Problème de Bâle

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En mathématiques, le problème de Bâle (connu parfois aussi sous le nom de « problème de Mengoli ») est renommé dans la théorie des nombres. Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, il est résolu par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1735, dont Bâle est la ville natale. Le problème résistait aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque, aussi la solution d'Euler lui apporta une notoriété immédiate à l'âge de 28 ans. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées furent reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel il a défini la fonction ζ et a démontré ses propriétés de base.

Le problème demande la valeur exacte de la somme de la série :


\sum_{n=1}^\infin \frac1{n^2} =
\frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \cdots
.

Celle-ci est approximativement égale à 1,644 934 066 848 226 43. À cause de la lente convergence de la série[note 1], une telle valeur approchée n'a pu être trouvée qu'en mettant en œuvre des méthodes d'accélération de convergence, ce qui a notamment été fait par Stirling[1] en 1730 et Euler[2] en 1731. Ce dernier a annoncé en 1735 la découverte de la somme exacte[3] :

\sum_{n=1}^\infin \frac1{n^2} =\frac{\pi^2}6.

Ses arguments d'alors se basent sur des manipulations injustifiées, et ce n'est que dix ans plus tard qu'il produit une démonstration rigoureuse[4].

Euler attaque le problème[modifier | modifier le code]

La déduction d'Euler de la valeur π2/6 utilise essentiellement des observations sur les polynômes, en présumant que ces mêmes propriétés sont toujours vraies pour les séries infinies. Le raisonnement original d'Euler requiert une justification, mais même sans justification, en obtenant la valeur correcte, il est capable de la vérifier numériquement par rapport aux sommes partielles de la série. La concordance qu'il observe lui inspire suffisamment confiance pour annoncer son résultat à la communauté mathématique.

Pour suivre l'argument d'Euler, rappelons le développement en série de Taylor de la fonction sinus

\forall x \in \R,\ \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

En supposant x non nul et en divisant par ce réel, nous avons

 \frac{\sin(x)}x= 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots

Maintenant, les racines de sin(x)/x (intersection avec l'axe des x) apparaissent précisément pour x = ±nπ, où n = 1, 2, 3…. Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines :

\begin{align}\frac{\sin(x)}x&=\left(1 - \frac x\pi\right)\left(1 + \frac x\pi\right)\left(1 - \frac x{2\pi}\right)\left(1 + \frac x{2\pi}\right)\left(1 - \frac x{3\pi}\right)\left(1 + \frac x{3\pi}\right) \cdots\\
&= \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots\end{align}

Si nous effectuons formellement ce produit et regroupons tous les termes x2, nous voyons que le coefficient de x2 dans sin(x)/x est


-\left(\frac1{\pi^2} + \frac1{4\pi^2} + \frac1{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac1{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}.

Mais, à partir du développement de la série infinie originale de sin(x)/x, le coefficient de x2 est

-\frac1{3!} = -\frac16.

Ces deux coefficients doivent être égaux ; ainsi,


-\frac16=
-\frac1{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}.

En multipliant les deux côtés de cette équation par –π2, nous obtenons la somme des inverses des carrés d'entiers positifs.

La fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Riemann ζ(s) est une des plus importantes fonctions de la théorie des nombres, à cause de sa relation avec la distribution des nombres premiers. La fonction est définie pour tout nombre complexe s avec une partie réelle > 1 par la formule suivante[note 2] :


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin\frac1{n^s}.

En prenant s = 2, nous voyons que ζ(2) est égale à la somme des inverses des carrés d'entiers positifs :


\zeta(2) =
\sum_{n=1}^\infin\frac1{n^2} =
\frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \cdots \approx 1,644934.

Comment savons-nous qu'elle converge ? Nous pouvons démontrer ceci avec l'inégalité suivante :

Pour tout entier N,
\sum_{n=1}^N \frac1{n^2} < 1 + \sum_{n=2}^N \frac1{(n-1)n} = 1 + \sum_{n=2}^N \left( \frac1{n-1} - \frac1n\right) = 2 - 1/N < 2.

