Polynôme de Bernoulli

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.

Définition[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes \left( B_n \right)_{n \in \mathbb{N}} telle que :

  • B_0 = 1\
  • \forall n \in \mathbb{N} , B'_{n+1} = (n+1)B_n
  • \forall n \in \mathbb{N^*} , \int_0 ^1 B_n (x) dx = 0

Fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\,.

La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est

\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}\,.

Les nombres d'Euler et de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli sont donnés par B_n=B_n(0)\,.

Les nombres d'Euler sont donnés par E_n=2^nE_n(1/2)\,.

Expressions explicites pour les petits ordres[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

B_0(x)=1\,
B_1(x)=x-\textstyle\frac{1}{2}
B_2(x)=x^2-x+\textstyle\frac{1}{6}
B_3(x)=x^3-\textstyle\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\textstyle\frac{1}{30}
B_5(x)=x^5-\textstyle\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x
B_6(x)=x^6-3x^5+\textstyle\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}

Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :

E_0(x)=1\,
E_1(x)=x-\textstyle\frac{1}{2}\,
E_2(x)=x^2-x\,
E_3(x)=x^3-\textstyle\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,
E_4(x)=x^4-2x^3+x\,
E_5(x)=x^5-\textstyle\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,
E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x\,

Propriétés des polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Différences[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul symbolique utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\,
E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}\,

Dérivées[modifier | modifier le code]

B_n'(x)=nB_{n-1}(x)\,
E_n'(x)=nE_{n-1}(x)\,

Translations[modifier | modifier le code]

B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}\,
E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}\,

Symétries[modifier | modifier le code]

B_n(1-x)=(-1)^n B_n(x)\,
E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)\,
(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}\,
(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n\,

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

 \forall n \in \mathbb{N}, B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{x+1}{2} \right) \right)
 \forall p \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=1}^n k^p = \frac{B_{p+1}(n+1) - B_{p+1}(0)}{p+1}

Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité :  \int_x ^{x+1} B_n(t) dt = x^n

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Les nombres B_n=B_n(0) sont les nombres de Bernoulli.

 \forall n > 1,\quad B_n (0) =B_n (1)

Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :

 \forall p \in \mathbb{N}^{*},\quad  B_{2p+1} (0) = B_{2p+1}(1)=0
 \forall p \in \mathbb{N},\quad   B_{2p+1} \left( \frac {1}{2} \right)=0
 \forall p \in \mathbb{N}^{*},\quad  B_{2p} \left( \frac {1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2^{2p-1}} -1 \right)B_{2p}

Série de Fourier[modifier | modifier le code]

La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet et est un cas particulier de la fonction zêta de Hurwitz

B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty
\frac{\mathrm{e}^{(2\pi \mathrm{i}kx)}+ \mathrm{e}^{(2\pi \mathrm{i}k(1-x))}}{(2\pi \mathrm{i}k)^n}\,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]