Constante de Gauss

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En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deux[1] :

G=\frac1{M(1,\sqrt2)}\simeq 0,8346268.

Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert le 30 mai 1799[2],[3] que :

 G = \frac2{\pi}\int_0^1\frac{{\rm d}x}{\sqrt{1 - x^4}}.

Relation avec d'autres constantes[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

 G = \tfrac1{2\pi}\mathrm{\Beta}\left( \tfrac14,\tfrac12\right)

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

G=\Gamma(\tfrac14)^2 /(2\pi)^{3/2}

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate, la première étant :

 L_1\;=\;\pi G

et la seconde :

 L_2\,\,=\,\,\frac1{2G}

qui interviennent dans le calcul de la longueur d'arc d'une lemniscate.

Autre formule[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

G = \vartheta_{01}^2({\rm e}^{-\pi}).

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

G = \sqrt[4]{32}~{\rm e}^{-\frac{\pi}3}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n{\rm e}^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}2\right).

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauss's constant » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
  2. Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
  3. (en) David A. Cox (en), « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement Mathématique, vol. 30,‎ 1984, p. 275-330 (DOI 10.5169/seals-53831).
  4. Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.