Fonction digamma

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Représentation de la fonction digamma ψ sur la droite des réels.

En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma :

\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln\circ{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}

Puisque \Gamma(x)= \int_0^\infty y^{x-1} e^{-y}~{\rm d}y ,

\Gamma'(x)= \int_0^\infty y^{x-1} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y.

Ainsi,

\psi(1) = \frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)} =  \int_0^\infty \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y
= -\gamma = -0,5772157 , la constante d'Euler.

Par ailleurs, \Gamma(x+1)= x \Gamma(x) ,

donc \psi(x+1) = \psi(x) + \frac1x.

On en déduit que la fonction digamma d'un entier, souvent notée aussi \psi_0(n)\, ou même \psi^{(0)}(n)\,, est reliée aux nombres harmoniques par

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\,

H_{n-1} = 1+ \frac {1}{2}+\frac {1}{3} + \dots est le (n – 1)-ième nombre harmonique.

De façon générale,

\psi(x)=-\gamma-1/x+x\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+x)}.

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

La fonction digamma a pour valeurs :

 \psi(1) = -\gamma\,\!
 \psi(2) = 1 -\gamma\,= \int_0^\infty y \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y
 \psi(3) = \frac {3}{2}-\gamma\,= \frac {1}{2}\int_0^\infty y^{2} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y
 \psi(4) = \frac {11}{6}-\gamma\,= \frac {1}{6}\int_0^\infty y^{3} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y


 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln(2) - \gamma\,= \frac {1}{\sqrt {\pi}}\int_0^\infty y^{-1/2} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln(2) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}-\frac{5}{4}\ln(5)-\frac{\sqrt{5}}{4}\ln\left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\right)-\gamma
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln(2) -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln(2) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right] - \gamma.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Fonction polygamma