Équation fonctionnelle

En mathématiques, une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. De nombreuses propriétés de fonctions peuvent être déterminées en étudiant quelles équations elles satisfont. D'habitude, le terme « équation fonctionnelle » est réservé aux équations qu'on ne peut pas ramener à une équation algébrique, le plus souvent parce que la fonction cherchée a pour arguments dans l'équation, non pas directement la variable, mais des fonctions (déterminées) de la variable elle-même.

Exemples

• L'équation fonctionnelle $\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$ est satisfaite par la fonction zêta de Riemann. La lettre Γ désigne la fonction gamma d'Euler.
• L'équation fonctionnelle $x\Gamma(x)=\Gamma(x+1) \,$ est satisfaite par la fonction gamma d'Euler.
• L'équation fonctionnelle $f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)$ où a, b, c et d sont des entiers naturels vérifiant ad − bc = 1, se retrouve dans la définition du concept de forme modulaire.
• D'autres exemples d'équations fonctionnelles :
  • f(x + y) = f(x)f(y), satisfaite par les fonctions exponentielles
  • f(xy) = f(x) + f(y), satisfaite par les fonctions logarithmes
  • f(x + y) = f(x) + f(y) (équation fonctionnelle de Cauchy)
  • F(az) = aF(z)(1 − F(z)) (équation de Poincaré)
  • f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2 (Jensen)
  • g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) (d'Alembert)
  • f(h(x)) = f(x) + 1 (Abel)
  • f(h(x)) = cf(x) (Schröder)
    L'équation de Schröder (en) est satisfaite par la fonction de Koenigs (en).
• Une forme simple d'équation fonctionnelle est la relation de récurrence, dont la fonction inconnue est une suite (formellement : une fonction définie sur l'ensemble des entiers) et qui met en jeu l'opérateur de décalage (en).
• L'associativité et la commutativité sont des équations fonctionnelles. Quand la loi de composition interne est représentée sous sa forme habituelle, par un symbole entre les deux variables, son associativité s'écrit comme suit : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Mais si l'on écrit f(a, b) au lieu de a ∗ b, alors l'associativité de la loi ressemble plus à ce que l'on entend conventionnellement par « équation fonctionnelle » : f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)).

Un point commun à tous ces exemples est que dans chacun des cas, deux ou plusieurs fonctions (tantôt la multiplication par une constante, tantôt l'addition de deux variables, tantôt la fonction identité) sont substituées à l'inconnue.

Quand il est question de trouver toutes les solutions, il arrive que certaines conditions analytiques soient exigées ; par exemple, dans le cas de l'équation de Cauchy, les solutions continues sont les solutions raisonnables alors que les autres solutions sont plus difficilement accessibles. Le théorème de Bohr-Mollerup est un autre exemple connu.

Voir aussi

Article connexe

Équation différentielle

Bibliographie

Jean Dhombres, « Une conception architecturale des mathématiques : la séparation des variables chez Pfaff », dans P. Radelet-de Grave et Edoardo Benvenuto, Entre mécanique et architecture, Birkhäuser, 1995 (ISBN 978-3-76435128-1) [lire en ligne] 

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Functional equation » (voir la liste des auteurs)