Algèbre géométrique (structure)

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En mathématiques, une algèbre géométrique est une algèbre multilinéaire avec une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes (en), reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques). Le but avoué de l'auteur de cette algèbre est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombre complexe, spineurs, quaternions, formes différentielles…). Le nom choisi par David Henestes (Geometric Algebra) correspond au nom que Clifford voulait donner à son algèbre, mais qui fut nommé algèbre de Clifford.

L'algèbre géométrique se veut utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Ses partisans disent qu'elle fournit une description plus compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

Sommaire

Définitions[modifier | modifier le code]

Algèbre géométrique[modifier | modifier le code]

Une algèbre géométrique \mathcal{G} est un espace vectoriel[1] sur un corps \mathbf{K}, muni d'une loi de composition interne, dite produit géométrique et notée (a,b)\rightarrow ab, qui est associative, bilatéralement distributive et qui contracte un sous-espace vectoriel \mathcal{V}:

\begin{align}a(b c) & = (ab) c\\
a(b + c) & = ab + ac\\
(a + b)c & = ac + bc\\
a\in\mathcal{V}& \Rightarrow a^2\in\mathbf{K}
\end{align}

Les éléments de \mathcal G sont appelés nombres orientés[2].

David Hestenes a exprimé sa forte réticence à considérer le cas d'un espace vectoriel à corps complexe[3]. En fait dans un ouvrage récent[4], le corps des scalaires est bel et bien défini comme étant le corps des réels. La définition la plus générale a ici été présentée mais dans le reste de cet article, sauf mention contraire, il sera assumé \mathbf{K} = \mathbf{R}. Dans ce même ouvrage, Hestenes impose aussi à \mathcal{V} une dimension finie n. Dans ce cas, \mathcal{V} et \mathcal{G} peuvent être notés respectivement \mathcal{V}^n et \mathcal{G}_n (ou \mathcal{G}(\mathcal{V}^n)).

Dans cet article, \mathcal{V} est de dimension quelconque, mais dans le cas où cette dimension est infinie, elle sera tout de même supposée dénombrable pour faciliter les notations.

Lorsque \mathcal{V} est de dimension finie, et que la signature de tout vecteur est positive, on parle, pour des raisons justifiées plus loin, de cas Euclidien.

Algèbre de Clifford[modifier | modifier le code]

La donnée d'un espace vectoriel \mathcal{V} et d'une forme quadratique \mathcal{Q} sur \mathcal{V} permet de construire une algèbre géométrique dite générée par \mathcal{V} sous la condition v^2 = \mathcal{Q}(v). Cette algèbre est ce qu'on appelle l'algèbre de Clifford. Hestenes appelle multivecteurs les éléments d'une algèbre de Clifford, mais il existe au moins une source dans laquelle il utilise ce terme pour qualifier les éléments de n'importe quelle algèbre géométrique[5]. Les expressions nombre orienté et multivecteur peuvent donc raisonnablement être considérées comme synonymes.

Si une algèbre de Clifford requiert une forme quadratique pour sa définition, il sera vu plus loin qu'inversement une algèbre géométrique permet de définir de façon unique une forme quadratique à partir du produit géométrique. La notion d'algèbre géométrique est donc très proche de la notion d'algèbre de Clifford : la différence étant essentiellement dans le sens de la définition. Une algèbre de Clifford est définie à partir d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique, tandis qu'une algèbre géométrique est définie à partir d'un espace vectoriel et d'un produit géométrique. En fait de nombreuses sources définissent purement et simplement les algèbres géométriques comme des algèbres de Clifford, assimilant exactement les deux concepts.

Vecteur[modifier | modifier le code]

Même si \mathcal{G} est doté d'une structure d'espace vectoriel, David Hestenes réserve le mot vecteur aux nombres orientés qui appartiennent à \mathcal{V}. Dans cet article en règle générale les vecteurs seront notés en bas-de-casse gras, tandis que les nombres orientés seront notés avec une lettre majuscule.

Magnitude[modifier | modifier le code]

Une forme positive \mathbf{a}\rightarrow|\mathbf{a}| définie sur \mathcal{V} telle que |\mathbf{a}|^2 = |\mathbf{a}^2| est appelée magnitude ou norme.

Signature[modifier | modifier le code]

Lorsque \mathbf{K} est le corps des nombres réels \mathbf{R}, la signature d'un vecteur \mathbf{a} est le signe de \mathbf{a}^2.

