Conjecture de Mertens

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En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi :

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

μ étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

|M(n)|<\sqrt n.

Stieltjes prétendit en 1885 que M(n)/n était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être –1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1897 affirmant, calcul de M(104) à l'appui, que l'inégalité |M(n)| < n lui semblait très probable pour tout n > 1.

Or toute inégalité de la forme |M(n)| < cn, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à :

\forall\varepsilon>0,\qquad M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon}).

On démontre un sens de cette équivalence ainsi :

\frac1{\zeta(z)}=z\int_1^\infty\frac{M(x)}{x^{z+1}}~\mathrm dx

ζ est la fonction zêta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, ce qui impliquerait que 1/ζ est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros non triviaux de ζ vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Herman te Riele et Andrew Odlyzko ont démontré que la conjecture de Mertens est fausse[1]. Plus précisément, ils ont démontré que M(n)/n a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à –1,009[2]. János Pintz a montré peu après qu'il existe au moins un entier inférieur à exp(3,21.1064) réfutant la conjecture[3].

On ignore toujours si M(n)/n est bornée, mais Te Riele et Odlyzko considèrent qu'il est probable que non.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mertens conjecture » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) A. Odlyzko et H. J. J. te Riele, « Disproof of the Mertens conjecture », J. reine angew. Math., vol. 357,‎ 1985, p. 138-160 (lire en ligne)
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Mertens Conjecture », MathWorld
  3. (en) J. Pintz, « An effective disproof of the Mertens conjecture », Astérisque, no 147-148,‎ 1987, p. 325-333