Équation d'onde

L'équation d'onde est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde, qui peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.

Une impulsion se propage à travers d’un fil à bouts fixes, comme modelé par l’équation d’onde

Dans le cas vectoriel, en espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope, l'équation d'onde s'écrit :

$\nabla ^2 \vec E=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2\vec E}{\partial t^2}$

L'opérateur

$\nabla^2=\Delta=\sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$

(où N est la dimension de l'espace) est appelé laplacien et on note parfois

$\square=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$

l'opérateur d'onde, ou d'alembertien.

$\vec E$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas. {c} pour sa part est une constante fixe égale à la vitesse de la propagation de l'onde, par exemple la vitesse du son qui est de 343m/s dans l'air à 20 °C. Dans le cas de phénomènes plus complexes tels la propagation de l'onde variant avec sa fréquence (soit la dispersion), on remplace {c} par la vélocité de phase:

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.$

En s'intéressant à chacune des composantes de $\vec E$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

$\Delta U=\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 U}{\partial t^2}$

L'équation en dimension 1 d'espace

En dimension 1 d'espace, l'équation s'écrit

$\frac {\partial ^2 U}{\partial z^2}=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}$

Lorsque la variable z parcourt toute la droite réelle, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

$U(z,t)=f(z-ct)+g(z+ct)\!$

En effet, on peut écrire :

$\left(\frac {\partial ^2}{\partial z^2}-\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2}{\partial t^2}\right) U(z,t) = 0$

soit :

$\left(\frac {\partial}{\partial z}-\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right)\left(\frac {\partial}{\partial z}+\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right) U(z,t) = 0$

Et si l'on pose a=z-ct et b=z+ct, on obtient :

$\left(\frac {\partial}{\partial a}\right)\left(\frac {\partial}{\partial b}\right) V(a,b) = 0$ où $V(a,b)= U \left(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2c} \right)$

Qui se résout en : $V(a,b) = f(a) + g(b)$ soit $U(z,t) = f(z-ct) + g(z+ct)$

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Exemple : Onde sur une corde vibrante

Conservation de l'énergie

Si $u$ est une solution de l'équation des ondes alors l'énergie

$E(u(t))=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left|\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)\right|^2\mathrm{d}x+\frac{c^2}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left|\nabla u(t,x)\right|^2\mathrm{d}x$

est conservée au cours du temps. Ici on a noté $N$ la dimension d'espace et

$\left|\nabla u(t,x)\right|^2=\sum_{j=1}^{N} \left|\frac{\partial u}{\partial x_j}(t,x)\right|^2$

Équation dans un domaine borné avec condition au bord

On peut également considérer l'équation des ondes dans un domaine de l'espace D:

$\square u(t,x) =0\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in D$

avec des conditions aux limites, par exemple:

$u(t,x)=0,\quad t\in \mathbb{R},\quad x \in \partial D$

(conditions aux limites de Dirichlet) où $\partial D$ est le bord du domaine $D$, ou

$\partial_{\nu} u(t,x)=0,\quad t\in\mathbb{R},\quad x\in \partial D$

(conditions aux limites de Neumann) où $\partial_{\nu}$ est la dérivée normale extérieure au bord $\partial D$