Fonction de Mertens

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En théorie des nombres, la fonction de Mertens est

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

μ est la fonction de Möbius.

Moins formellement, M(n) est le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est pair, moins le nombre d'entiers sans facteur carré inférieurs ou égaux à n et dont le nombre de facteurs premiers est impair.

Croissance[modifier | modifier le code]

Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs –1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas de x tel que |M(x)| > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x.

Andrew Odlyzko et Herman te Riele ont montré en 1985 que cette conjecture était fausse[1]. Leur preuve ne produisait pas un contre-exemple explicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grand[2] que 1014 et plus petit[3] que exp(1,59.1040).

Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement : pour tout ε >0, M(x) = O(x 1/2 + ε), où O désigne la notation de Landau. Puisque les pics de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de x, ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.

Représentations intégrales[modifier | modifier le code]

En utilisant le produit eulérien, on trouve que

\frac1{\zeta(s)}=\prod_p(1-p^{-s})=\sum_{n=1}^\infty\mu(n)n^{-s}

ζ est la fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette série de Dirichlet avec la formule de Perron, on obtient :

\frac1{2\pi i}\oint_C\mathrm ds\frac{x^s}{s\zeta(s)}=M(x)

C est une courbe fermée encerclant toutes les racines de ζ.

Inversement, on a la transformée de Mellin

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1^\infty \frac{M(x)}{x^{s+1}}~\mathrm dx

qui reste valable pour Re(s) > 1.

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient, une inégalité :

\oint_C\mathrm dsF(s)e^{st}\sim M(e^t).

Calcul[modifier | modifier le code]

La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand de n.

Personne Année Limite
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1,5 × 105
von Sterneck 1901 5 × 105
von Sterneck 1912 5 × 106
Neubauer 1963 108
Cohen et Dress 1979 7,8 × 109
Dress 1993 1012
Lioen et van de Lune 1994 1013
Kotnik et van de Lune 2003 1014

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mertens function » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) A. Odlyzko et H. J. J. te Riele, « Disproof of the Mertens conjecture », J. reine angew. Math., vol. 357,‎ 1985, p. 138-160
  2. (en) T. Kotnik et J. van de Lune, « On the order of the Mertens function », Experimental Mathematics, vol. 13,‎ 2004), p. 473-481 (lire en ligne)
  3. (en) T. Kotnik et Herman te Riele, « The Mertens Conjecture Revisited », dans Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 4076),‎ 2006, p. 156-167

Liens externes[modifier | modifier le code]