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

À partir du produit géométrique de deux vecteurs \mathbf{a} et \mathbf{b}, deux nouveaux produits sont définis.

\begin{align}
\mathbf{a} \cdot  \mathbf{b} & =
\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}+\mathbf{b}\mathbf{a}\right)\\
\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} & =
\frac{1}{2}\left(\mathbf{a}\mathbf{b}-\mathbf{b}\mathbf{a}\right)
\end{align}

\mathbf{a} \cdot  \mathbf{b} est appelé produit intérieur, \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} est appelé produit extérieur.

Le produit extérieur est généralisé à k vecteurs par la formule suivante:

\bigwedge_{j=1}^k\mathbf{a}_j =
\mathbf{a}_1\wedge \mathbf{a}_2\wedge\dots\wedge \mathbf{a}_k = 
\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \operatorname{sgn}(\sigma) \mathbf{a}_{\sigma(1)}\mathbf{a}_{\sigma(2)} \dots \mathbf{a}_{\sigma(k)}

\mathfrak{S}_k est le groupe des permutations de degré k.

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Deux vecteurs dont le produit intérieur est nul sont dits orthogonaux.

Lame[modifier | modifier le code]

Une lame[6] A_k est un nombre orienté qui peut être écrit comme produit extérieur de k vecteurs linéairement indépendants.

A_k = \bigwedge_{j=1}^k \mathbf{a}_j

Grade[modifier | modifier le code]

k est ce qu'on appelle le grade de A_k.

Orientation[modifier | modifier le code]

Deux lames colinéaires sont dites de même orientation lorsque le coefficient de proportionnalité qui les relie est positif. Dans le cas contraire, elle sont dites d'orientation opposée.

Unitarité[modifier | modifier le code]

Une lame de grade k est dite unitaire (ou unité) lorsqu'elle peut être écrite comme produit géométrique de k vecteurs orthogonaux de magnitude 1.

Dégénérescence[modifier | modifier le code]

Une lame est dite dégénérée ou nulle lorsque son carré géométrique est nul.

Trame[modifier | modifier le code]

Les vecteurs (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\ldots,\mathbf{a}_k) constituent ce qu'on appelle une trame[7](ou base) de A_k.

Il est dit aussi que A_k est le pseudo-scalaire pour cette trame.

Dualité[modifier | modifier le code]

Pour toute trame (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots\mathbf{a}_k), la trame duale est la famille de k vecteurs (\mathbf{a}^1,\mathbf{a}^2,\ldots\mathbf{a}^k) telle que[8]:

\mathbf{a}^i\cdot\mathbf{a}_j = \delta^i_j

Projection gradée[modifier | modifier le code]

Il peut être montré que l'ensemble des lames de grade k, noté \mathcal{G}^k[9], constitue un sous-espace vectoriel de \mathcal{G} et que l'ensemble des sous-espaces ainsi définis constituent une somme directe de l'espace géométrique:

\mathcal{G} = \bigoplus_k \mathcal{G}^k

Cette décomposition, pour un nombre orienté M quelconque, donne:

M = \sum_k \langle M \rangle_k

définissant ainsi l'opérateur M\rightarrow\langle M \rangle_k dit de projection k-gradée. \langle M \rangle_k est qualifié de composante de grade k de M, composante k-gradée de M, ou encore partie de M de grade k.

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Les produits intérieur et extérieur de deux lames A_r et B_s peuvent être définis ainsi:

\begin{align}
A_r\cdot B_s  & = \langle A_rB_s\rangle_{|r - s|}\\
A_r\wedge B_s  & = \langle A_rB_s\rangle_{r + s}
\end{align}

Il est aisé de vérifier que cette définition est consistante avec les produit intérieur et extérieur définis plus haut pour les vecteurs, c'est-à-dire pour r=s=1.

David Hestenes propose aussi une définition récursive et remarque l'équivalence des deux définitions[4]. Ici la version utilisant l'opérateur de projection gradée a été préférée.

Bivecteur, trivecteur, k-vecteur[modifier | modifier le code]

Les termes bivecteur, trivecteur et k-vecteur[10] désignent respectivement des lames de grade deux, trois et k.

Les bivecteurs et trivecteurs peuvent aussi être qualifiés respectivement d' aire orientée et de volume orienté.

Décomposition canonique[modifier | modifier le code]

Pour deux vecteurs \mathbf a et \mathbf b, il est facile de déduire la relation suivante, qui constitue la décomposition dite canonique du produit géométrique de deux vecteurs:

\mathbf{ab}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

Il sera vu plus loin que \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} est nécessairement scalaire. La décomposition canonique consiste donc dans l'écriture de \mathbf{ab} comme somme d'un scalaire et d'un bivecteur, qui sont alors appelés respectivement partie scalaire et partie bivectorielle du produit géométrique \mathbf{ab}.

