Loi de composition interne

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E. Autrement dit, c'est une opération binaire[1] qui laisse E stable.

L'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des exemples classiques de lois de composition internes.

Les lois de composition internes et externes servent à définir les structures algébriques, qui occupent une place privilégiée en algèbre générale.

Présentation[modifier | modifier le code]

Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idée de la notion d'opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une opération (interne) dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés opérandes, en associe éventuellement un troisième, unique, nommé résultat, toujours dans ce même ensemble.

Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :

  • la division n’est pas une loi de composition interne dans , parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des réels privé de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans ℤ* car 2 / 3 n'est pas un entier relatif.
  • la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
    • s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
    • si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

En résumé, une loi de composition interne dans un ensemble E, ou, plus simplement une loi dans E, est une opération qui donne un résultat dans E pour tous les couples possibles d'éléments de E.

Exemples[modifier | modifier le code]

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :

  • 0 est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple,   5 + 0 = 5  , et   0 + 8 = 8   ;
  • pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre 0. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi :   3 + (–3) = 0   ;
  • on peut échanger les deux éléments autour du signe « + » :   3 + 5 = 5 + 3 = 8   . On dit que l’opération est commutative ;
  • on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux :   3 + 5 + 4   peut se calculer de deux manières :
    • en calculant d’abord   3 + 5 = 8   puis en ajoutant   4   au résultat,
    • ou en calculant   5 + 4 = 9   avant de calculer   3 + 9   .
Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note :   (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)   . On dit que l’opération est associative.

Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :

  • le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
  • le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
  • on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité.

L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un groupe abélien. L'algèbre générale s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application *\, du produit cartésien E × E dans E.

Un ensemble E muni d’une loi de composition interne *\, constitue une structure algébrique appelée magma et notée « ( E, *\, ) ».

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :

  • les applications constantes : si c appartient à E : ∀ xE, ∀ yE,   x \,* y   = c ;
  • l’application sélectionnant le terme de gauche : ∀ xE, ∀ yE,   x \,* y   = x ;
  • l’application sélectionnant le terme de droite : ∀ xE, ∀ yE,   x \,* y   = y.

Éléments particuliers[modifier | modifier le code]

Composé de deux éléments et composé réciproque[modifier | modifier le code]

Dans un magma ( E, *\, ), on appelle « composé d'un élément x par un élément y », l'unique élément x *\, y associé par la loi *\, au couple ( x, y ).

L'élément y *\, x est le composé de y par x. Il est associé par la loi *\, au couple ( y, x ), réciproque du couple ( x, y ); c'est pourquoi il est aussi appelé composé réciproque de x par y ou de x *\, y.


Certains éléments jouent un rôle particulier en raison de leurs propriétés :

Carrés et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un élément  c \, est dit carré si :    \exists\ x \in E /\ x * x = c \,
En sens inverse, tout élément x   a un carré unique, noté habituellement « x 2  ».
Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé de préférence à celui de carré.
Exemple : dans ℤ, le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carré (pour la multiplication) est 9.
  • un élément  s \, est dit idempotent (d'ordre 2) ou projecteur si :    s * s = s \,
En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
Exemples :
  • tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
  • dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.

Neutres et dérivés[modifier | modifier le code]

  • Un élément e est dit :
    • neutre à gauche si \forall x\in E,e*x=x
    • neutre à droite si \forall x\in E,x*e=x
    • neutre (ou neutre bilatères) lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.
Exemple : dans ℝ, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
Tout élément neutre, même unilatère (c’est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est idempotent. De plus, s'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite (a priori égaux ou non), alors l'ensemble admet un unique élément neutre, et en outre, tout élément neutre à gauche (resp. à droite) lui est égal.
  • Un élément s est dit involutif s’il existe un élément neutre e et si : s*s=e.
L’élément neutre est nécessairement involutif.
Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre.
  • Un élément a est symétrique à gauche de l'élément b, si a*b=e. L'élément b est alors symétrique à droite de l'élément a.

