Algèbre géométrique (structure)

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L'algèbre géométrique est une algèbre multilinéaire avec une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes (en), reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques). Le but avoué de l'auteur de cette algèbre est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombre complexe, spineurs, quaternions, formes différentielles…). Le nom choisi par David Henestes (Geometric Algebra) correspond au nom que Clifford voulait donner à son algèbre, mais qui fut nommé algèbre de Clifford.

L'algèbre géométrique se veut utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Ses partisans disent qu'elle fournit une description plus compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

Définitions[modifier | modifier le code]

Produit géométrique[modifier | modifier le code]

Un produit géométrique est une opération binaire, notée (\mathbf{a},\mathbf{b})\rightarrow\mathbf{ab}, qui est associative, bilatéralement distributive, et qui contracte un espace vectoriel \mathcal{E} sur son corps \mathbf{K} :

\begin{align}
\mathbf{a}(\mathbf{b} \mathbf{c}) & = (\mathbf{a}\mathbf{b}) \mathbf{c}\\
\mathbf{a}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) & = \mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{a}\mathbf{c}\\
(\mathbf{a} + \mathbf{b})\mathbf{c} & = \mathbf{a}\mathbf{c} + \mathbf{b}\mathbf{c}\\
\mathbf{a}\in\mathcal{E}& \Rightarrow \mathbf{a}^2\in\mathbf{K}
\end{align}

Une forme positive \mathbf{a}\rightarrow|\mathbf{a}| telle que |\mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}^2| est alors appelée magnitude ou norme.

Pour \mathbf{K} = \mathbf{R}, le signe de \mathbf{a}^2 est appelé signature de \mathbf{a}.

David Hestenes a exprimé sa forte réticence à considérer le cas d'un espace vectoriel à corps complexe[1]. Le cas du corps réel étant effectivement plus simple à traiter, cet article, sauf mention contraire, assumera \mathbf{K} = \mathbf{R}.

Algèbre géométrique[modifier | modifier le code]

Une algèbre géométrique est un espace muni d'un produit géométrique. Hestenes appelle « nombres orientés » (directed numbers) les éléments d'une algèbre géométrique, et réserve le mot « vecteur » aux nombres orientés qui appartiennent à \mathcal{E}, c'est à dire à l'espace vectoriel mentionné dans la définition du produit géométrique.

La donnée d'un espace vectoriel \mathcal{E} et d'une forme quadratique \mathcal{Q} sur \mathcal{E} permet de construire une algèbre géométrique dite générée par \mathcal{E} sous la condition v^2 = \mathcal{Q}(v). Cette algèbre est ce qu'on appelle l'algèbre de Clifford. Hestenes appelle « multivecteurs » les éléments d'une algèbre de Clifford, mais il existe au moins une source dans laquelle il utilise ce terme pour qualifier les éléments de n'importe quelle algèbre géométrique[2]. Les expressions nombre orienté et multivecteur peuvent donc raisonnablement être considérées comme synonymes.

La notion d'algèbre géométrique est donc très proche de la notion d'algèbre de Clifford. L'algèbre géométrique est la notion la plus abstraite dont l'algèbre de Clifford constitue une implémentation concrète.

Décomposition canonique[modifier | modifier le code]

À partir du produit géométrique, et pour deux vecteurs \mathbf{a} et \mathbf{b}, deux nouveaux produits sont définis.

Le produit intérieur
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{a}\right)
Le produit extérieur
\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}-\mathbf{b}\mathbf{a}\right)

On obtient ainsi la décomposition canonique du produit géométrique de deux vecteurs:

\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

Les produits intérieur et extérieur sont, par construction, respectivement symétrique et antisymétrique :

\begin{align}\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\\
\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} & = -\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}
\end{align}

Les produits intérieur et extérieur sont ici définis uniquement pour les vecteurs. La généralisation pour des nombres orientés quelconques fait l'objet d'une définition différente discutée plus bas.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Structure préhilbertienne[modifier | modifier le code]

Le produit intérieur peut être écrit ainsi:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =
\frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a}) =
\frac{1}{2}((\mathbf{a}+\mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2)

Le produit intérieur est donc une combinaison linéaire de carrés de vecteurs. Compte tenu du critère de contraction, cela signifie que le produit intérieur est une combinaison de scalaires, et donc que le produit intérieur est un scalaire. Puisque le produit intérieur est en outre distributif et symétrique, il satisfait aux conditions nécessaires et suffisantes pour définir un produit scalaire.[3] Cela confère à toute algèbre géométrique une structure préhilbertienne naturelle, tout en justifiant la notation utilisée pour le produit intérieur. Cela permet aussi à toute algèbre géométrique d'emprunter au vocabulaire préhilbertien la notion d'orthogonalité: deux vecteurs sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit intérieur est nul.