Verseur[modifier | modifier le code]

Un verseur[11] est un nombre orienté qui peut être écrit comme produit géométrique de vecteurs de carrés non nuls.

Commutateur[modifier | modifier le code]

Le produit commutateur[12] ou commutateur de deux nombres orientés A et B est:

A\times B = \frac{1}{2}(AB - BA)

Réversion[modifier | modifier le code]

La réversion d'un nombre orienté M est le nombre orienté[4]:

M^\dagger = \sum_{k\ge 0} (-1)^{\frac{k(k-1)}{2}} \langle M\rangle_k

Il peut être montré que l'opérateur M\rightarrow M^\dagger est un anti-automorphisme[13]. Il est appelé anti-automorphisme principal de \mathcal{G}.

Involution de grade, parité[modifier | modifier le code]

L' involution de grade, paire conjugué ou conjugué d'un nombre orienté M est le nombre orienté[4]:

M^* = \sum_{k\ge 0} (-1)^k \langle M\rangle_k

Un nombre orienté est dit pair lorsque M^* = M. Il est dit impair lorsque M^* = -M.

L'opérateur M\rightarrow M^* est une involution appelée involution principale de \mathcal{G}.

Magnitude d'un nombre orienté[modifier | modifier le code]

La magnitude d'un nombre orienté M est le scalaire positif[4]:

|M| = \sqrt{\sum_k |\langle M\rangle_k|^2}

avec:

|\langle M\rangle_k| = \sqrt{|\langle M\rangle_k\cdot \langle M\rangle_k|}

Produit scalaire[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire de deux nombres orientés M et N est la partie scalaire du produit géométrique de M par la réversion de N[4]:

\langle MN^\dagger\rangle = \langle NM^\dagger\rangle

\langle\ldots\rangle désigne l'opérateur M\rightarrow\langle M\rangle_0.

Décomposition orthogonale[modifier | modifier le code]

La donnée d'une lame non-dégénérée A_r permet d'écrire tout vecteur \mathbf{x} selon une décomposition dite orthogonale:

\mathbf{x} = P_{A_r}(\mathbf{x}) + P_{A_r}^{\perp}(\mathbf{x})

P_{A_r}(\mathbf{x}) et P_{A_r}^{\perp}(\mathbf{x}), appelés respectivement projection et réjection, sont définis ci-après.

Projection[modifier | modifier le code]

P_{A_r}(\mathbf{x}) = (\mathbf{x}\cdot A_r)A_r^{-1}

Réjection[modifier | modifier le code]

P_{A_r}(\mathbf{x}) = (\mathbf{x}\wedge A_r)A_r^{-1}

Base orthonormée[modifier | modifier le code]

Dans une algèbre géométrique, une famille de vecteurs (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...) est dite orthonormée lorsque:

|\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j| = \delta_{ij}

\delta_{ij} est le symbole de Kronecker.

Lorsque cette famille est aussi génératrice de \mathcal{V}, on dit qu'elle constitue une base orthonormée des vecteurs de l'algèbre géométrique ou, avec un léger abus de langage, une base orthonormée de l'algèbre géométrique.

Il sera vu plus loin que dans le cas Euclidien cette définition d'une base orthonormée coïncide avec la définition d'une base orthonormée dans un espace euclidien.

Base canonique[modifier | modifier le code]

Une base canonique est une base de \mathcal{G} (vu en tant qu'espace vectoriel) telle qu'il existe une base orthonormée (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...) dans laquelle les éléments de la base canonique peuvent s'écrire:

\mathbf{e}_{\sigma_1}\mathbf{e}_{\sigma_2}\ldots\mathbf{e}_{\sigma_k}

(\sigma_1,\sigma_2\ldots\sigma_k) est une suite finie et croissante d'entiers positifs.

Dimension finie[modifier | modifier le code]

Les définitions de cette sous-section ne sont valables que lorsque \mathcal{V} est de dimension finie n.

Pseudo-scalaire[modifier | modifier le code]

Un pseudo-scalaire est une lame de grade n.

Pseudo-scalaire unitaire[modifier | modifier le code]

Il peut être montré que tous les pseudo-scalaires unitaires[14], notés I_{\sigma}, sont égaux à un signe moins près. Cette quasi-unicité justifie une notation indépendante du choix des vecteurs \mathbf{\sigma}, ainsi que l'utilisation de l'article défini.

Le pseudo-scalaire unitaire est donc défini par:

I = \pm I_{\sigma}

Dualité[modifier | modifier le code]

Le dual d'un nombre orienté M est:

\widetilde{M} = M^\sim = MI^{-1}

Tout comme le pseudo-scalaire unitaire, le dual n'est donc défini qu'au signe près.

