Intégrale de Gauss

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La surface comprise entre la courbe d'équation y = exp(−x2) et l'axe des abscisses vaut √π.

En mathématiques, une intégrale de Gauss est l'intégrale d'une fonction gaussienne sur l'ensemble des réels. Sa valeur est reliée à la constante π par la formule

 \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\alpha\, x^2}\mathrm d x=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}},

α est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.

Cette formule peut être obtenue grâce à une intégrale double et un changement de variable polaire. Sa première démonstration connue est donnée par Pierre-Simon de Laplace.

Ainsi on a par exemple, avec les notations classiques :

\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm d x=1.

Si l'on travaille à n dimensions, la formule se généralise sous la forme suivante :

 \int_{\R^n} \mathrm e^{-\alpha\,\|x\|^2} \mathrm d x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{\frac{n}{2}}\text{ avec }x= (x_1,\dots,x_n)\text{ et }\|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

Intégrabilité de la fonction[modifier | modifier le code]

Comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur ℝ, de prouver qu'il est intégrable sur ℝ+. Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant, par exemple, la fonction xx−2, intégrable sur [1, +∞[.

Calcul de l'intégrale de Gauss[modifier | modifier le code]

L'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Ceci oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, qui fait appel aux intégrales de Wallis et une autre qui utilise une fonction définie par une intégrale.

Cas particulier α = 1[modifier | modifier le code]

La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.

Une méthode alternative utilise une fonction définie par une intégrale. Cette seconde méthode n'utilise que des résultats sur les intégrales simples (à une seule variable) usuelles (sur un intervalle fermé borné) et est donc plus élémentaire. Elle est cependant plus technique.

Quelle que soit la technique utilisée, on a bien démontré que \int_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{-x^2} \mathrm dx=\sqrt{\pi}}.

Cas général α > 0[modifier | modifier le code]

En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par x = \tfrac{t}{\sqrt{\alpha}}, on obtient :

\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm dx =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.

L'intégrale de Gauss comme valeur particulière de la fonction Gamma[modifier | modifier le code]

Le réel

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} t^{1/2 - 1}\, \mathrm{e}^{-t}\, \mathrm dt = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, \mathrm dt

(une valeur de la fonction Gamma d'Euler) est égal à π.

Transformée de Fourier d'une fonction gaussienne[modifier | modifier le code]

Soit la fonction gaussienne

f: \R \to \R, x \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha\, x^2}\text{, avec } \alpha > 0.

Elle est intégrable sur ℝ. Sa transformée de Fourier

F = \mathcal{F}(f): \R \to \C

définie par

F(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{e}^{-i\, \xi\, x} \mathrm dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha\, x^2} \mathrm{e}^{-i\, \xi\, x} \mathrm dx

est telle que

\forall \xi \in \R, F(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\, \mathrm{e}^{-\frac{\xi^2}{4\alpha}}.

On propose ci-dessous deux démonstrations de ce résultat.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, chapitre 26.