Lien avec le produit vectoriel[modifier | modifier le code]

Le produit extérieur \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} n'est ni un scalaire, ni un vecteur : c'est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée. C'est un nombre orienté dit de second grade, les vecteurs étant des nombres orientés de premier grade et les scalaires des nombres orientés de grade nul (ce qui constitue le cas dégénéré, car en fait les scalaires sont des nombres "non-orientés"). Les nombres orientés de grade supérieur à deux sont discutés plus bas.

Bivecteur du produit intérieur.png

Tout comme le produit vectoriel, le produit extérieur peut être utilisé pour caractériser la colinéarité de deux vecteurs. En effet, il s'avère que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit extérieur est nul.

En effet si deux vecteurs \mathbf{a} et \mathbf{b} sont colinéaires, alors il existe un scalaire \lambda tel que:

\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}

Dès lors:

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \lambda\mathbf{a}\wedge\mathbf{a} = \lambda 0 = 0

Inversement, si

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = 0

alors

\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

En multipliant à droite par \mathbf{b}, il vient:

\mathbf{a}\mathbf{b}^2 = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b}

et donc (ignorant le cas dégénéré où \mathbf{b}^2 = 0):

\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}^2}\mathbf{b}

\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}^2} est un scalaire en tant que quotient de deux scalaires. Il y a donc bien colinéarité.

Caractérisation algébrique de l'orthogonalité et de la colinéarité[modifier | modifier le code]

Il découle des considérations précédentes les deux propriétés fondamentales suivantes:

  1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ils anti-commutent.
  2. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils commutent.

C'est à dire:

\begin{align}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0 & \iff \mathbf{a}\mathbf{b} = -\mathbf{b}\mathbf{a}\\
\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = 0 & \iff \mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{b}\mathbf{a}
\end{align}

Autrement dit, des notions géométriques telles que l'orthogonalité et la colinéarité possèdent une traduction directe en termes algébriques, en l’occurrence la commutativité et l'anti-commutativité. Cela fait partie des facteurs justifiant l'appellation Algèbre géométrique.

Bases orthonormées[modifier | modifier le code]

La structure préhilbertienne permet de caractériser une famille de vecteurs orthonormée (\mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2},...) par la relation:

|\mathbf{\sigma_i} \cdot \mathbf{\sigma_j}| = \delta_{ij}

\delta_{ij} est le symbole de Kronecker.

Lorsque cette famille est aussi génératrice de \mathcal{E}, on dit qu'elle constitue une base orthonormée des vecteurs de l'algèbre géométrique ou, avec un léger abus de langage, une base orthonormée de l'algèbre géométrique.

Bivecteurs unitaires[modifier | modifier le code]

Un bivecteur unitaire[4] \mathbf{s} est le produit géométrique de deux vecteurs orthonormés que l'on peut, sans perdre en généralité, considérer comme les deux premiers vecteurs de la base orthonormée définie dans la section précédente:

\mathbf{s}=\mathbf{\sigma}_1\mathbf{\sigma}_2

L'ortho-normalité de \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2 donne, entre autres:

\mathbf{s}=
\mathbf{\sigma}_1\mathbf{\sigma}_2 =
\mathbf{\sigma}_1 \wedge \mathbf{\sigma}_2 =
-\mathbf{\sigma}_2 \wedge \mathbf{\sigma}_1 =
-\mathbf{\sigma}_2\mathbf{\sigma}_1

Le caractère remarquable de \mathbf{s} provient du fait que le produit géométrique par \mathbf{s} laisse stable l'espace vectoriel généré par (\mathbf{\sigma}_1, \mathbf{\sigma}_2)), et défini même une transformation linéaire (ou plus précisément deux transformations linéaires, selon que la multiplication a lieu à droite ou à gauche), permettant ainsi une interprétation géométrique directe:

\begin{align}
(\alpha\mathbf{\sigma}_1 + \beta\mathbf{\sigma}_2)\mathbf{s} = &
(\alpha\mathbf{\sigma}_1^2)\mathbf{\sigma}_2 & -(\beta\mathbf{\sigma}_2^2)\mathbf{\sigma}_1\\
\mathbf{s}(\alpha\mathbf{\sigma}_1 + \beta\mathbf{\sigma}_2) = & 
(-\alpha\mathbf{\sigma}_1^2)\mathbf{\sigma}_2 & +(\beta\mathbf{\sigma}_2^2)\mathbf{\sigma}_1
\end{align}

Le point important ici étant que \mathbf{\sigma}_1^2 et \mathbf{\sigma}_2^2 sont scalaires du fait du critère de contraction.

Le carré de \mathbf{s} est:

\mathbf{s}^2=-\mathbf{\sigma}_1^2\mathbf{\sigma}_2^2

Il est nécessairement scalaire en tant que produit de deux scalaires. Il est négatif si \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2 ont la même signature, et positif dans le cas contraire. Le comportement algébrique (et géométrique dans le plan (\mathbf{\sigma}_1, \mathbf{\sigma}_2)) de \mathbf{s} est radicalement différent dans les deux cas.

