Fonction polygamma

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Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m=0, en jaune m=1, en vert m=2, en rouge m=3 et en bleu m=4

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale définie comme la m+1e dérivée logarithmique de la fonction gamma :

\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z)

Ici,

\psi(z) =\psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\,

est la fonction digamma et \Gamma est la fonction gamma. On appelle aussi parfois la fonction \psi^{(1)} fonction trigamma (en).

Définition par intégrale[modifier | modifier le code]

La fonction polygamma peut être représenté par :

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}}~\mathrm dt.

Ceci n'est valable que pour Re z > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est :
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

\ln\Gamma(z)

\psi^{(0)}(z)

\psi^{(1)}(z)

\psi^{(2)}(z)

\psi^{(3)}(z)

\psi^{(4)}(z)

Relation de récurrence[modifier | modifier le code]

Elle vérifie la relation de récurrence

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}.\,

Théorème de multiplication[modifier | modifier le code]

Le théorème de multiplication (en) donne

k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right),

valable pour m>1 ; et pour m=0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :

k (\psi(kz)-\ln(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right).

Représentation par série[modifier | modifier le code]

La fonction polygamma a pour représentation en série :

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}},

qui n'est valable que pour m>0 et pour tout complexe z qui n'est pas égal à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).\,

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à ℂ \ (–ℕ).

Série de Taylor[modifier | modifier le code]

La série de Taylor au point z=1 est

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},\,

qui converge pour |z|<1|. Ici, \zeta est la fonction zêta de Riemann.

Références[modifier | modifier le code]