Résidu (analyse complexe)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Résidu.

En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.

Définition et propriétés[modifier | modifier le code]

Soit D\subseteq\Complex un ouvert de \Complex, D_f isolé dans D et f: D\smallsetminus D_f \to \Complex une fonction holomorphe. Pour chaque point a\in D_f, il existe un voisinage de a noté U=U_r(a)\smallsetminus\{a\}\subset D relativement compact dans D, tel que f|_U est holomorphe. La fonction f possède dans ce cas un développement de Laurent sur U :

f\big|_U(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n.

On définit alors le résidu de f en a par :

\operatorname{Res}_af\doteqdot a_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f

Le résidu d'une fonction holomorphe f en un point singulier a (pôle ou point singulier essentiel) est donc a_{-1}, c'est-à-dire le coefficient de 1/(z-a) dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de a.

Le résidu est \Complex-linéaire, c’est-à-dire que pour \lambda,\mu\in\Complex on a : \mathrm{Res}_a ( \lambda f + \mu g ) = \lambda\mathrm{Res}_a f + \mu\mathrm{Res}_a g.

Méthodes de calcul[modifier | modifier le code]

On calcule les résidus traditionnellement de deux manières :

  • soit à partir du développement de Laurent au voisinage de a
  • soit en utilisant la formule générale suivante, si f possède en a un pôle d'ordre n :
    \operatorname{Res}_a f = \frac{1}{(n-1)!}\lim\limits_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}((z-a)^nf(z))

Pour deux fonctions f et g à valeurs dans \Complex, on a également les relations suivantes :

  • Si f a en a un pôle d'ordre 1 : \operatorname{Res}_a f = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)
  • Si f a en a un pôle d'ordre 1 et si g est holomorphe en a : \mathrm{Res}_a g f=g(a)\mathrm{Res}_a f
  • Si f a en a un zéro d'ordre 1 : \operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{f'(a)}
  • Si f a en a un zéro d'ordre 1 et si g est holomorphe en a : \operatorname{Res}_a\tfrac{g}{f} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}
  • Si f a en a un zéro d'ordre n : \operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=n.
  • Si f a en a un zéro d'ordre n et si g est holomorphe en a : \operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=g(a)n.
  • Si f a en a un pôle d'ordre n : \operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=-n.
  • Si f a en a un pôle d'ordre n et si g est holomorphe en a : \operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=-g(a)n.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • \mathrm{Res}_a f=0 quand f est holomorphe en a.
  • Soit f(z)=\tfrac{1}{z}. f a en 0 un pôle d'ordre 1, et \mathrm{Res}_0 f=1.
  • f(z) = \tfrac{\cos(z)}{z}= \tfrac{1}{z} - \tfrac {z}{2!} + \tfrac{z^3}{4!} - \cdots au voisinage de 0. Le résidu vaut donc 1.
  • \operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}, comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque z\mapsto z^2-1 a en 1 un zéro d'ordre 1.
  • La fonction gamma a en -n pour tout n\in\N un pôle d'ordre 1, et le résidu vaut \operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\tfrac{(-1)^n}{n!}.

Théorème des résidus[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème des résidus.

Soit f une fonction holomorphe sur \Omega, un ouvert étoilé, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble S \subset\Omega. Alors si \gamma est un lacet tracé dans \Omega et ne rencontrant pas S, on a :

 \int_{\gamma} f(z)\mathrm dz = 2\mathrm{i} \pi\sum_{z \in S} \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) \operatorname{Res}(f,z)

\mathrm{Ind}_{\gamma} (z) est l'indice du chemin \gamma au point z.

Références[modifier | modifier le code]

  • Claude Wagschal, Fonctions holomorphes. Équations différentielles, Hermann, coll. « Méthodes », 2003, p 119-120.


(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Residuum (Funktionentheorie) » (voir la liste des auteurs)