Cas de signatures identiques[modifier | modifier le code]

Lorsque \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2 ont la même signature, on a la propriété importante \mathbf{s^2}= -\mathbf{\sigma}_1^2\mathbf{\sigma}_2^2 = -1, c'est à dire:

\mathbf{s^2}= -1

\mathbf{s}\, est donc une version géométrique de \sqrt{-1}, ce qui suggère d'utiliser dorénavant la lettre \mathbf{i} au lieu de \mathbf{s} dans cette section.

On aura également les relations suivantes (on considère ici \mathbf{\sigma}_1^2 = \mathbf{\sigma}_2^2 = 1, le cas \mathbf{\sigma}_1^2 = \mathbf{\sigma}_2^2 = -1 donnant un résultat analogue):

\begin{align}
\mathbf{i}\mathbf{\sigma_1} & = -\mathbf{\sigma_2}\\
\mathbf{i}\mathbf{\sigma_2} & = \mathbf{\sigma_1}
\end{align}
\begin{align}
\mathbf{\sigma_1}\mathbf{i} & = \mathbf{\sigma_2}\\
\mathbf{\sigma_2}\mathbf{i} & = -\mathbf{\sigma_1}
\end{align}

C'est-à-dire que la multiplication par \mathbf{i}\, tourne toute combinaison linéaire de (\mathbf{\sigma}_1,\mathbf{\sigma}_2) d'un quart de tour, dans un sens qui dépend de si la multiplication est effectuée à gauche ou à droite. On peut s'assurer du fait que la rotation est d'un quart de tour par exemple en remarquant que 4 est le plus petit entier k tel que \mathbf{i}^k = 1.

Il n'est pas difficile de se convaincre que l'anneau engendré par les combinaisons linéaires du couple (1,\mathbf{i}), est en fait un corps isomorphe au corps des complexes. On dispose dès lors de toutes les formules rencontrées couramment en arithmétique complexe, comme par exemple la formule d'Euler. C'est à dire que pour tout couple (c, s) de nombres réels tels que:

c^2 + s^2 = 1,

il existe un nombre réel \theta tel que:

c + \mathbf{i}s = e^{\mathbf{i}\theta}

où l'exponentielle d'un nombre orienté est définie naturellement:

e^\mathbf{a} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{a}^n}{n!}

Inversement, pour tout nombre réel \theta, on peut définir deux fonctions, dites cosinus et sinus ainsi :

\begin{align}
\cos(\theta) = & \frac{e^{\mathbf{i}\theta} + e^{-\mathbf{i}\theta}}{2}\\
\sin(\theta) = & \frac{e^{\mathbf{i}\theta} - e^{-\mathbf{i}\theta}}{2\mathbf{i}}
\end{align}

Ces deux fonctions s'avèrent alors être à valeurs réelles et on a:

\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2 = 1

ainsi que

\cos(\theta) + \mathbf{i}\sin(\theta) = e^{\mathbf{\mathbf{i}}\theta}

qui constitue l'exact équivalent de la formule d'Euler, déjà mentionnée.

Il importe bien de garder à l'esprit qu'ici \mathbf{i} n'est pas, à proprement parler, l'unité imaginaire pure du corps des complexes. C'est un nombre orienté (en l'occurence un bivecteur unitaire) qui, par isomorphisme, se comporte algébriquement de la même façon.

Cette structure isomorphe au corps des complexes n'a pour l'instant qu'un sens algébrique, puisqu'elle n'invoque aucun vecteur (elle invoque uniquement des combinaisons linéaires de scalaires et de bivecteurs). Une interprétation géométrique nécessite la multiplication des éléments de ce corps par un vecteur, ce qui pour l'instant n'a été abordé que dans le cas particulier où \theta = \pi/2, c'est à dire lorsque l'on multiplie par \mathbf{i} à gauche ou à droite, obtenant le quart de tour. L'interprétation géométrique complète est discutée plus bas.

Cas de signatures différentes[modifier | modifier le code]

Lorsque \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2 ont une signature différente (admettons par exemple, pour fixer les idées, que \mathbf{\sigma}_1^2 = 1 et \mathbf{\sigma}_2^2 = -1), on a \mathbf{s^2}= -\mathbf{\sigma}_1^2\mathbf{\sigma}_2^2 = 1, c'est à dire:

\mathbf{s}^2 = 1

Cela ne signifie pour autant pas que \mathbf{s} = 1. En fait, l'action de \mathbf{s} n'est pas triviale puisqu'elle intervertit \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2:

\mathbf{\sigma}_1\mathbf{s} = \mathbf{\sigma}_1 \mathbf{\sigma}_1 \mathbf{\sigma}_2 = \mathbf{\sigma}_1^2 \mathbf{\sigma}_2 = \mathbf{\sigma}_2

