Triangle de Reuleaux

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Triangle de Reuleaux

Un triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante, c'est-à-dire une courbe dont tous les diamètres ont la même longueur. Dans ce cas un diamètre correspond au segment formé par un sommet et n'importe quel point du côté opposé (qui est un arc de cercle dans ce cas). Cette courbe tient son nom de l'ingénieur allemand Franz Reuleaux, qui fut au XIXe siècle un pionnier du génie mécanique.

Histoire[modifier | modifier le code]

Bien qu’il porte son nom, Franz Reuleaux n’a pas découvert ce triangle qui était connu dès le Moyen âge. On les retrouve notamment dans plusieurs manuscrits de Léonard de Vinci ainsi que dans certaines rosaces gothiques.

Leonhard Euler a étudié ces formes qu’il nommait « orbiforme ».

Reuleaux est par contre le premier à avoir fait des études poussées sur cette forme et ses applications en mécanique.

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Construction[modifier | modifier le code]

Construction d'un triangle de Reuleaux

Pour construire un triangle de Reuleaux, on part d'un triangle équilatéral. Depuis chaque sommet pris tour à tour, on décrit un arc de cercle entre les deux autres sommets. Les trois arcs raccordés forment un triangle de Reuleaux.

Polygones de Reuleaux (polygone réguliers).
Un heptagone irrégulier de Reuleaux.

On peut généraliser la construction de Reuleaux aux polygones ayant un nombre de côtés impair : on obtient ainsi des polygones curvilignes de largeur constante, les polygones de Reuleaux. Ces polygones peuvent même êtres irréguliers.

Aire et périmètre[modifier | modifier le code]

On observe facilement que le périmètre P d’un triangle de Reuleaux de rayon r équivaut à la moitié d’un cercle de rayon r. \mathcal{P} = \pi r

L’aire A de ce même triangle est :

\mathcal{A}=\frac12 (\pi - \sqrt3) \times r^2.

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

Un théorème (en) dû à Wilhelm Blaschke et Henri-Léon Lebesgue établit que cette courbe possède, parmi les courbes d'égale largeur, une surface minimale.

Comme tous les diamètres ont même longueur, un polygone de Reuleaux répond à la question suivante : « Quelle forme doit avoir une plaque d'égout pour ne pas tomber dans le regard de visite ? » La réponse la plus simple est le cercle, mais le triangle de Reuleaux convient également. La ville de San Francisco par exemple utilise également des triangles de Reuleaux[1].

un triangle de Reuleaux en rotation dans un carré

Utilisations[modifier | modifier le code]

On associe le triangle de Reuleaux au compresseur rotatif du moteur Wankel. Le rotor de ce moteur est effectivement à la base un triangle de Reuleaux, dont les faces sont creusées pour augmenter la surface de la chambre de combustion.

Une application particulièrement remarquable de ces triangles est l'existence de mèches pour foreuses qui percent des trous "carrés" ou presque comme le montre l'animation ci contre.

Au Royaume-Uni, les pièces de 20 et 50 pences sont des heptagones de Reuleaux en cupronickel.

Tétraèdre de Reuleaux[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre de Reuleaux

L'intersection de sphères de rayon commun s, et dont les centres sont au sommet d'un tétraèdre de côté s s'appelle tétraèdre de Reuleaux.

Contrairement à l'intuition, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas de largeur constante : le diamètre de ce solide, c'est-à-dire la distance entre deux points situés au milieu de deux arêtes opposées, est supérieure à la distance séparant deux sommets :

\frac ds=\sqrt3-{\sqrt2\over 2}\approx 1{,}0249

Notes et références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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