Série des inverses des nombres premiers

En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général ¹⁄_pi où $p_i$ désigne le $i$-ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant ; elle diverge vers l'infini :

$\sum_{i=1}^\infty\frac1{p_i}=\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\frac1{11}+\frac1{13}+\ldots=+\infty.$

Preuve par l'analyse

La preuve suivante est due à Paul Erdős.

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un nombre entier suffisamment grand $m$ tel que :

$\sum_{i=m+1}^\infty\frac1{p_i}<\frac12.$

Définissons $N(x)$ comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à $x$ et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les $m$ premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme $kr^2$ où $k$ est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les $m$ premiers nombres premiers peuvent diviser $k$, il y a au plus $2^m$ choix pour $k$. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus √x valeurs possibles pour $r$, cela nous donne :

$N(x)\le2^m\sqrt x.$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à $x$ et divisibles par un nombre premier différent des $m$ premiers est égal à $x-N(x)$.

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à $x$ et divisibles par $p$ est au plus $x/p$, nous obtenons :

$x-N(x)\le\sum_{i=m+1}^\infty{x\over p_i}<{x\over2},$

ou encore

${x\over2}<N(x)\le2^m\sqrt x.$

Mais cela est impossible pour tout $x$ supérieur à $2^{2m+2}$, d'où une contradiction.

Preuve par un produit eulérien

Comme on a l'équivalence

$\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)\sim\frac1{p_i},$

il suffit de montrer que la série de terme général $\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)$ diverge. Or cette série est à termes positifs, donc sa somme est égale à la borne supérieure de ses sommes partielles :

$\sum_{i=1}^\infty\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)=\sup_{m\in\N}\ln(S_m),$ où

$S_m=\prod_{i=1}^m\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)=\prod_{i=1}^m\sum_{k=0}^\infty\frac1{{p_i}^k}=\sum_{k_1,\ldots,k_m\in\N}\frac1{p_1^{k_1}\ldots p_m^{k_m}}$

est la somme des inverses de tous les entiers naturels n'admettant pas d'autres diviseurs premiers que les m premiers, donc

$\sup_{m\in\N}S_m=\sum_{n=1}^\infty\frac1n=+\infty,$

si bien que finalement,

$\sum_{i=1}^\infty\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)=\sup_{m\in\N}\ln(S_m)=+\infty.$

Une variante plus savante de cette démonstration consiste à utiliser (voir l'article Produit eulérien) que

$\forall s>1,\quad\zeta(s)\ =\ \sum_{n=1}^\infin\ \frac1{n^s} \ = \ \prod_{i = 1}^{\infty}\frac 1{1-p_i^{-s}}\ \le\ \prod_{i=1}^{\infty}\frac 1{1-p_i^{-1}}$

et que (par comparaison série-intégrale) quand s tend vers 1 par valeurs strictement supérieures,

$\zeta(s)\sim\frac1{s-1}\to+\infty.$

Annexes

Articles connexes

• Constante de Meissel-Mertens : intervient dans le développement asymptotique de la série divergente étudiée ici
• Théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge

Lien externe

(en) There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?, sur le site Prime Pages de Chris Caldwell