Rencontre[modifier | modifier le code]

La rencontre[15] de deux nombres orientés est[4]:

M\vee N = \widetilde{M}\cdot N

Transformations linéaires[modifier | modifier le code]

De façon générale les transformations linéaires sur \mathcal V sont notées avec un symbole souligné ou surligné.

Il est important de garder à l'esprit qu'une transformation linéaire n'est pas un élément de l'algèbre géométrique. Une expression telle que \underline{f}\mathbf{a} ne désigne donc pas un produit géométrique mais bien l'application de la fonction linéaire \underline{f} sur \mathbf{a}

Endomorphisme adjoint[modifier | modifier le code]

Pour tout endomorphisme \underline{f} sur \mathcal{V}, il peut être montré qu'il existe un unique endomorphisme \overline f tel que:

\forall (\mathbf{a},\mathbf{b})\in(\mathcal{V})^2,\quad \mathbf{a}\cdot\underline{f}\mathbf{b} =
\mathbf{b}\cdot\overline{f}\mathbf{a}

\overline f est alors appelé endomorphisme adjoint de \underline f

Ectomorphisme[modifier | modifier le code]

Tout endomorphisme \underline{f} sur \mathcal{V} peut être naturellement étendu sur \mathcal{G}[4]:

\underline{f}(A\wedge B) = \underline{f}(A)\wedge \underline{f}(B)

Cette extension est appelé ectomorphisme[16], compte tenu du fait qu'elle préserve le produit extérieur.

De la même façon pour toute lame A_k = \bigwedge_{j=1}^k \mathbf{a}_j:

\underline{f}(A_k) = \bigwedge_{j=1}^k \underline{f}(\mathbf{a}_j)

La linéarité permet alors d'étendre \underline{f} à tout \mathcal{G}.

La notion d'endomorphisme adjoint peut être généralisée aux ectomorphismes par la relation:

\langle A\underline{f}B\rangle = \langle B\overline{f}A\rangle

Transformations orthogonales[modifier | modifier le code]

Une transformation linéaire \underline U est dite orthogonale lorsqu'elle préserve le produit intérieur:

\forall (\mathbf{a},\mathbf{b})\in(\mathcal{V})^2,\quad
(\underline{U}\mathbf{a})\cdot
(\underline{U}\mathbf{b}) =
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

Il peut être montré que cette définition est équivalente à la caractérisation suivante:

\underline{U}^{-1}= \overline{U}
Forme canonique[modifier | modifier le code]

Il peut être montré qu'une transformation linéaire \underline U est orthogonale si et seulement si il existe un verseur U tel que:

\forall\mathbf{a}\in\mathcal{V},\quad
\underline{U}\mathbf{a} = U\mathbf{a}(U^*)^{-1} = U^*\mathbf{a}U^{-1}

Il s'agit de la forme dite canonique d'une transformation orthogonale.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Symétrie et antisymétrie des produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Les produits intérieur et extérieur de deux vecteurs sont, par construction, respectivement symétrique et antisymétrique :

\begin{align}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\\
\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} & = -\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}
\end{align}

Plus généralement, le produit extérieur de plusieurs vecteurs est totalement antisymétrique:

\forall\sigma\in\mathfrak{S}_k ,\quad
\bigwedge_{j=1}^k\mathbf{a}_j =
\operatorname{sgn}(\sigma)\bigwedge_{j=1}^k\mathbf{a}_{\sigma(j)}

Caractère scalaire du produit intérieur de vecteurs[modifier | modifier le code]

Le produit intérieur de deux vecteurs peut être écrit ainsi[17]:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =
\frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a}) =
\frac{1}{2}((\mathbf{a}+\mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2)

C'est une combinaison linéaire de carrés de vecteurs. Compte tenu du critère de contraction, il s'agit donc d'un scalaire en tant que combinaison linéaire de scalaires.

\forall (\mathbf{a},\mathbf{b})\in\mathcal{V}^2,\quad
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\in \mathbf{K}

Caractérisation algébrique de notions géométriques[modifier | modifier le code]

Colinéarité et orthogonalité[modifier | modifier le code]

Il peut être montré que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit extérieur est nul[18].

Cette observation, ajoutée à la définition de l'orthogonalité, permet de déduire les deux propriétés fondamentales suivantes:

  1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ils anti-commutent.
  2. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils commutent.

