Produit eulérien

En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers.

Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann.

Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler.

Leonhard Euler

Travaux d'Euler

Calcul d'Euler

Euler cherche à évaluer la répartition des nombres premiers dont l'ensemble est ici noté P. Pour cela, il établit la formule suivante :

$\forall s\in\C\quad\operatorname{Re}(s)>1\Rightarrow\sum_{n=1}^\infin~\frac1{n^s}~=~\prod_{p\in\mathcal{P}}~\frac1{1-p^{-s}}.$

Ici Re(s) désigne la partie réelle de s.

Euler donne au terme de gauche le nom de fonction zeta, elle est définie sur le demi-plan complexe par :

$\forall s\in\C\quad\operatorname{Re}(s)>1\quad\zeta(s)~=~\sum_{n=1}^\infin~\frac1{n^s}.$

Cette fonction se prolonge analytiquement sur l'ensemble du plan complexe en une fonction méromorphe.

Démonstration rigoureuse

Soit k un entier strictement positif, P_k l'ensemble des k premiers nombres premiers et N_k l'ensemble des entiers strictement positifs dont la décomposition en facteurs premiers ne comporte que des nombres premiers de l'ensemble P_k. Les éléments de P_k sont notés p₁, ..., p_k. L'exposant maximal de la décomposition en facteurs premiers d'un entier n est noté E(n).

La notation α désigne ici un k-uplet (α₁, α₂, ..., α_k) d'entiers positifs et N(α) désigne la valeur maximale atteinte par le k-uplet.

Enfin, s désigne un nombre complexe dont la partie réelle est strictement supérieure à 1 et $l$ un entier strictement positif. L'objectif est de calculer la somme $S_{kl}(s)$ définie par :

$S_{kl}(s)~=~\sum_{n\in N_k~E(n)\le l}\frac1{n^s}.$

Un double passage à la limite, d'abord sur $l$ puis sur $k$ permet de conclure. On remarque en effet que la somme s'écrit aussi :

$(1)\quad S_{kl}(s)~=~\sum_{N(\alpha)\le l}\frac1{(p_1^s)^{\alpha_1}.(p_2^s)^{\alpha_2}.\cdots.(p_k^s)^{\alpha_k}}~=~\sum_{N(\alpha)\le l}~\prod_{i = 1}^k \frac1{(p_i^s)^{\alpha_i}}=\prod_{i=1}^k~\sum_{j=0}^l\frac1{(p_i^s)^j}.$

Chacune des $k$ sommes du produit obtenu est absolument convergente. On en déduit :

$(2)\quad\sum_{n\in N_k~E(k)\le l}\frac1{|n^s|}\le\prod_{i=1}^k~\sum_{j=0}^{\infty}\frac1{|p_i^s|^j}~=~\prod_{i=1}^k\frac1{1-|p_i^{-s}|}.$

La série en $l$ de la majoration (2) est donc absolument convergente, on en déduit l'égalité :

$(3)\quad\sum_{n\in N_k}\frac1{n^s}~=~\prod_{i=1}^k\frac1{1-p_i^{-s}}.$

La série en $k$ de l'égalité (3) est aussi absolument convergente, on en déduit :

$\forall s\in\C\quad\operatorname{Re}(s)>1\Rightarrow\zeta(s)~=~\sum_{n=1}^\infin~\frac1{n^s}~=~\prod_{i=1}^{\infty}\frac1{1-p_i^{-s}}.$

Démonstration élémentaire due à Euler

Dans cette démonstration, on utilise la méthode du crible d'Ératosthène qui sert à trier les nombres premiers.

Le schéma de cette démonstration ne fait appelle qu'à des connaissances usuelles enseignées dans les lycées. C'est ainsi qu'Euler découvrit cette formule. On y utilise des propriétés du crible d'Ératosthène vu ci-dessus :

Considérons l'égalité suivante qui définit la fonction zéta de Riemann :

$\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \ldots$

Divisons tous les termes de l'égalité par ${2^s}$, on obtient l'égalité :

$\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+ \ldots$

En soustrayant la 2nde égalité de la 1ère, on élimine tous les dénominateurs « pairs » (c'est-à-dire les $\frac{1}{2^s}$ ; $\frac{1}{4^s}$ ; $\frac{1}{6^s}$ ; $\frac{1}{8^s}$ etc...) du membre de droite de l'égalité.

