Série des inverses des nombres premiers

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En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général 1/pip_i désigne le i-ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant ; elle diverge vers l'infini :

\sum_{i=1}^\infty\frac1{p_i}=\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\frac1{11}+\frac1{13}+\ldots=+\infty.


Preuve par l'analyse[modifier | modifier le code]

La preuve suivante est due à Paul Erdős[1].

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel suffisamment grand m tel que :

\sum_{i=m+1}^\infty\frac1{p_i}<\frac12.

Définissons N(x) comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les m premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme kr^2k est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les m premiers nombres premiers peuvent diviser k, il y a au plus 2^m choix pour k. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus x valeurs possibles pour r, cela nous donne :

N(x)\le2^m\sqrt x.

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et divisibles par un nombre premier différent des m premiers est égal à x-N(x).

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à x et divisibles par p est au plus x/p, nous obtenons :

x-N(x)\le\sum_{i=m+1}^\infty{x\over p_i}<{x\over2},

ou encore

{x\over2}<N(x)\le2^m\sqrt x.

Mais cela est impossible pour tout x supérieur à 2^{2m+2}, d'où une contradiction.

Preuve par un produit eulérien[modifier | modifier le code]

Comme on a l'équivalence

\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)\sim\frac1{p_i},

il suffit de montrer que la série de terme général \ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right) diverge. Or cette série est à termes positifs, donc sa somme est égale à la borne supérieure de ses sommes partielles :

\sum_{i=1}^\infty\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)=\sup_{m\in\N}\ln(S_m),
S_m=\prod_{i=1}^m\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)=\prod_{i=1}^m\sum_{k=0}^\infty\frac1{{p_i}^k}=\sum_{k_1,\ldots,k_m\in\N}\frac1{p_1^{k_1}\ldots p_m^{k_m}}

est la somme des inverses de tous les entiers naturels n'admettant pas d'autres diviseurs premiers que les m premiers, donc

\sup_{m\in\N}S_m=\sum_{n=1}^\infty\frac1n=+\infty,

si bien que finalement,

\sum_{i=1}^\infty\ln\left(\frac1{1-\frac1{p_i}}\right)=\sup_{m\in\N}\ln(S_m)=+\infty.

Une variante plus savante de cette démonstration consiste à utiliser (voir l'article Produit eulérien) que

\forall s>1,\quad\zeta(s)\ =\ \sum_{n=1}^\infin\ \frac1{n^s} \ = \ \prod_{i = 1}^{\infty}\frac 1{1-p_i^{-s}}\ \le\ \prod_{i=1}^{\infty}\frac 1{1-p_i^{-1}}

et que (par comparaison série-intégrale) quand s tend vers 1 par valeurs strictement supérieures,

\zeta(s)\sim\frac1{s-1}\to+\infty.

Annexes[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. (de) Paul Erdős, « Über die Reihe Σ 1/p », Mathematica (Zutphen B), no 7,‎ 1938, p. 1-2 (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?, sur le site Prime Pages de Chris Caldwell