\mathbf{\sigma}_2\mathbf{s} =
\mathbf{\sigma}_2 \mathbf{\sigma}_1 \mathbf{\sigma}_2 =
-\mathbf{\sigma}_2 \mathbf{\sigma}_2 \mathbf{\sigma}_1 =
-\mathbf{\sigma}_2^2 \mathbf{\sigma}_1 = \mathbf{\sigma}_1

c'est à dire, en résumé:

\begin{align}
\mathbf{\sigma}_1\mathbf{s} & = \mathbf{\sigma}_2\\
\mathbf{\sigma}_2\mathbf{s} & = \mathbf{\sigma}_1
\end{align}
\begin{align}
\mathbf{s}\mathbf{\sigma}_1 & = -\mathbf{\sigma}_2\\
\mathbf{s}\mathbf{\sigma}_2 & = -\mathbf{\sigma}_1
\end{align}

La multiplication par \mathbf{s} agit donc dans le plan (\mathbf{\sigma}_1, \mathbf{\sigma}_2) comme une réflexion dont l'axe est l'une des bissectrices des droites dirigées par \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2, le choix de la bissectrice dépendant de si la multiplication a lieu à droite ou à gauche.

Le fait que \mathbf{s}^2 = 1 est consistant avec le caractère involutif des réflexions.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Sauf mention contraire, on se limitera à partir d'ici au cas de signatures positives.

Cas de vecteurs unitaires[modifier | modifier le code]

Le produit géométrique d'une paire de vecteurs unitaires \mathbf{a},\mathbf{b},\,( |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1)\, génère un nombre orienté \mathbf{U} appelé tourneur[5].

\mathbf{U} = \mathbf{ab}

La direction relative des deux vecteurs est complètement caractérisée par l'arc orienté qui les relie, il est donc possible d'interpréter \mathbf{U} comme une représentation de cet arc. Le nom tourneur est justifié par le fait que \mathbf{U} transforme \mathbf{a} et \mathbf{b} l'un envers l'autre par rotation.

\mathbf{b}=\mathbf{a U}

\mathbf{a}=\mathbf{U b}

Dans une base orthonormée \mathbf{\sigma}_1, \mathbf{\sigma}_2, \ldots telle que

\mathbf{a} = \mathbf{\sigma}_1

\mathbf{b} = \cos(\theta)\mathbf{\sigma}_1 + \sin(\theta)\mathbf{\sigma}_2

il vient :

\begin{align}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = \cos(\theta)\\
\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} & = \mathbf{i}\sin(\theta)
\end{align}

\mathbf{i} est le bivecteur unitaire:

\mathbf{i} = \mathbf{\sigma}_1\mathbf{\sigma}_2 =
\frac{\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}}{\sin(\theta)} =
\frac{\mathbf{U} - \cos(\theta)}{\sin(\theta)}

Il est alors possible d'écrire  :

\mathbf{U} = \mathbf{U}_{\theta} =
\mathbf{ab} = 
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} =
\cos(\theta) + \mathbf{i}\sin(\theta) = e^{i\theta}

C'est à dire:

\mathbf{U}_{\theta} = e^{\mathbf{i}\theta}

Lorsqu'on multiplie (par exemple à gauche) ce tourneur par un vecteur \mathbf{x}(\phi) tel que:

\mathbf{x}(\phi) = 
\cos(\phi)\mathbf{\sigma}_1 + \sin(\phi)\mathbf{\sigma}_2

on obtient, par application des identités trigonométriques ainsi que des règles algébriques d'orthonormalité de \mathbf{\sigma}_1 et \mathbf{\sigma}_2:

\begin{align}\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\theta} & =
\mathbf{x}(\phi)e^{\mathbf{i}\theta}\\
 & =
(\cos(\phi)\mathbf{\sigma}_1 + \sin(\phi)\mathbf{\sigma}_2)
(\cos(\theta) + \mathbf{i}\sin(\theta))\\
 & =
\cos(\phi)\mathbf{\sigma}_1\cos(\theta) +
\sin(\phi)\mathbf{\sigma}_2\cos(\theta) +
\cos(\phi)\mathbf{\sigma}_1\mathbf{i}\sin(\theta) +
\sin(\phi)\mathbf{\sigma}_2\mathbf{i}\sin(\theta)\\
 & =
(\cos(\phi)\cos(\theta) - \sin(\phi)\sin(\theta))\mathbf{\sigma}_1 +
(\cos(\theta)\sin(\phi) + \cos(\phi)\sin(\theta))\mathbf{\sigma}_2\\
 & =
\cos(\phi + \theta)\mathbf{\sigma}_1 + \sin(\phi + \theta)\mathbf{\sigma}_2\\
 & = \mathbf{x}(\phi + \theta)
\end{align}

Le vecteur \mathbf{x}(\phi) a donc bien « tourné » d'un angle \theta.

En résumé:

\begin{align}
\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\theta} & = \mathbf{x}(\phi + \theta)\\
\mathbf{U}_{\theta}\mathbf{x}(\phi) & = \mathbf{x}(\phi - \theta)
\end{align}

Le produit géométrique de deux vecteurs unitaires représente donc bien une rotation.

