Fonction êta de Dirichlet

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Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe.

La fonction êta de Dirichlet peut être définie par

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

\zeta\, est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1-2^{1-s}. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s=1, et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur 1-2^{1-s}.

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}~\mathrm dx

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin.

Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est

\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1) .

Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet).

Méthode de Borwein[modifier | modifier le code]

Peter Borwein a utilisé des approximations impliquant les polynômes de Tchebychev pour concevoir une méthode pour une évaluation efficace de la fonction êta.

Si d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}, alors

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),

où, pour \Re(s) \ge \frac{1}{2} , le terme d'erreur \gamma_n\, est majoré par

\gamma_n(s) \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|t|)e^{|t|\pi/2}

avec t = \Im(s)\,.

Références[modifier | modifier le code]