Formule de Stirling

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La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini :

$\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1$

que l'on trouve souvent écrite ainsi :

$n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n$

où le nombre e désigne la base de l'exponentielle.

Version continue

La formule précédente est une conséquence, pour le cas particulier d'un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler :

$\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi.$

Histoire

C'est Abraham de Moivre qui a initialement démontré la formule suivante:

$n\,!\sim C\; n^{n+\frac12}\, \mathrm{e}^{-n},$

où C est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling fut d'attribuer la valeur C = √2π à la constante et de donner un développement de ln(n!) à tout ordre. La démonstration classique de la formule asymptotique est donnée dans l'article sur les intégrales de Wallis.

Démonstration du résultat de De Moivre

• La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de De Moivre. En effet, en posant $u_n=\frac{n^{n+\frac12}\, \mathrm{e}^{-n}}{n\,!},$ il suffit de montrer que la suite (u_n) converge, et que sa limite est non nulle. Or (u_n) étant à termes strictement positifs pour n ≥ 1, on peut définir : $v_n= \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right) = \ln \left( \frac{(n+1)^{n+\frac12}\, \mathrm{e}^{-1}}{n^{n+\frac12}} \right) = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) -1,$ de telle sorte qu'en utilisant le développement limité de ln(1+x) en 0 à l'ordre 3, on obtient : $v_n = \left(n+ \frac{1}{2}\right)\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac1{n^3}\right) \right] -1 = 1-\frac{1}{2n}+ \frac{1}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)-1= \frac{1}{12n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right).$ On en déduit que la série ∑v_n est convergente, donc en écrivant v_n sous la forme : v_n = ln(u_{n + 1}) – ln(u_n), on trouve que la suite ln(u_n) converge, vers une limite que nous notons L, donc la suite (u_n) aussi, et vers la limite non nulle exp(L), ce qu'on voulait démontrer.
• Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction ln entre 1 et n donne $\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k = \int_{1}^n \ln (x) \mathrm{d}x + \frac12 \ln 1 + \frac12 \ln n +o(n) = n\ln(n) - n +1 + \frac 12 \ln(n) +o(n).$ On prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.
• On peut même introduire le facteur √2π par la méthode de la descente rapide. Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on « comprend » l'apparition du √2π et on trouve immédiatement le résultat de Stirling.

Généralisation

On peut expliciter l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction Γ ; on trouve :

$n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^6} \right) \right].$

En fait, la formule d'Euler-Maclaurin fournit en toute généralité.

$(*)\quad \ln\left(n!\right) =n\ln(n)-n + \dfrac12\ln(2\pi n)+\sum_{k=1}^K\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}+\mathcal{O} \left(\frac1{n^{2K+1}}\right)$

pour tout entier fixé K ≥ 1, où les nombres B_2k sont les nombres de Bernoulli. Il est à noter que la somme ci-dessus ne tend pas vers une limite finie lorsque K tend vers l'infini.

Écrite sous la forme

$n ! = \left(\frac{n}{\rm e}\right)^n\sqrt{2\pi n} \,{\rm e}^{\mu(n)},$

on trouve la formule (et la fonction) de Binet (suites A001163 et A001164 de l'OEIS).

Calculs numériques

Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n :

$n \;$	$n! \;$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12\ n}\right)$
1	1	0,93	0,999
2	2	1,92	1,999
3	6	5,84	5,998
4	24	23,51	23,996
5	120	118,02	119,99
6	720	710,08	719,94
7	5 040	4 980,4	5 039,7
8	40 320	39 902,4	40 318,1
9	362 880	359 536,9	362 866,0
10	3 628 800	3,598 696 × 106	3,628 685 × 106
15	1 307 674 368 000	1,300 431 × 1012	1,307 665 × 1012
20	2 432 902 008 176 640 000	2,422 787 × 1018	2,432 882 × 1018
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	1,545 959 × 1025	1,551 113 × 1025
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000	2,645 171 × 1032	2,652 519 × 1032
40	815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	8,142 173 × 1047	8,159 136 × 1047

Dans √n, si on remplace n par n + ¹⁄₆ les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper); on peut aussi préférer un encadrement : cf. (en) Eric W. Weisstein, « Stirling's Approximation », MathWorld ; enfin on peut prendre la suite A055775 de l'OEIS.

Approximation logarithmique

Comparaison des approximations logarithmiques de la formule de Stirling.

Dans le cadre de la thermodynamique statistique (distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d'une factorielle en faisant l'approximation de Stirling. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand.

$\ln\left(n!\right) = \sum_{i=1}^n{\ln\left(i\right)} \simeq \int_1^n{\ln\left(x\right)\, \mathrm dx} = \left[ x\ln\left(x\right) - x \right]_1^n = n\ln\left(n\right) - n + 1.$

Nous obtenons finalement l'approximation suivante :

$\ln\left(n!\right) \simeq n\ln\left(n\right) - n,$

pour laquelle l'erreur relative est inférieure à 1 % quand n > 100. Cette approximation est considérée comme valable (l'erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d'un état macroscopique).

Une approximation bien plus précise de ln(n!) a été donnée par Ramanujan :

$\ln(n!)=n\ln(n) - n + \frac {\ln(8n^3+4n^2+n+1/30+o(1))}6+ \frac {\ln(\pi)}2.$