Théorème de Bohr-Mollerup

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En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et Johannes Mollerup (de), qui l'ont prouvé en 1922. Il caractérise la fonction gamma, définie pour x>0 par

\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}~\mathrm dt

comme la seule fonction f définie pour x>0 qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

Il est amusant de remarquer que Bohr et Mollerup ont publié ce résultat dans un manuel d'analyse, car ils le croyaient déjà connu.

Une démonstration particulièrement élégante en a été donnée par Emil Artin[2].

Démonstration[modifier | modifier le code]

La fonction gamma vérifie classiquement ces trois conditions (la première est immédiate, la deuxième se montre par intégration par parties et la troisième se déduit de l'inégalité de Hölder).

Soit f une fonction qui les vérifie aussi.

Les deux premières conditions permettent d'obtenir, pour tout entier naturel n et tout réel x>0 :

f(n+1)=n!\quad\text{et}\quad f(n+x)=f(x)\prod_{0\leqslant k<n}(x+k).

On utilise ensuite la convexité de \log(f) pour en déduire :

\forall u,v>0,\ \forall x\in[0,1],\ f[xu+(1-x) v]\leqslant f(u)^xf(v)^{1-x}.

En particulier, pour tout réel \scriptstyle x\in]0,1] et tout entier n>0 :

  • f(n+x)=f[x(n+1)+(1-x)n]\leqslant f(n+1)^xf(n)^{1-x}=n^x~(n-1)!
  • n!=f(n+1)=f[x(n+x)+(1-x)(n+1+x)]\leqslant f(n+x)^xf(n+x+1)^{1-x}=(n+x)^{1-x}~f(n+x).

En substituant f(n+x), on obtient ainsi l'encadrement[3] :

\frac{(n+x)^{x-1}~n!}{\prod_{0\leqslant k<n}(x+k)}\leqslant f(x)\leqslant\frac{n^x~(n-1)!}{\prod_{0\leqslant k<n}(x+k)}.

Or quand n tend vers l'infini, le majorant et le minorant sont équivalents à

\frac{n^x~n!}{\prod_{0\leqslant k\leqslant n}(x+k)}.

Ceci prouve que la limite de cette expression est égale à la fois à \Gamma(x) (si bien que cette limite existe) et à f(x).

Ces égalités, démontrées pour tout \scriptstyle x\in]0,1], s'étendent à tout \scriptstyle x\in]0,+\infin[ grâce à la deuxième condition, donc f=\Gamma.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. La base du logarithme n'a pas d'importance du moment qu'elle est strictement supérieure à 1, mais par convention certains mathématiciens prennent le \log sans indice pour désigner le logarithme naturel : celui de base e.
  2. (en) E. Artin, The Gamma function, Holt, Rinehart, Winston, 1964, p. 14-15 (traduction par Michael Butler de Einführung in die Theorie der Gammafunktion, 1931)
  3. Cette méthode, tirée de (en) Proof of Bohr-Mollerup theorem, id3808 de PlanetMath, est essentiellement celle d'Artin.