Or la série est à coefficients tous positifs, donc la suite des sommes partielles est croissante. Etant majorée par 2, elle converge.

Ceci nous donne la majoration ζ(2) < 2, mais la valeur exacte ζ(2) = π2/6 est demeurée longtemps inconnue, jusqu'à ce qu'Euler la calcule numériquement en 1735, (ré)inventant pour ce faire la formule connue à présent sous le nom de formule sommatoire d'Euler-Maclaurin, et constate son égalité (jusqu'à la vingtième décimale) avec π2/6, puis construise la démonstration. Il a démontré à la même occasion que ζ(s) a une belle expression en nombres de Bernoulli quand s est un entier positif pair.

Une démonstration[modifier | modifier le code]

L'argument suivant prouve l'identité ζ(2) = π2/6, où ζ est la fonction zêta de Riemann. C'est la démonstration la plus simple disponible ; car la plupart des démonstrations utilisent des résultats de mathématiques avancées, telle que les séries de Fourier, l'analyse complexe[note 3] et le calcul à plusieurs variables ; celle qui suit ne requiert même pas le calcul à une variable (bien qu'une limite soit prise à la fin).

L'origine de cette démonstration n'est pas claire. Elle apparaît dans le journal Eureka en 1982, attribuée à John Scholes, mais Scholes a déclaré qu'il a appris la démonstration de Peter Swinnerton-Dyer, et dans tous les cas il maintient que la démonstration est un « savoir commun de Cambridge à la fin des années 1960 ».

Rappels trigonométriques[modifier | modifier le code]

On utilise les propriétés suivantes sur les fonctions cotangente cot = cos/sin et cosécante cosec = 1/sin :

La démonstration[modifier | modifier le code]

L'idée principale derrière la démonstration est de borner les sommes partielles

\sum_{k=1}^m \frac1{k^2} = \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \cdots + \frac1{m^2}

entre deux expressions, chacune tendant vers π2/6 quand m tend vers l'infini. Ces deux expressions sont issues d'identités impliquant la fonction cotangente et la fonction cosécante, identités découlant à leur tour de la formule de De Moivre.

Soit x ∈ ]0, π/2[, et soit n un entier positif. Alors, à partir de la formule de De Moivre et de la définition de la fonction cotangente, nous avons

\frac{\cos (nx) + {\rm i} \sin (nx)}{(\sin x)^n} = \frac{(\cos x + {\rm i} \sin x)^n}{(\sin x)^n} = \left(\frac{\cos x + {\rm i} \sin x}{\sin x}\right)^n = (\cot x + {\rm i})^n.

À partir de la formule du binôme de Newton, nous avons

\begin{align}(\cot x + {\rm i})^n &= {n \choose 0} \cot^n x + {n \choose 1} (\cot^{n-1} x){\rm i} + \cdots + {n \choose {n-1}} (\cot x){\rm i}^{n-1} + {n \choose n} {\rm i}^n\\&= \left[ {n \choose 0} \cot^n x - {n \choose 2} \cot^{n-2} x \pm \cdots \right] \; + \; {\rm i}\left[ {n \choose 1} \cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots \right] .\end{align}

En combinant les deux équations et en identifiant les parties imaginaires, on obtient

\frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n} = \left[ {n \choose 1} \cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots \right].

Dans cette identité, fixons n = 2m + 1, où m est un entier positif, et x = rπ/(2m + 1), où r ∈ {1, … , m}. Alors nx = rπ, donc sin(nx) = 0, ainsi

0 = {{2m+1} \choose 1} \cot^{2m} x - {{2m+1} \choose 3} \cot^{2m-2} x \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.

