Parabole

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Une parabole

La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, approximativement en forme de U. Elle peut se définir mathématiquement de plusieurs façons, et toutes ses définitions sont équivalentes. Le plus souvent, la parabole est définie comme une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe, le foyer, et d'une droite fixe, la directrice. Mais on peut aussi la définir comme l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle avec un autre plan tangent à la surface du cône.

Il s'agit d'un type de courbe algébrique dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées en optique, télécommunication, etc...

Mathématiques[modifier | modifier le code]

Section conique[modifier | modifier le code]

Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône et perpendiculaire à l'autre plan qui contient la même génératrice et l'axe du cône.

La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône.

Directrice, foyer et excentricité[modifier | modifier le code]

Parabole de droite directrice d et de foyer F.

Soient D une droite et F un point n'appartenant pas à D, et soit P le plan contenant la droite D et le point F. On appelle parabole de droite directrice D et de foyer F l'ensemble des points M du plan P à égale distance du foyer F et de la droite D, c'est-à-dire vérifiant :

d(M,F) = d(M,D)

d(M,F) mesure la distance du point M au point F et d(M,D) mesure la distance du point M à la droite D. La parabole est une forme de conique dont l'excentricité e vaut 1.

Équations[modifier | modifier le code]

À partir du foyer et de la directrice[modifier | modifier le code]

Si la parabole est donnée par son foyer F et sa directrice \mathcal D, on appelle O le projeté orthogonal de F sur \mathcal D, on appelle p (paramètre de la parabole) la distance OF et on appelle S le milieu de [FO]. Alors, dans le repère orthonormé (S,\vec i, \vec j)\vec j a même direction et sens que \overrightarrow{OF}, l'équation de la parabole est

y = \frac{x^2}{2p}

À partir de la fonction du second degré[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction du second degré.

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré d'équation

y = ax^2 + bx + c

a,\,b et c sont des constantes réelles (a non nul), est une parabole. Dans le cas a = 1, b = 0, et c = 0 on obtient une expression simple pour une parabole: y =x^2.

Le sommet S d'une parabole est le point de coordonnées \left(- \tfrac{b}{2a}; -\tfrac{b^2 - 4ac}{4a}\right). Son axe de symétrie est l'axe (S\vec j). Dans le repère (S,\vec i, \vec j), son équation est

Y = aX^2

Son foyer est le point F\left(0;\tfrac{1}{4a}\right) et sa directrice est la droite \mathcal D d'équation Y = - \frac{1}{4a}

À partir de l'équation générale[modifier | modifier le code]

Soit l'équation Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey +F = 0, dans un repère orthonormal. Si B^2 - AC = 0 alors cette équation est celle d'une parabole ou de deux droites parallèles.

Réciproquement, si (C) est une parabole, alors elle possède, dans tout repère orthonormal, une équation de la forme précédente.

Soit l'équation Ax^2 + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, dans un repère orthonormal. Si AC = 0 avec AE ou DC non nul alors cette équation est celle d'une parabole dont l'axe est parallèle à un des axes du repère.


Équation polaire[modifier | modifier le code]

Dans le repère polaire (O, \vec e_{r}, \vec e_{\theta}) où O est le foyer de la parabole et l'axe polaire en est l'axe focal, l'équation de la parabole est \overrightarrow{r} = \overrightarrow{OP} = \frac{p}{1+\cos(\theta)} \vec e_{r}.

Paramétrisation[modifier | modifier le code]

Dans le repère cartésien (O, \vec i, \vec j)O est le point situé au milieu du segment constitué du foyer F et de sa projection H sur la directrice et où \vec j est un vecteur unitaire orienté de O vers F, on peut envisager plusieurs paramétrisations de la parabole :

  1. Une paramétrisation cartésienne par l'abscisse : \overrightarrow{OP}(x)=x\vec i+\frac{x^2}{2p}\vec j, pour tout x\in\R
  2. Une paramétrisation cartésienne par l'ordonnée : \overrightarrow{OP}(y)=(\pm\sqrt{2py})\vec i+y\vec j, pour tout y\in\R^+
  3. Des paramétrisations cartésiennes dépendant chacune d'un constante arbitraire a>0 : \overrightarrow{OP}(t)=2pat\vec i+2pa^2t^2\vec j=2pa(t\vec i+at^{2}\vec j), pour tout t\in\R

(Pour a=1/(2p) on retrouve la paramétrisation par l'abscisse.) Ces paramétrisations sont régulières (i.e. le vecteur dérivé ne s'annule pas). Le vecteur (1,2at) dirige alors la tangente au point de paramètre t.

Quelques propriétés géométriques de la parabole[modifier | modifier le code]

Cordes parallèles[modifier | modifier le code]

Toutes les cordes parallèles ont leur milieu situé sur une droite perpendiculaire à la directrice. La tangente parallèle à cette direction a son point de contact sur cette droite. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent sur cette droite.

Tangente et bissectrice[modifier | modifier le code]

Si A est un point sur une parabole définie par un foyer F et une directrice (d), alors la tangente de la parabole en A est la bissectrice intérieure de l'angle formée par F, A et le projeté orthogonal de A sur (d).

Illustration de la propriété en optique.

Cette propriété explique le principe des miroirs paraboliques : l'angle que font les droites (AF) et (b) est égal à l'angle que font les droites (AH) et (b), donc la droite (AH) et (AF) sont symétriques par rapport à la normale à la tangente. En optique, cela signifie qu'un rayon issu de F et frappant A subit une réflexion spéculaire de direction (AH), puisque selon le loi de Snell-Descartes, l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion. Donc, tous les rayons issus de F sont réfléchis dans la même direction, perpendiculaire à (d).

Propriété relative à l'orthoptique[modifier | modifier le code]

En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

Soient M et M' les points d'intersection d'une droite quelconque passant par le foyer de la parabole avec la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par M et M' se coupent sur la directrice en formant un angle droit entre elles. De plus, si on appelle H et H' les projetés respectifs de M et M' sur la directrice et O le point d'intersection des deux tangentes et de la directrice, alors O est le milieu de [HH'].

En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

Applications[modifier | modifier le code]

Physique[modifier | modifier le code]

trajectoire parabolique

La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l'on lance si on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.

Ondes hertziennes et lumière[modifier | modifier le code]

Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution.

Principe du phare automobile à miroir parabolique

Les paraboloïdes permettent soit de concentrer des ondes ou des rayons en un point, le foyer de la parabole (c'est cette propriété qui est utilisée par les antennes), soit inversement de diffuser sous forme d'un faisceau cylindrique la lumière produite par une ampoule au foyer de la parabole (propriété exploitée par un projecteur ou un phare).

Un cylindre parabolique permet, de même, de concentrer la lumière sur une droite, par exemple dans des concentrateurs solaires

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]