Triangle de Reuleaux
Un triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante, c'est-à-dire une courbe dont tous les diamètres ont même longueur. Elle tient son nom de l'ingénieur allemand Franz Reuleaux, qui fut au XIXe siècle un pionnier du génie mécanique.
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Histoire [modifier]
Bien qu’il porte son nom, Franz Reuleaux n’a pas découvert ce triangle qui était connu dès le Moyen âge. On les retrouve notamment dans plusieurs manuscrits de Léonard de Vinci ainsi que dans certaines rosaces gothiques.
Leonhard Euler a étudié ses formes qu’il nommait « orbiforme ».
Reuleaux est par contre le premier à avoir fait des études poussées sur cette forme et ses applications en mécanique.
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« Triangle de Reuleaux » sur un manuscrit de Léonard de Vinci.
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Fenêtre en forme de triangle de Reuleaux, Cathédrale Saint-Sauveur de Bruges.]]
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Construction [modifier]
Pour construire un triangle de Reuleaux, on part d'un triangle équilatéral. Depuis chaque sommet pris tour à tour, on décrit un arc de cercle entre les deux autres sommets. Les trois arcs raccordés forment un triangle de Reuleaux.
On peut généraliser la construction de Reuleaux aux polygones ayant un nombre de côtés impair : on obtient ainsi des polygones curvilignes de largeur constante, les polygones de Reuleaux. Ces polygones peuvent même êtres irréguliers.
Aire et périmètre [modifier]
On observe facilement que le périmètre P d’un triangle de Reuleaux de rayon r équivaut à la moitié d’un cercle de rayon r. 
L’aire A de ce même triangle est :
Caractéristiques [modifier]
Un théorème (en) dû à Wilhelm Blaschke et Henri-Léon Lebesgue établit que cette courbe possède, parmi les courbes d'égale largeur, une surface minimale.
Comme tous les diamètres ont même longueur, un polygone de Reuleaux répond à la question suivante : « Quelle forme doit avoir une plaque d'égout pour ne pas tomber dans le regard de visite ? » La réponse la plus simple est le cercle, mais le triangle de Reuleaux convient également. La ville de San Francisco par exemple utilise également des triangles de Reuleaux[1].
Utilisations [modifier]
On associe le triangle de Reuleaux au compresseur rotatif du moteur Wankel. Le rotor de ce moteur est effectivement à la base un triangle de Reuleaux, dont les faces sont creusées pour augmenter la surface de la chambre de combustion.
Une application particulièrement remarquable de ces triangles est l'existence de mèches pour foreuses qui percent des trous "carrés" ou presque comme le montre l'animation ci contre.
Au Royaume-Uni, les pièces de 20 et 50 pences sont des heptagones de Reuleaux en cupronickel.
Tétraèdre de Reuleaux [modifier]
L'intersection de sphères de rayon commun s, et dont les centres sont au sommet d'un tétraèdre de côté s s'appelle tétraèdre de Reuleaux.
Contrairement à l'intuition, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas de largeur constante : le diamètre de ce solide, c'est-à-dire la distance entre deux points situés au milieu de deux arêtes opposées, est supérieure à la distance séparant deux sommets :
Notes et références [modifier]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reuleaux triangle » (voir la liste des auteurs)
Liens externes [modifier]
- Explications et animations en français
- (en) Eric W. Weisstein, « ReuleauxTriangle », MathWorld
- (de) Reuleaux-Dreieck in Fahrt (Le triangle de Reuleaux en action)
- (ru) Круглый треугольник Рело (Film sur les application du triangle de Reuleaux)