En mettant en facteur $\zeta(s)$ dans le terme de gauche, on obtient :

$\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \ldots$

On recommence la même démarche en utilisant le nombre premier suivant, c'est-à-dire qu'on divise l'égalité précédente par ${3^s}$  et on obtient :

$\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+ \ldots$

En faisant une nouvelle soustraction des 2 lignes précédentes et en mettant en facteur $\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s)$ dans le terme de gauche on obtient :

$\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+ \ldots$

où tous les termes ayant un dénominateur écrit à partir d'un multiple de 2, de 3 (ou des deux) ont été éliminés.

C'est le lien avec le crible d’Ératosthène car en continuant la même démarche, on élimine du membre de droite les termes écrits à partir des nombres premiers suivants 5, 7, 11, 13 à l'infini et on obtient :

$\ldots \left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1$

En divisant de part et d'autre par tout sauf ζ(s) on obtient :

$\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{11^s}\right) \ldots }$

Ce qui peut s'écrire plus brièvement comme un produit infini étendu à tous les entiers premiers p :

$\zeta(s) = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}$

Pour finir cette démonstration, il suffit de remarquer que pour $\Re(s) > 1$, la somme de droite, d’où on fait progressivement « disparaître » des termes du fait du criblage, converge vers 1, ce qui découle immédiatement de la convergence des séries de Dirichlet pour ζ(z).

Cette démonstration est une adaptation de l'article de wikipédia en anglais : Preuve du produit eulérien d'Euler pour la fonction zéta de Riemann [1].

Série des inverses des nombres premiers

L'objectif est de déterminer une première loi sur la fréquence des nombres premiers. Il devient ainsi possible, par exemple, de répondre à la question : sont-ils plus ou moins nombreux que les carrés parfaits. Cette proposition doit se lire au sens où, si N est un entier suffisamment grand, existe-t-il plus de carrés parfaits inférieurs à N ou moins ? Euler répond à cette question en démontrant la divergence de la série des inverses des nombres premiers :

$\sum_{p\in\mathcal P}\frac1p~=~+\infty.$

Ainsi, si pour tout n, il existait un nombre N plus grand que n tel que le nombre de nombres premiers soit supérieur au nombre de carrés parfaits, alors la série de terme général 1/n² divergerait, ce qui n'est pas le cas.

Démonstration

L'égalité suivante montre que, si s tend vers 1, la fonction ζ diverge :

$\forall s>1\quad\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}.$

Si $\ln$ désigne le logarithme naturel, le théorème des accroissements finis montre que pour tout ${}^{x\in\left]0,\frac12\right]}$ :

$\frac{-\ln(1-x)}x\le2.$

En particulier, pour tout réel $s>1$ :

$\forall p\in\mathcal P\quad-\ln (1-p^{-s})\le2p^{-s}.$

Le produit eulérien permet d'en déduire la majoration suivante :(**)

$\ln(\zeta (s))=\ln\left(\prod_{p\in\mathcal P}\frac1{1-p^{-s}}\right)\le2\sum_{p\in\mathcal P}p^{-s}.$

Or pour tout $p \in\mathcal P$ et pour tout $s>1,p^{-s}<\frac{1}{p}$, donc pour tout $N \in \mathcal N$ et pour tout $s>1, \sum_{p\in \mathcal P}^{p<N}\frac{1}{p}>\sum_{p\in \mathcal P}^{p<N}p^{-s}$, et quand N tend vers $\infty$, $\sum_{p\in \mathcal P}\frac{1}{p}\ge\sum_{p\in \mathcal P}p^{-s}$ et ce pour tout s>1. Or l'inéquation (**) montre que $\sum_{p \in \mathcal P}p^{-s}$ diverge vers $+\infty$ quand s tend vers 1, il suffit alors de passer l'inégalité précédente à la limite quand s tend vers 1 pour démontrer la proposition.

L'objectif suivant est de trouver un équivalent à la suite des nombres premiers. Il est donné par le théorème des nombres premiers.

Calcul pour s égal à 2

Euler parvient à déterminer la valeur de la fonction ζ pour s égal à deux. Le calcul s'obtient très simplement avec l'aide des outils de l'analyse harmonique. Il suffit pour cela d'appliquer l'égalité de Parseval à la transformée de Fourier de la fonction périodique, notée f, de période 2π et égale à l'identité sur [-π, π[. On obtient :

$\zeta(2)~=~\prod_{p\in\mathcal P}\frac1{1- p^{-2}}~=~\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$

Euler établit ainsi une étrange relation entre un produit infini, construit avec des nombres premiers, et l'aire de la surface d'un cercle. Le problème de la sommation de la série associée était connu depuis longtemps sous le nom de problème de Mengoli. Euler annonça sa résolution en 1735 et la publia en 1743.

