Formule de Stirling

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La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini réel (quand n tend vers l'infini) :

$\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1$

que l'on trouve souvent écrite ainsi :

$n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n$

où le nombre e désigne la base de l'exponentielle.

Version continue

La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler :

$\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi$

Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre sous la forme

$n\,!\sim C\; n^{n+1/2}\, \mathrm{e}^{-n}$,

où $\scriptstyle\ C\$ est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling fut d'attribuer la valeur $\scriptstyle\ C = \sqrt{2\pi}\$ à la constante et de donner un développement de $\scriptstyle\ \ln(n!)\$ à tout ordre. La démonstration classique de la formule asymptotique est donnée dans l'article sur les intégrales de Wallis.

Démonstration du résultat de De Moivre

La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de Moivre. En effet, en posant $u_n=\frac{n^n\, \mathrm{e}^{-n} \sqrt{n}}{n\,!}$, il suffit de montrer que la suite $(u_n)$ converge, et que sa limite est non nulle. Or $(u_n)$ étant à termes strictement positifs pour $n\geq 1$, on peut définir :

$v_n= \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right) = \ln \left( \frac{(n+1)^n\, \mathrm{e}^{-1} \sqrt{n+1}}{n^n \sqrt{n}} \right) = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) -1$

de telle sorte qu'en utilisant le développement limité de $\ln (1+x)$ en 0 à l'ordre 3, on obtient :

$v_n = \left(n+ \frac{1}{2}\right)\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right) \right] -1 = 1-\frac{1}{2n}+ \frac{1}{3n^2}+ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^4}\right)-1 = \frac{1}{12n^2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right)$

On en déduit que $\sum v_n$ est une série absolument convergente, donc en écrivant $v_n$ sous la forme : $v_n = \ln(u_{n+1})-\ln (u_n)$, on trouve que la suite $(\ln (u_n))$ converge (vers une limite que nous notons L), donc la suite $(u_n)$ aussi, et vers la limite non nulle $\exp{(L)}$, ce qu'on voulait démontrer.

• Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction $\ln$ entre 1 et n donne

$\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k = \int_{1}^n \ln (x) \mathrm{d}x + \frac12 \ln 1 + \frac12 \ln n +o(n) = n\ln(n) - n +1 + \frac 12 \ln(n) +o(n)$.

On prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.

• On peut même introduire le facteur √2 π par la méthode de la descente rapide. Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on « comprend » l'apparition du √2 π et on trouve immédiatement le résultat de Stirling.

Généralisation

On peut expliciter l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction gamma Γ ; on trouve :

$n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^6} \right) \right]$

En fait, la formule d'Euler-Maclaurin fournit en toute généralité.

$(*)\quad \ln \left[n!\right] =n\ln(n)-n + \dfrac12\ln(2\pi n)+\sum_{k=1}^K\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}+\mathcal{O} \left(\frac1{n^{2K+1}}\right)$

pour tout entier fixé $K\geqslant 1$, où les nombres $B_{2k}$ sont les nombres de Bernoulli. Il est à noter que la somme ci-dessus ne tend pas vers une limite finie lorsque $K\to\infty$.

Écrite sous la forme

$n ! = \left(\frac{n}{\rm e}\right)^n\sqrt{2\pi n} \,{\rm e}^{\mu(n)},$

on trouve la formule (et la fonction) de Binet (suites A001163 et A001164 de l'OEIS).

Calculs numériques

Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n

$n \;$	$n! \;$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12\ n}\right)$
1	1	0,93	0,999
2	2	1,92	1,999
3	6	5,84	5,998
4	24	23,51	23,996
5	120	118,02	119,99
6	720	710,08	719,94
7	5 040	4 980,4	5 039,7
8	40 320	39 902,4	40 318,1
9	362 880	359 536,9	362 866,0
10	3 628 800	3,598 696 x $10^6$	3,628 685 x $10^6$
15	1 307 674 368 000	1,300 431 x ${10}^{12}$	1,307 665 x ${10}^{12}$
20	2 432 902 008 176 640 000	2,422 787 x ${10}^{18}$	2,432 882 x ${10}^{18}$
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	1,545 959 x ${10}^{25}$	1,551 113 x ${10}^{25}$
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000	2,645 171 x ${10}^{32}$	2,652 519 x ${10}^{32}$
40	815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	8,142 173 x ${10}^{47}$	8,159 136 x ${10}^{47}$

Dans √n, si on remplace n par n+¹⁄₆ les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper); on peut aussi préférer un encadrement : cf (en) Eric W. Weisstein, « Stirling's Approximation », MathWorld ; enfin on peut prendre la suite A055775 de l’OEIS.

Approximation logarithmique

Comparaison des approximations logarithmiques de la formule de Stirling.

Dans le cadre de la thermodynamique statistique (distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d'une factorielle en faisant l'approximation de Stirling. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand.

$\ln\left(n!\right) = \sum_{i=1}^n{\ln\left(i\right)} \simeq \int_1^n{\ln\left(x\right)\, \mathrm dx} = \left[ x\cdot\ln\left(x\right) - x \right]_1^n = n\cdot\ln\left(n\right) - n + 1.$

Nous obtenons finalement l'approximation suivante :

$\ln\left(n!\right) \simeq n\cdot\ln\left(n\right) - n,$

pour laquelle l'erreur relative est inférieure à 1 % quand n>100. Cette approximation est considérée comme valable (l'erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d'un état macroscopique).

Une approximation bien plus précise de $\ln(n!)$ a été donnée par Ramanujan :

$\ln(n!)=n\ln(n) - n + \frac {\ln(8n^3+4n^2+n+1/30+o(1))}6+ \frac {\ln(\pi)}2.$