Fonction digamma

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Représentation de la fonction digamma ψ restreinte aux réels.

En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma :

\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

C'est une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe privé des entiers négatifs.

Pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive, \psi(z)=\frac{\int_0^\infty y^{z-1} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y}{\int_0^\infty y^{z-1} e^{-y}~{\rm d}y}.

Ainsi,

\psi(1)=\int_0^\infty \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y=-\gamma, où γ = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni.

Par ailleurs, \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) donc

\psi(z+1) = \psi(z) + \frac1z.

On en déduit que la fonction digamma d'un entier n > 0, souvent notée aussi \psi_0(n)\, ou même \psi^{(0)}(n)\,, est reliée aux nombres harmoniques par

\frac{\int_0^\infty y^{n-1} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y}{(n-1)!}=\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\,

H_{n-1}=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1} est le (n – 1)-ième nombre harmonique.

Plus généralement,

\psi(z)=-\gamma+\sum_{j=0}^{+\infty}\left( \frac1{j+1}-\frac1{j+z}\right)=-\gamma-\frac1z+z\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k(k+z)}.

La fonction digamma satisfait une formule de réflexion (en) similaire à celle de la fonction Gamma : pour tout nombre complexe z dont la partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1,

\psi(1 -z) - \psi(z) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi z\right ) }.

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

La fonction digamma a pour valeurs :

 \psi(1) = -\gamma
 \psi(2)=H_1-\gamma=1-\gamma
 \psi(3)=H_2-\gamma=\frac32-\gamma
 \psi(4)=H_3-\gamma=\frac{11}6-\gamma


 \psi\left(\tfrac12\right) = -2\ln(2) - \gamma\,= \frac {1}{\sqrt {\pi}}\int_0^\infty y^{-1/2} \ln y \ e^{-y}~{\rm d}y
 \psi\left(\tfrac13\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\tfrac14\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln(2) - \gamma
 \psi\left(\tfrac15\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}-\frac{5}{4}\ln(5)-\frac{\sqrt{5}}{4}\ln\left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\right)-\gamma
 \psi\left(\tfrac16\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln(2) -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\tfrac18\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln(2) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right] - \gamma.

Voir aussi[modifier | modifier le code]