Absorbants et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un élément  a \, est dit absorbant à gauche si :    \forall\ x \in E ,\ a * x = a \,
  • un élément  a \, est dit absorbant à droite si :    \forall\ x \in E ,\ x * a = a \,
  • un élément  a \, est dit absorbant lorsqu’il est absorbant   à droite et à gauche;
Exemple : dans ℝ, 0 est absorbant pour la multiplication, alors que l'addition ne présente pas d'élément absorbant.
Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent. De plus, s'il existe un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite (a priori égaux ou non), alors l'ensemble admet un unique élément absorbant, et en outre, tout élément absorbant à gauche (resp. à droite) lui est égal.
  • un élément  s \, est dit nilpotent (d'ordre 2) s’il existe un élément absorbant  a \, et si :    s * s = a \, ;

Le seul élément nilpotent et idempotent est l'élément neutre.

L’élément absorbant est nécessairement nilpotent...

Centre d'une structure[modifier | modifier le code]

  • un élément  c \, est dit commutatif ou central si :    \forall\ x \in E ,\ x * c = c * x  \,
En d'autres termes, un élément est central si son composé par tout élément se confond avec le réciproque de ce composé.
Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs.
On appelle centre de E, et on note Z ( E ), l’ensemble des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés[modifier | modifier le code]

  • un élément  s\in E \, est dit régulier à gauche ou simplifiable à gauche si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s * x = s * y ) \Rightarrow ( x = y ) \,
  • un élément  s \, est dit régulier à droite ou simplifiable à droite si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x * s = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,
  • un élément  s \, est dit régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche ;
  • un élément  s \, est dit antirégulier ou cosimplifiable si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( s * x = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,
  • un élément  s \, est dit irrégulier à gauche ou non-simplifiable à gauche si :
 \exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s * x = s * y ) \,
  • un élément  s \, est dit irrégulier à droite ou non-simplifiable à droite si :
 \exists\ ( x , y ) \in E^2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x * s = y * s ) \,
  • un élément  s \, est dit irrégulier ou non-simplifiable lorsqu’il est irrégulier à droite ou à gauche ;
  • un élément  s \, est dit diviseur de zéro à gauche s'il existe un élément absorbant  a \, (évidemment unique), différent de  s \,, et si :  \exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( s * r = a ) ;
Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche ;
  • un élément  s \, est dit diviseur de zéro à droite s'il existe un élément absorbant  a \,, différent de  s \,, et si :  \exists\ r \in E /\ ( r \not = a ) \wedge ( r * s = a ) ;
Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite ;

Paires d'éléments[modifier | modifier le code]

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

  • deux éléments  r \, et  s \, seront dits permutables ou commutants si :    r * s = s * r \,
ou, en d'autres termes, si leur composé se confond avec son réciproque.
  • deux éléments permutables  r \, et  s \, seront dits symétriques ou inversibles :
    • s’il existe un élément neutre  e \,,
    • et si :    r * s = e ;
  • deux éléments permutables  r \, et  s \, seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants :
    • s’il existe un élément absorbant  a \,,
    • si aucun des deux éléments n’est égal à  a \,,
    • et si :    r * s = a ;
Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Certaines propriétés des lois de composition internes, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma ( E, *\, ) ; la loi *\, peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite
    • unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite ;
    • unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche ;
    • unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre. Une loi est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et unifère à droite. L’élément neutre d’une loi unifère est unique ;
  • *\, est dite
    • absorbante à gauche s’il existe un élément absorbant à gauche. Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à droite ;
    • absorbante à droite s’il existe un élément absorbant à droite. Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément absorbant à gauche;
    • absorbante s’il existe un élément absorbant. Une loi est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite. L’élément absorbant d’une loi absorbante est unique.
  • *\, est dite involutive si elle est unifère et si tous les éléments de E sont involutifs.
  • *\, est dite nilpotente si elle est absorbante et si tous les éléments de E sont nilpotents.

Régularité et propriétés liées[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,
  • *\, est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,
  • *\, est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \or ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,
Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite.

Associativité et propriétés analogues[modifier | modifier le code]

