Fonction spéciale

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Interférences d'ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s'interprète à l'aide des fonctions de Bessel.

L'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires[1], qui sont apparues au XIXe siècle comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux[2] et quatre[3].

Comme leurs propriétés ont été étudiées (et continuent d'être étudiées) extensivement, on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations. Non seulement elles interviennent dans l'expression des solutions exactes de certaines équations aux dérivées partielles pour des conditions aux limites particulières, mais elles fournissent, par le biais des méthodes spectrales, les meilleures approximations numériques pour des conditions aux limites quelconques.

Certaines d'entre elles jouent également un rôle de premier plan en théorie des nombres (fonction zêta de Riemann, logarithme intégral).

Liste des fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Liste des fonctions spéciales.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Le terme de « fonction élémentaire » désigne les fonctions polynômes, les lignes trigonométriques et hyperboliques, l'exponentielle, et les réciproques de toutes ces fonctions. Toutefois, certaines familles de polynômes orthogonaux (polynômes de Legendre, polynômes de Tchébychev) sont considérés par certains auteurs comme des fonctions spéciales.
  2. équation de Laplace, équation de Poisson, équation d'Helmholtz, équation de la chaleur, équation des ondes, etc.
  3. La plus connue est l'équation biharmonique, qui intervient notamment dans l'étude de la flexion élastique.

Bibliographie[modifier | modifier le code]