Rotation geometrie Algebrique.png

Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.

Analogie entre tourneur et vecteurs.png

Une composition de rotation s'exprimera par le produit de deux tourneurs:

\mathbf{U}_{\theta}\mathbf{U}_{\varphi}=\mathbf{U}_{\theta+\varphi}

Composition de rotation.png

Il est utile d'observer que:

\mathbf{U}_{\varphi}\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\psi} = \mathbf{x}(\phi - \varphi  + \psi)

et que donc, pour \varphi = -\theta/2 et \psi = \theta/2:

\mathbf{U}_{-\frac{\theta}{2}}\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\frac{\theta}{2}} = \mathbf{x}(\phi + \theta)

Ceci constitue une formulation alternative de la rotation d'angle \theta. Il sera vu plus loin qu'elle est plus appropriée.

Cas général[modifier | modifier le code]

On considère désormais un couple de vecteurs (\mathbf{a},\mathbf{b}) non nécessairement unitaires, mais non nuls et non colinéaires. Les résultats précédents peuvent être généralisés en considérant le couple:

(\mathbf{\tilde{a}},\mathbf{\tilde{b}}) =
(\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|},\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|})

Il est facile de se convaincre que \mathbf{\tilde a} et \mathbf{\tilde b} sont, eux, unitaires, et ont les mêmes signatures que \mathbf{a} et \mathbf{b}. Ils sont aussi séparés par un même angle \theta, de telle sorte que le tourneur \mathbf{\tilde{a}}\mathbf{\tilde{b}} s'écrit:

\mathbf{\tilde{a}}\mathbf{\tilde{b}} = e^{\mathbf{i}\theta}

\mathbf{i} = \frac{\mathbf{\tilde a}\wedge\mathbf{\tilde b}}{\sin(\theta)}

Le produit géométrique peut donc s'écrire:

\mathbf{a}\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|e^{\mathbf{i}\theta}

tandis que le bivecteur unitaire \mathbf{i} peut s'écrire:

\mathbf{i} = \frac{\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)}

Il a été vu précédemment que l'ensemble des nombres orientés générés par les combinaisons linéaires et produits géométriques de 1 et \mathbf{i} forme un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Ceci justifie l'emploi d'un vocabulaire et de notations analogues.

Ainsi, si l'on note \mathbf{z}\, le produit \mathbf{a}\mathbf{b}, le scalaire

|\mathbf{z}| = |\mathbf{a}\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|

est ce qu'on appelle le module de \mathbf{z}. Il s'agit d'une notion très différente de la norme (ou magnitude) évoquée plus haut, car cette dernière n'est définie que pour les vecteurs, et \mathbf{z} n'est pas un vecteur.

Tout comme un nombre complexe peut être décomposé en une partie réelle et une partie imaginaire, un produit géométrique peut être décomposé en deux parties qui ne sont ni plus ni moins que les produits intérieur et extérieur, qu'on peut aussi appeler symétrique et antisymétrique, ou encore scalaire et bivectoriel.

\begin{align}
\mathbf{z} & = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & + &\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\\
           & = |z|\cos(\theta) & + & |z|\mathbf{i}\sin(\theta)
\end{align}

De la même façon, \theta peut être appelé argument de \mathbf{z}.

\mathbf{z} peut être interprété géométriquement comme l'arc orienté d'un cercle de rayon \mathbf{z}. Complexe et conjugué.png

Le conjugué de \mathbf{z} est le nombre orienté de même partie scalaire mais de composante bivectorielle opposée:

\mathbf{z}^{\dagger} =
(\mathbf{ab})^{\dagger} =
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} =
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} + \mathbf{b}\wedge\mathbf{a} =
\mathbf{ba}

Le conjugué d'un produit géométrique apparaît donc comme le produit géométrique effectué en ordre inverse:

(\mathbf{ab})^{\dagger} = \mathbf{ba}

Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du produit géométrique z.

|\mathbf{zz}^{\dagger}| =
|\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{b}\mathbf{a} | =
|\mathbf{a}^2\mathbf{b}^2| =
|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 =
|\mathbf{z}|^2

autrement dit:

|\mathbf{z}| = \sqrt{|\mathbf{zz}^{\dagger}|}

Les produits géométriques peuvent être utilisés directement sur les vecteurs :

\mathbf{b}=\mathbf{a}^{-1}z = z^{\dagger}\mathbf{a}^{-1}

avec l'inverse du vecteur \mathbf{a} donné par

\mathbf{a}^{-1} = \frac{1}{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{a}^2} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}

Ici, le produit géométrique \mathbf{z} opère une rotation sur le vecteur \mathbf{a}, le met à l'échelle pour donner le vecteur \mathbf{b} (c'est une similitude).

