Exponentielle intégrale

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En mathématiques, l'exponentielle intégrale Ei(x) est définie par :

\mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{{\rm e}^{-t}}t\,\mathrm dt\, = \int_{-\infty}^x\frac{{\rm e}^{t}}t\,\mathrm dt.

Comme l'intégrale de 1/t diverge en 0, cette définition doit être comprise en termes de valeur principale de Cauchy.

L'exponentielle intégrale de x
Représentation graphique des fonctions E1 (en haut) et Ei (en bas)

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ 
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!},

γ est la constante d'Euler-Mascheroni.


Elle est reliée à une autre fonction définie par :

{\rm E}_1(x) = \int_x^\infty \frac{{\rm e}^{-t}}t\,\mathrm dt=-\int_{-\infty}^{-x} \frac{{\rm e}^{t}}t\,\mathrm dt.

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale aux réels négatifs compte tenu de l'identité :

{\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x).

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-{\rm e}^{-t})\,\frac{\mathrm dt}t
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}.

En effet, on peut écrire :

{\rm E}_1(x)=-\gamma-\ln x + {\rm Ein}(x)

et

{\rm Ei}(-x)=\gamma+\ln x - {\rm Ein}(x).

Calcul de E1[modifier | modifier le code]

Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E1(x) en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5[modifier | modifier le code]

On a :

\mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad (|\mathrm{Arg}(z)| < \pi).

La somme est convergente pour tout x réel positif, mais avec les opérations à virgule flottantes, le résultat est inexact pour x > 2,5 à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeurs différents.

Pour x > 40[modifier | modifier le code]

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher E1 pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties[1], qui donne le développement asymptotique suivant :


\mathrm{E_1}(z)=\frac{\exp(-z)}z\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n}+o\left(\frac{\exp(-z)}{z^N}\right).

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.[réf. souhaitée]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Norman Bleistein et Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover,‎ 1975 (ISBN 978-0-486-65082-1), p. 3.

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230

Voir aussi[modifier | modifier le code]