Fonction digamma

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Représentation de la fonction digamma ψ(s) sur la droite des réels.
Représentation de la fonction digamma ψ(s) sur la droite des réels.

En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie par

\psi(x) =D \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

où D est l'opérateur différentiel.

La fonction digamma, souvent notée aussi \psi_0(x)\, ou même \psi^0(x)\,, est reliée aux nombres harmoniques par

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\,

où H_{n-1}\, est le (n - 1)-ième nombre harmonique, et \gamma\, est la célèbre constante d'Euler-Mascheroni.

[modifier] Valeurs spéciales

La fonction digamma a pour valeurs:

\psi(1) = -\gamma\,\!
\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln(2) - \gamma
\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln(2) - \gamma
\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln(2) -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln(2) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right] - \gamma

[modifier] Voir aussi

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