Produit dans l'espace orthogonal et trivecteurs[modifier | modifier le code]

Il a été démontré que pour deux vecteurs unitaires \mathbf{a} et \mathbf{b}, le produit géométrique par le tourneur \mathbf{U} = \mathbf{ab} laisse stable l'espace vectoriel généré par \mathbf{a} et \mathbf{b}, et constitue même une rotation sur cet espace.

La généralisation au cas où \mathbf{a} et \mathbf{b} ne sont pas unitaires montre que l'espace vectoriel généré par \mathbf{a} et \mathbf{b} reste stable par produit géométrique par \mathbf{ab}, opération qui devient alors une similitude.

La question se pose alors de savoir comment se comporte le produit géométrique par \mathbf{ab} lorsqu'il est appliqué non pas à une combinaison linéaire de \mathbf{a} et \mathbf{b}, mais à un autre vecteur de \mathcal{E}, par exemple un vecteur \mathbf{c} orthogonal à la fois à \mathbf{a} et à \mathbf{b}. Si le produit par \mathbf{ab} est sensé n'opérer que sur l'espace vectoriel généré par \mathbf{a} et \mathbf{b}, il est raisonnable de s'attendre à ce que le produit de \mathbf{ab} par \mathbf{c} laisse \mathbf{c} inchangé, c'est à dire que:

\mathbf{abc} = \mathbf{c}

Tel n'est pas le cas : l'algèbre géométrique est en quelque sorte capable de prendre en compte l'idée d'un vecteur tournant sur lui même ce qui fait d'ailleurs probablement partie des raisons de son efficacité.

En effet le produit \mathbf{abc} n'est pas un vecteur. Ce n'est pas non plus un scalaire.

On peut sans perdre trop de généralité revenir temporairement au cas où \mathbf{a}, \mathbf{b} et \mathbf{c} sont orthonormés, car il s'agit de toute façon d'un cas particulier de la situation envisagée ici.

Puisque ces vecteurs sont orthogonaux, ils anticommutent et \mathbf{abc} apparaît alors comme une grandeur totalement antisymétrique:


\mathbf{abc} =
-\mathbf{bac} =
\mathbf{bca} =
-\mathbf{acb} =
\mathbf{cab} =
-\mathbf{cba}

L'analogie avec le caractère antisymétrique des bivecteurs, ainsi que le fait qu'ils sont définis par le produit extérieur utilisant le symbole \wedge, suggère alors d'appeler trivecteur le nombre orienté \mathbf{abc} et de le noter:

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge\mathbf{c} = \mathbf{abc}

Cette formule n'est toutefois valable que pour \mathbf{a}, \mathbf{b} et \mathbf{c} orthonormés. La formule générale de construction de trivecteurs et autres multivecteurs, est discutée plus bas.

Cette formule ne fait en aucun cas intervenir le produit extérieur défini jusqu'ici, car il s'agissait d'une opération sur deux vecteurs, or ni \mathbf{a}\wedge\mathbf{b}, ni \mathbf{b}\wedge\mathbf{c} ne sont des vecteurs.

Un trivecteur est un nombre orienté dit de grade trois, ou de troisième grade.

Algèbre géométrique et physique classique[modifier | modifier le code]

Espace euclidien 3D et géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Soit l'espace vectoriel euclidien \mathcal{P}^3. Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique \mathcal{G}_3 = \mathcal{G}\left(\mathcal{P}^3\right). En particulier, une base pour l'algèbre géométrique peut être générée par l'ensemble des vecteur orthonormés \lbrace \mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2}, \mathbf{\sigma_3}\rbrace

À l'aide du produit géométrique, un trivecteur unique (un pseudoscalaire) peut être défini :

i = \mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}

Éléments de l'algèbre géométrique.png

L'unité pseudoscalaire i représente un volume orienté.

On a également la base de bivecteurs suivante

\mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2}=i\mathbf{\sigma_3},\, \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}=i\mathbf{\sigma_1},\, \mathbf{\sigma_3} \mathbf{\sigma_1}=i\mathbf{\sigma_2}

Base des bivecteurs de l'Algèbre géométrique.png

Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.

Le pseudoscalaire i a des propriétés spéciales qui facilitent le passage entre l'espace vectoriel Euclidien et l'algèbre géométrique. On a :

i^2=-1

Tout bivecteur \mathbf{B} de \mathcal{G}_3 est le dual d'un vecteur \mathbf{b} en considérant la relation :

\mathbf{B}=i\mathbf{b} = \mathbf{b}i

Ainsi l'opération de dualité géométrique est simplement exprimée par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'écrire le produit extérieur sous cette forme :

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = i \mathbf{a} \times \mathbf{b},

\mathbf{a} \times \mathbf{b} étant le "cross-product anglo-saxon", qui correspond au produit vectoriel dans la littérature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement noté \wedge\, comme le produit extérieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement défini comme le dual du produit extérieur. Par conséquent, la décomposition canonique du produit géométrique peut être mis sous la forme :

\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{a} \times \mathbf{b}

C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.