 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x * ( y * z ) = ( x * y ) * z \,
On peut noter que l’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des correspondances,...).
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ [\ x * ( x * y ) = ( x * x ) * y \ ] \wedge [\ ( x * y ) * y = x * ( y * y )\ ] \,
Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu’une loi associative est nécessairement alternative.
 \forall\ x \in E ,\ x * ( x * x ) = ( x * x ) * x \,
Cette propriété est moins forte que l’alternativité, puisqu’une loi alternative est nécessairement associative des puissances.
Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) :
- la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement « x n  », est égale au résultat de la composition de x selon *\,, (n – 1) fois avec lui-même; ainsi   x 1 = x ;   x 2 = x *\, x ;   x 3 = x *\, x *\, x ;...
- si, de plus, la loi *\, présente un élément neutre e, on pose alors   x 0 = e
- si, de plus, la loi *\, est inversible (voir plus bas), on pose alors   x–n = (x n )–1
 \forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x * y ) * ( z * t ) = ( x * z ) * ( y * t ) \,
Cette propriété est appelée permutativité car elle permet de permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus.
Cette propriété est moins forte que l’associativité, car une loi associative et commutative est nécessairement permutative; notons toutefois qu’une loi associative, mais non-commutative, n’est pas nécessairement permutative, et qu’une loi permutative, même commutative, n’est pas nécessairement associative.
(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans ℤ et la division dans ℚ*, ou la loi qui associe à deux points d’un espace affine leur milieu.)

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

  • *\, est dite idempotente si tous les éléments de E sont idempotents, c’est-à-dire si :
 \forall\ x \in E ,\ x * x = x \,
  • *\, est dite intègre si elle est absorbante et si aucun élément de E n’est diviseur de zéro, c’est-à-dire si :
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a\ *\ x = a )\ \wedge\ [\ \forall\ y \in E ,\ ( x\ *\ y = a ) \Rightarrow [\ ( x = a )\ \vee\ ( y = a ) \ ]\ ] \,
  • *\, est dite commutative si tous les éléments de E sont commutatifs, c’est-à-dire si :
 \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ x * y = y * x ;
Les lois commutatives sont notées par « + », « \top  » ou « \bot  » plutôt que par « *\, ».
Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes: il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans ℤ) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans ℝ+*).

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivité.

  • Une loi *\, peut être distributive par rapport à une autre loi \bot (par exemple, la multiplication l’est par rapport à l’addition) :
 \forall\ ( x , y , z , t ) \in E^4 ,\ ( x \bot y ) * ( z \bot t ) = [ ( x * z ) \bot ( x * t ) ]\ \bot\ [ ( y * z ) \bot (y * t ) ] \,

Cette propriété se décompose en deux parties :

- distributivité à gauche :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ x * ( y \bot z ) = ( x * y ) \bot ( x * z ) \,
- distributivité à droite :
 \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x \bot y ) * z = ( x * z ) \bot ( y * z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi \bot est régulière et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi *\,. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps commutatif, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité[modifier | modifier le code]

Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma ( E, *\, ) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre  e \,. Il est alors possible de définir les notions suivantes :

  • un élément  s \, est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si :
 \exists\ s' \in E /\ s' * s = e \,
s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s ;
  • un élément  s \, est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si :
 \exists\ s' \in E /\ s * s' = e \,
s' est alors appelé élément symétrique à droite de s ;
  • Tout élément inversible à gauche est régulier à gauche, et de même à droite. Si E est fini, la réciproque est vraie car toute injection de E dans E est alors surjective (voir les propriétés des bijections).
  • un élément  s \, est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux ;
s' est alors appelé élément symétrique de s.
Note : attention à ne pas confondre le symétrique d'un composé avec son réciproque !
  • la loi  * \, est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
  • la loi  * \, est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite ;
  • la loi  * \, est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles.

Si la loi  * \, est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « s -1  ».

Exemples :

  • 2 n'est pas symétrisable pour l'addition dans les entiers naturels ;
  • 2 est symétrisable, de symétrique –2, pour l’addition dans les entiers relatifs ;
  • 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs ;
  • 2 est inversible, d’inverse 1/2, pour le produit dans les rationnels.

Remarque :

Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé inverse.

Nombre de lois de composition internes sur un ensemble à n éléments[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble à n éléments.

Le nombre de lois de composition internes sur E est le nombre d'applications de E×E dans E, soit

n^{(n^2)}.

On peut compter de même combien, parmi elles, sont commutatives. Une loi commutative sur E est entièrement déterminée par sa valeur x✲y=y✲x pour les paires {x,y} et sa valeur x✲x pour les singletons {x}. Le nombre de ces paires et singletons étant

\Gamma_n^2={n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}2,

il y a donc

n^{n(n+1)/2}~

lois commutatives sur E.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Algèbre universelle

Note[modifier | modifier le code]

  1. Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise « binary operation », utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « opération » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.

Références[modifier | modifier le code]