Constante de Gauss

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En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deux :

 G = \frac{1}{M(1, \sqrt{2})} \simeq 0,8346268

Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert en 1799[réf. nécessaire] que :

 G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

soit:

 G = \frac{2}{\pi}\mathrm{\Beta}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)

\mathrm{\Beta} est la fonction bêta.

Relation avec d'autres constantes[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

 \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2\pi G \sqrt{ 2\pi } }

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate, la première étant :

 L_1\;=\;\pi G

et la seconde :

 L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

qui interviennent dans le calcul de la longueur d'arc d'une lemniscate.

Autre formule[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15,…].

Références[modifier | modifier le code]