Les éléments dans tous les algèbres géométrique sont dénommés des multivecteurs. Les propriétés spéciales du pseudoscalaire i permettent d'écrire tout multivecteur M de \mathcal{G}_3 dans sa forme étendue :

M = \alpha + \mathbf{a}+ i \mathbf{b}+i\beta,

\alpha et \beta sont des scalaires et où \mathbf{a} et \mathbf{b} sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans \mathcal{G}_3 à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.

L'algèbre géométrique \mathcal{G}_3 est un espace linéaire de dimension 1+3+3+1=2^3=8

La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un "scalaire complexe" \alpha + i\beta augmenté d'un "vecteur complexe" \mathbf{a}+ i \mathbf{b}, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

Correspondances[modifier | modifier le code]

Avec les quaternions[modifier | modifier le code]
Algèbre géométrique Quaternions Interprétation
1 1 scalaire
\sigma_2\sigma_3 -i plan orienté yz
\sigma_3\sigma_1 -j plan orienté zx
\sigma_1\sigma_2 -k plan orienté xy
Avec les biquaternions[modifier | modifier le code]
Algèbre géométrique Biquaternions Interprétation
1 1 scalaire
\sigma_1 i i ligne orientée (vecteur selon l'axe x)
\sigma_2 i j ligne orientée (vecteur selon l'axe y)
\sigma_3 i k ligne orientée (vecteur selon l'axe z)
\sigma_1\sigma_2 -k plan orienté xy (bivecteur)
\sigma_2\sigma_3 -i plan orienté yz (bivecteur)
\sigma_3\sigma_1 -j plan orienté zx (bivecteur)
\sigma_1\sigma_2\sigma_3 i volume orienté xyz (trivecteur)
Avec l'algèbre des matrices[modifier | modifier le code]

L'algèbre géométrique \mathcal{G}_3 est analogue à l'algèbre construite sur des matrice 2x2 à coefficients complexes. Cette algèbre se retrouve en Mécanique Quantique, introduite par Pauli, pour modéliser le spin des particules. Les matrices de base de cette algèbre sont l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

  • Pour les vecteurs :
\sigma_1 = \sigma_x =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}
\sigma_2 = \sigma_y =\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3 = \sigma_z =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}
  • Pour les bivecteurs :
\sigma_1\sigma_2 = \sigma_{xy} =\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \end{pmatrix}
\sigma_2\sigma_3 = \sigma_{yz} =\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3\sigma_1 = \sigma_{zx} =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \end{pmatrix}
  • Pour les trivecteurs :

\sigma_1\sigma_2\sigma_3=\sigma_{xyz}=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & i \end{pmatrix}

  • Pour les scalaires :

\sigma_0=1=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}

Tout élément de \mathcal{G}_3 peut s'écrire comme une combinaison linéaire ces 8 éléments.

Discussion[modifier | modifier le code]

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique est défini en termes de produit vectoriel et produit scalaire de vecteurs comme

 \mathbf a \, \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b

L'espace vectoriel original \mathcal V est construit sur les nombres réels comme scalaires. Dorénavant, un vecteur est quelque chose dans \mathcal V lui-même. Les vecteurs seront représentés par des symboles en minuscules grasses.

La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.

Les objets géométriques comme  \mathbf a \wedge \mathbf b sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur  \mathbf a ou  \mathbf b est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté  B=\mathbf a \wedge \mathbf b est déterminé sans ambiguïté.

Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considérer un vecteur différent de zéro  \mathbf v , à partir d'un point choisi comme origine, dans l'espace euclidien usuel, \mathbb{R}^3. L'ensemble de tous les vecteurs  \mathbf x \wedge \mathbf v = B ,  B désignant un bivecteur donné contenant  \mathbf v , détermine une ligne  l parallèle à  \mathbf v . Puisque  B est une aire orientée,  l est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les vecteurs  \mathbf x \cdot \mathbf v = s ,  s désignant un scalaire (réel) donné, détermine un plan P orthogonal à  \mathbf v . De nouveau, P est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information,  B et  s , peuvent être établis indépendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le vecteur  \mathbf y qui satisfait le système { \mathbf y \wedge \mathbf v = B ,  \mathbf  y \cdot \mathbf v = s } ? Géométriquement, la réponse est claire : c'est le vecteur qui part de l'origine et aboutit à l'intersection de  l et P. Par l'algèbre géométrique, même la réponse algébrique est simple :  \mathbf y \mathbf  v = s + B  \Rightarrow  \mathbf y = (s + B)/ \mathbf v = (s + B) \mathbf v -1, où l'inverse d'un vecteur différent de zéro est exprimé par  \mathbf z -1  = \mathbf z /(\mathbf z \cdot \mathbf z ) .

Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur  s + B en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dépend pas de l'origine choisie.