Démonstration

Calculons les coefficients (c_n) de la transformée de Fourier de f. Comme elle est impaire, le coefficient c₀ est nul.

Le calcul de c_n se traduit, en utilisant une intégration par parties, par :

$c_n = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t~e^{-int}~\mathrm dt=\frac 1{2\pi}\left[\frac int~e^{-int}\right]_{-\pi}^\pi-\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac ine^{-int}~\mathrm dt=(-1)^n~\frac in.$

L'égalité de Parseval permet d'établir que :

$2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\sum_{n \in\Z}c_n\overline{c_n}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\mathrm dt=\frac{\pi^2}3.$

Autres produits eulériens

Caractère de Dirichlet

Dirichlet souhaite démontrer que les nombres premiers dans une classe m de Z/nZ sont en nombre infini, si m et n sont premiers entre eux. Il utilise les caractères portant maintenant son nom et, au cours d'un calcul explicité dans le paragraphe Produit eulérien de l'article sur ces caractères, aboutit sur le produit suivant :

$\prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac{\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1}.$

Ici χ désigne un caractère de Dirichlet, l'ensemble des caractères est noté $\scriptstyle \widehat U$ et s représente un nombre réel strictement supérieur à un. Dirichlet établit alors une famille de produits Eulériens :

$\forall s \in ]1, +\infty[ \quad \forall \chi \in \widehat U \quad L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\chi(k)}{k^s} \ = \ \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1}.$

En effet, la fonction χ est complètement multiplicative, le calcul d'Euler s'applique de la même manière.

• La fonction L(s, χ) est appelée série L de Dirichlet du caractère χ.

La convergence est absolue si s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction zêta de Riemann et apparaissent comme prééminente dans l'hypothèse de Riemann généralisée.

Généralisation

En général, une série de Dirichlet de la forme

$\sum_{n} a(n)n^{-s}\,$

où $a(n)\,$ est une fonction multiplicative de n peut être écrite sous la forme

$\prod_{p} P(p,s)\,$

où $P(p,s)\,$ est la somme

$1 + a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \ldots$ .

En fait, si nous considérons cela comme des fonctions génératrices formelles, l'existence d'un tel développement formel en produit eulérien est une condition suffisante et nécessaire pour que $a(n)$ soit multiplicative : cela dit exactement que $a(n)$ est le produit des $a(p^k)$, où les p^k sont les facteurs primaires de n.

Dans la pratique, tous les cas importants sont tels que la série infinie et le développement en produit infini sont absolument convergents dans une certaine région Re(s) > C, c’est-à-dire dans un certain demi-plan droit des nombres complexes. Cela nous donne déjà quelques informations, puisque le produit infini, pour converger, doit donner une valeur différente de zéro ; donc la fonction donné par la série infinie n'est pas zéro dans un tel demi-plan.

Un cas particulier important est celui dans lequel P(p,s) est une série géométrique, car $a(n)$ est complètement multiplicative. Alors, nous aurons

$P(p,s) = \frac1{1 - a(p)p^{-s}},$

comme c'est le cas pour la fonction zêta de Riemann (avec $a(n) = 1$), et plus généralement pour les caractères de Dirichlet. Dans la théorie des formes modulaires il est typique d'avoir des produits eulériens avec en dénominateur des polynômes quadratiques. Le programme de Langlands général inclut une explication comparative de la connexion de polynômes de degré m, et de la théorie des représentations pour GL_m.

Notes et références

Références

• Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane, La Fonction Zêta, Paris, Éditions de l'École polytechnique, 2002 (ISBN 978-2-7302-1011-9) 
• (en) Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000 (ISBN 978-0-387-95097-6) 
• (en) Anatoliĭ A. Karat͡suba, Basic analytic number theory, Springer, 1993 (ISBN 978-0-387-53345-2) 
• (en) S. J. Patterson (de), An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 14), 1995 (ISBN 978-0-521-49905-7) 

Liens externes

• Leonhard Euler sur le site « l'univers de π » de Boris Gourévitch
• (en) Infinitely many primes, with analysis, cours d'Andrew Granville à l'université de Montréal