et deuxième espèce, puissance du test[modifier | modifier le code]

Une notion fondamentale concernant les tests est la probabilité que l'on a de se tromper.

Il y a deux façons de se tromper lors d'un test statistique :

  • rejeter à tort l'hypothèse nulle lorsqu'elle est vraie. On appelle ce risque le risque de première espèce et en général on note \alpha la probabilité de se tromper dans ce sens. On appelle parfois \alpha le risque de faux positif[1] : en rejetant l'hypothèse nulle, on considère l'hypothèse à tester comme validée (positif) alors qu'elle ne l'est pas (faux), il s'agit d'une fausse découverte.
  • ne pas rejeter l'hypothèse nulle[2] alors qu'elle est fausse. On appelle ce risque le risque de deuxième espèce et en général on note \beta la probabilité de se tromper dans ce sens. On appelle alors \beta le risque de faux négatif : comme on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle, l'hypothèse à tester ne peut pas être validée (négatif) alors qu'elle est vraie (faux).

On cherchera à minimiser ces erreurs. En pratique, il s'agit souvent d'effectuer un compromis entre ces deux types d'erreur.

  • La probabilité 1-\beta d'opter pour l'hypothèse alternative (H_1) à raison s'appelle puissance du test[3].

Tests classiques et tests bayésiens[modifier | modifier le code]

Pour les tests classiques qui constituent l'essentiel des tests statistiques, ces deux erreurs jouent un rôle asymétrique. On contrôle uniquement le risque de première espèce à un niveau \alpha (principe de Neyman) ; cela revient à considérer que le risque de rejeter l'hypothèse nulle alors que cette hypothèse est vraie est beaucoup plus coûteux que celui de la conserver à tort (ce dernier risque n'étant pas maîtrisé).

Pour les tests bayésiens on peut parfois pondérer ces deux risques grâce à la connaissance d'une probabilité a priori. La connaissance de cette probabilité a priori est l'un des fondements de la statistique bayésienne et constitue l'une de ses difficultés majeures. Si on cherche par exemple à tester le fait qu'un certain paramètre \theta vaut une certaine valeur \theta_0 cette probabilité a priori sera une loi de probabilité sur \theta qui donne la probabilité que l'on a d'observer \theta. Cette loi a priori est également appelée croyance a priori ou croyance bayésienne. Ces tests sont souvent d'une mise en œuvre plus complexe que les tests statistiques: la raison principale est qu'ils nécessitent de "trouver" une bonne loi a priori puis de la réviser grâce à la révision des croyances.

Classification[modifier | modifier le code]

D'ordinaire on range les tests dans deux catégories les tests paramétriques et les tests non paramétriques. Les premiers testent la valeur d'un certain paramètre. Ces tests sont généralement les tests les plus simples. Les tests non paramétriques quant à eux ne font pas intervenir de paramètre. C'est par exemple le cas des tests d'adéquation à une loi ou des Test du χ².

On peut également distinguer les tests d'homogénéité et les tests d'adéquations :

  • dans le cas d'un test d'homogénéité, on veut comparer deux échantillons entre eux. L'hypothèse nulle H0 supposera l'homogénéité des deux échantillons. Par exemple on comparera deux moyennes ;
  • dans le cas d'un test d'adéquation (ou conformité), on veut déterminer si un échantillon suit une loi statistique connue. L'hypothèse nulle H0 supposera l'adéquation de l'échantillon à cette loi.

Déroulement d'un test[modifier | modifier le code]

Pour le cas spécifique d'un test unilatéral, le test suit une succession d'étapes définies :

  1. énoncé de l'hypothèse nulle H0 et de l'hypothèse alternative H1 ;
  2. calcul d'une variable de décision correspondant à une mesure de la distance entre les deux échantillons dans le cas de l'homogénéité, ou entre l'échantillon et la loi statistique dans le cas de l'adéquation (ou conformité). Plus cette distance sera grande et moins l'hypothèse nulle H0 sera probable. En règle générale, cette variable de décision se base sur une statistique qui se calcule à partir des observations. Par exemple, la variable de décision pour un test unilatéral correspond à rejeter l'hypothèse nulle si la statistique dépasse une certaine valeur fixée en fonction du risque de première espèce ;
  3. calcul de la probabilité, en supposant que H0 est vraie, d'obtenir une valeur de la variable de décision au moins aussi grande que la valeur de la statistique que l'on a obtenue avec notre échantillon. Cette probabilité est appelée la valeur p (p-value) ;
  4. conclusion du test, en fonction d'un risque seuil αseuil, en dessous duquel on est prêt à rejeter H0. Souvent, un risque de 5 % est considéré comme acceptable (c'est-à-dire que dans 5 % des cas quand H0 est vraie, l'expérimentateur se trompera et la rejettera). Mais le choix du seuil à employer dépendra de la certitude désirée et de la vraisemblance des alternatives ;
  5. si la valeur p est plus grande que \alpha, le test est non concluant, ce qui revient à dire que l'on ne peut rien affirmer. Si la valeur p est plus petite que \alpha on rejette l'hypothèse nulle.

La probabilité pour que H0 soit acceptée alors qu'elle est fausse est β, le risque de deuxième espèce. C'est le risque de ne pas rejeter H0 quand on devrait la rejeter. Sa valeur dépend du contexte, et peut être très difficilement évaluable (voire impossible à évaluer) : c'est pourquoi seul le risque α est utilisé comme critère de décision.

Tests classiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Test (statistique).

Il existe de nombreux tests statistiques classiques parmi lesquels on peut citer :

  • le test de Student, qui sert à la comparaison d'une moyenne observée avec une valeur « attendue » pour un échantillon distribué selon une loi normale  ;
  • le test de Fisher, aussi appelé test de Fisher-Snédécor, qui sert à la comparaison de deux variances observées.
  • l'Analyse de la variance ou Anova, permet de comparer entre elles plusieurs moyennes observées (pour les groupes étudiés), selon un plan expérimental prédéterminé. Elle se base sur une décomposition de la variance en une partie « explicable » (variance inter-groupes) et une partie « erreur » (variance globale intragroupe - ou variance résiduelle), supposée distribuée selon une loi normale. Ce test est particulièrement utilisé en sciences humaines, sciences sociales, sciences cognitives, en médecine et en biologie ;
  • le test du χ², également appelé test du \chi^2 de Pearson, qui sert notamment à la comparaison d'un couple d'effectifs observés, ou à la comparaison globale de plusieurs couples d'effectifs observés, et plus généralement à la comparaison de deux distributions observées ;
  • le test de Kolmogorov-Smirnov, qui comme le test du \chi^2 constitue un test d'adéquation entre des échantillons observés et une distribution de probabilité. Il compare la fonction de répartition observée et la fonction de répartition attendue. Il est particulièrement utilisé pour les variables aléatoires continues.

En inférence bayésienne, on utilise le psi-test (mesure de distance dans l'espace des possibles) dont on démontre que le test du \chi^2 représente une excellente approximation asymptotique lorsqu'il existe un grand nombre d'observations.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Stephan Morgenthaler, Introduction à la statistique, PPUR presses polytechniques, 2007, p.145.
  2. Il ne s'agit pas d'accepter l'hypothèse nulle mais seulement de juger que les résultats obtenus ne permettent pas de l'invalider.
  3. Gilbert Saporta, Probabilités, analyse des données et statistique, Technip Editions,‎ 1990 (ISBN 2-7108-0565-0) [détail des éditions] Page 320.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

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