Tel qu'il est défini, le produit externe (ou produit extérieur, ou produit vectoriel) \wedge engendre l'algèbre graduée (algèbre extérieure de Hermann Grassmann) \wedge^n\mathcal{V}_n des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'éléments de degré k (k-vecteurs), où k va de 0 (scalaires) à n, la dimension de l'espace vectoriel original \mathcal V. Les multivecteurs sont représentés ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs ("0-vecteurs" et "1-vecteurs", respectivement).

La règle de contraction[modifier | modifier le code]

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez \langle x, x \rangle \ge 0).

La règle de contraction peut être mise sous la forme :

Q(\mathbf a) = \mathbf a^2 = \epsilon_a {\Vert \mathbf a \Vert}^2

\Vert \mathbf a \Vert est le module du vecteur a et \epsilon_a=0, \, \pm1 est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via  \mathbb{R}_{1,3}\,. Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés "vecteurs de lumière", les vecteurs à signature négative sont appelés "vecteurs d'espace" et les vecteurs à signature positive sont appelés "vecteurs de temps" (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise \mathbb{R}_{3,1} à la place).

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur \mathbb{R}^3\,) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique \mathcal{G}_3\, comme le produit interne

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a})

(qui est symétrique) et le produit externe

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a})

avec

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -i(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})

(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de degré deux). Le i ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue i^2 = -1\,.

Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.

Soient \mathbf{a},\, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} un vecteur et un multivecteur homogène de degré k. Leur produit interne est alors :  \mathbf a \cdot \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} + (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k+1} \mathbf A_{\langle k \rangle} \cdot \mathbf{a} et leur produit externe est

 \mathbf a \wedge \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} - (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k} \mathbf A_{\langle k \rangle} \wedge \mathbf{a}

Applications de l'algèbre géométrique[modifier | modifier le code]

Un exemple utile est \mathbb{R}_{3, 1}, et la façon dont il engendre \mathcal{G}_{3, 1}, un exemple d'algèbre géométrique appelé algèbre de l'espace-temps par Hestenes. Le champ tensoriel électromagnétique, dans ce contexte, devient juste un bivecteur \mathbf{E} + i\mathbf{B} où l'unité imaginaire est l'élément de volume, donnant un exemple de réinterprétation géométrique de "tours" traditionnels.

Les accélérations dans cet espace métrique lorentzien ont la même expression e^{\mathbf{\beta}} que la rotation dans l'espace euclidien, où \mathbf{\beta} est bien sûr le bivecteur engendré par le temps et les directions d'espace impliquées, considérant dans le cas euclidien que c'est le bivecteur engendré par les deux directions d'espace, renforçant l'"analogie" de la quasi-identité.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'algèbre géométrique de David Hestenes (en) et al. (1984) réinterprète les algèbres de Clifford sur les réels et son objectif est de revenir au nom et à l'interprétation que Clifford avait originellement prévus. L'ouvrage d'Emil Artin Geometric Algebra discute des algèbres associées avec chacune des nombreuses géométries, dont la géométrie affine, la géométrie projective, la géométrie symplectique et la géométrie euclidienne.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Dans A Unified Language for Mathematics and Physics, Hestenes écrit page 7: « Je suis tenté d'interdire complètement l'utilisation d'algèbres de Clifford complexes, parce que des scalaires imaginaires n'ont pas d'interprétation géométrique naturelle, et que leur propriétés algébriques existent déjà dans les algèbres de Clifford réelles. Cependant, il existe déjà une littérature considérable sur les algèbres de Clifford complexes, et elles présentent bel-et-bien certains avantages formels. » I am of half a mind to outlaw the Complex Clifford Algebras altogether, because the imaginary scalars do not have a natural geometric interpretation, and their algebraic features exist already in the real Clifford Algebras. However, there is already a considerable literature on complex Clifford Algebras, and they do have some formal advantages.
  2. Dans Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics, Hestenes déclare, page 15: « Les éléments de toute algèbre géométrique sont appelés multivecteurs » The elements in any geometric algebra are called multivectors
  3. En toute rigueur, ça n'est le cas que lorsque toutes les signatures sont positives, car sinon le produit intérieur n'est pas défini positif et ne peut donc définir un produit scalaire. Hestenes semble ignorer cela et parle même d'espace euclidien, ce qui est encore plus particulier. Il écrit en effet dans Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics, page 9: « D'après la règle de contraction, il est facile de montrer que \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} est à valeur scalaire, et peut donc être identifié au produit scalaire Euclidien standard. » From the contraction rule (4) it is easy to prove that a · b is scalar-valued, so it can be identified with the standard Euclidean inner product. Il a été choisi dans cet article de ne pas chercher à être beaucoup plus rigoureux qu'Hestenes lui-même.
  4. L'expression « bivecteur unitaire » est choisie ici pour traduire l'expression anglaise unit bivector de Hestenes. Une traduction alternative pourrait être « bivecteur unité ».
  5. le terme « tourneur » est ici choisi pour traduire le terme anglais rotor. Une alternative est « rotateur »

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Algèbre de l'espace physique (en)

Liens externes[modifier | modifier le code]