Cette équation est valable pour chacune des valeurs x = rπ/(2m + 1), où r ∈ {1, … , m}. Ces valeurs de x sont des nombres distincts appartenant à l'intervalle ]0, π/2[. Puisque sur cet intervalle la fonction cot2 est injective (car strictement décroissante), les nombres cot2(x) = cot2(rπ/(2m + 1)) sont par conséquent distincts pour r ∈ {1, … , m}. Mais par l'équation précédente, chacun de ces m nombres distincts est une racine du polynôme de degré m suivant

P(t) := {{2m+1} \choose 1}t^m - {{2m+1} \choose 3}t^{m-1} \mp + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}},

ce qui veut dire que les nombres cot2(rπ/(2m + 1)), pour r ∈ {1, … , m} sont précisément les racines du polynôme P. Mais nous pouvons calculer la somme de ces racines directement en examinant les coefficients, et la relation entre coefficients et racines montre que

\begin{align}\cot ^2 \left(\frac{\pi}{2m+1}\right) + \cot ^2 \left(\frac{2 \pi}{2m+1}\right)+ \cdots + \cot ^2 \left(\frac{m \pi}{2m+1}\right)&= {{2m+1} \choose 3}\left/ {{2m+1} \choose 1}\right.\\&= \frac{(2m)(2m-1)}6.\end{align}

En substituant l'identité cosec2(x) = 1 + cot2(x), nous avons

\begin{align}\mathrm{cosec}^2 \left(\frac{\pi}{2m+1}\right)+\mathrm{cosec}^2 \left(\frac{2 \pi}{2m+1}\right)+\cdots+\mathrm{cosec}^2 \left(\frac{m \pi}{2m+1}\right)
&= {{2m+1} \choose 3} / {{2m+1} \choose 1} + m\\&= \frac{(2m)(2m+2)}6 .\end{align}

Maintenant, considérons l'encadrement cot2(x) < 1/x2 < cosec2(x). Si nous additionnons tous ces encadrements pour chaque nombre x = rπ/(2m + 1), et si nous utilisons les deux identités ci-dessus, nous obtenons

\frac{(2m)(2m-1)}6< \left( \frac{2m+1}{\pi} \right) ^2 + \left( \frac{2m+1}{2 \pi} \right) ^2 + \cdots + \left( \frac{2m+1}{m \pi} \right) ^2 < \frac{(2m)(2m+2)}6.

En les multipliant par [π/(2m + 1)]2, cela devient

\frac{\pi ^2}6\left(\frac{2m}{2m+1}\right)\left(\frac{2m-1}{2m+1}\right) < \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \cdots + \frac1{m^2} < \frac{\pi ^2}6\left(\frac{2m}{2m+1}\right)\left(\frac{2m+2}{2m+1}\right).

Lorsque m tend vers l'infini, les parties gauche et droite tendent chacune vers π2/6 donc, par le théorème des gendarmes,

\zeta(2) =
\sum_{k=1}^\infin \frac1{k^2} =
\lim_{m \to \infty}\left(\frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \cdots + \frac1{m^2}\right) = \frac{\pi ^2}6.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Basel problem » (voir la liste des auteurs)

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Pour obtenir 4 décimales exactes, il faut additionner plus de 15 000 termes de la somme.
  2. Il est possible en fait de définir ζ pour tout complexe différent de 1 par différentes méthodes de prolongement, par exemple en remarquant que \scriptstyle\eta(s)=\sum_{n\ge1}(-1)^s/n^s=(1-1/2^s)\zeta(s)  ; voir fonction zêta de Riemann pour plus de détails.
  3. L'analyse complexe fournit par exemple un développement de π2/sin2x) qui, appliqué à x = 1/2, donne la somme des carrés des inverses des entiers naturels impairs : π2/8 = ζ(2) – ζ(2)/4, d'où ζ(2) = (π2/8)×(4/3) = π2/6.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, (1730), Prop.XI, exemple 1, p.55-56 ; il obtient la relation \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n^2 {2n \choose n}}, qui lui permet un calcul de la somme avec une bonne précision, mais ne reconnait pas la valeur exacte π2/6.
  2. Euler, Opera Omnia, Series 1, Volume 14, p. 39-41 (E20 : De summatione innumerabilium progressionum).
  3. Euler, Opera Omnia, Series 1, Volume 14, p. 73-86 (E41 : De summis serierum reciprocarum).
  4. Euler, Opera Omnia Series 1, Volume 14, p. 177-186 (E63).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]