Pôle (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Pôle.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité qui se comporte comme la singularité z = 0 de la fonction $\mathbb{C}^\star \to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{1}{z^n} \,$.

Un pôle de la fonction f est un point a pour lequel f(z) tend vers l'infini lorsque z tend vers a.

Formellement, soient $U$ un ouvert du plan complexe $\mathbb{C}$, a un élément de U et $f: U \setminus \{a\}\rightarrow \mathbb{C}$ une fonction holomorphe. S'il existe une fonction holomorphe $g:U \rightarrow \mathbb{C}$ et un entier naturel non nul n tels que :

$g(a) \neq 0\quad \mathrm{et}\quad f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}$ pour tout z dans $U \setminus \{a\}$

alors a est un pôle de f. L'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est un pôle simple.

Voir aussi

• Zéro (analyse complexe)
• Résidu (analyse complexe)
• Fonction rationnelle