C'est-à-dire[19]:

\begin{align}
\mathbf{a}\perp\mathbf{b} & \iff & \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0 & \iff \mathbf{a}\mathbf{b} = -\mathbf{b}\mathbf{a}\\
\mathbf{a}\propto\mathbf{b} & \iff & \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = 0 & \iff \mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{b}\mathbf{a}
\end{align}

Indépendance linéaire[modifier | modifier le code]

Une généralisation de la caractérisation algébrique de la colinéarité existe pour l'indépendance linéaire. En effet il peut être montré que k vecteurs (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\ldots,\mathbf{a}_k) sont linéairement indépendants si et seulement si leur produit extérieur est non-nul. Ou, de façon équivalente, ils sont linéairement dépendants si et seulement si leur produit extérieur est nul:

\left(\exists (\alpha_1,\alpha_2\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{K}^k,\quad \sum_j\alpha_j\mathbf{a}_j = 0\right) \iff \bigwedge_{j=1}^k\mathbf{a}_j = 0

Sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Pour tout sous-espace vectoriel \mathcal{F} de \mathcal{V}, il peut être montré qu'il existe une lame A de grade r telle que r est la dimension de \mathcal{F} et telle que:

\forall \mathbf{x}\in\mathcal{V},\quad \mathbf{x}\in\mathcal{F}\iff \mathbf{x}\wedge A = 0

Toute lame A caractérise donc un sous-espace vectoriel qui est alors dit sous-tendu, engendré ou dirigé par A.

Identité de Jacobi[modifier | modifier le code]

A\times(B\times C) = (A\times B)\times C + B\times(A\times C)

Structures remarquables[modifier | modifier le code]

Algèbre associative[modifier | modifier le code]

Une algèbre géométrique est une algèbre associative[1].

Le critère de contraction impliquant que \mathbf{K}\subseteq\mathcal{G}, il n'est en outre pas difficile de se convaincre qu'une algèbre géométrique est aussi unitaire, l'élément neutre du produit géométrique coïncidant avec l'élément neutre de la multiplication dans le corps \mathbf{K}.

Espace quadratique[modifier | modifier le code]

Il a été vu plus haut que le produit intérieur de deux vecteurs est un scalaire. Puisqu'il est en outre distributif et symétrique, il constitue une forme quadratique sur \mathcal{V} et confère ainsi aux vecteurs de l'algèbre géométrique une structure quadratique naturelle.

Dans le cas défini précédemment comme Euclidien, il s'avère que le produit intérieur est en outre défini positif, et satisfait donc aux conditions nécessaires et suffisantes pour définir un produit scalaire, rendant ainsi la structure quadratique euclidienne, d'où le choix de l'appellation cas Euclidien. Il est facile de vérifier que dans ce cas les notions de norme et d'orthogonalité définies précédemment coïncident respectivement avec les notions de norme euclidienne et d'orthogonalité au sens euclidien.

Toujours dans le cas euclidien, il convient de vérifier que le produit intérieur de deux vecteurs coïncide avec le produit scalaire défini plus haut pour deux nombres orientés.

\langle \mathbf{a}\mathbf{b}^\dagger \rangle = 
\langle \mathbf{a}\mathbf{b}^\dagger \rangle_0 = 
\langle \mathbf{a}\mathbf{b} \rangle_0 = 
\langle \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} \rangle_0 = 
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

Les deux définitions sont donc bien consistantes.


\langle \mathbf{a}\mathbf{b}^\dagger \rangle = 
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

Algèbre extérieure[modifier | modifier le code]

Il peut être montré que le produit extérieur définit une structure d' algèbre extérieure sur \mathcal{V}[20].

\mathcal{G}^k=\wedge^k\mathcal{V}

Le vocabulaire de l'algèbre géométrique recoupe donc celui des algèbres extérieures. Par exemple, une lame de grade k est aussi appelée multivecteur de grade k, k-multivecteur ou encore k-vecteur.

La structure d'algèbre extérieure est responsable de la décomposition en somme directe mentionnée lors de la définition de la projection gradée:

\mathcal{G} = \bigoplus_k\mathcal{G}^k = \bigoplus_k\wedge^k\mathcal{V}

Le produit extérieur étant défini de façon unique par le produit géométrique, l'algèbre géométrique peut être identifiée à son algèbre extérieure:

\mathcal{G} = \wedge\mathcal{V}

Sous-algèbres complexes[modifier | modifier le code]

Il est facile de vérifier que le carré de tout bivecteur unitaire \mathbf{\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2} construit à partir de deux vecteurs de signatures identiques, est égal à -1:

\mathbf{e}_1^2\mathbf{e}_2^2 = 1 \implies
(\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2)^2 = -1

Dès lors, il n'est pas difficile de se convaincre que la sous-algèbre générée par le couple (1, \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2) est un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Cet isomorphisme justifie alors la notation:

i = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2

de telle sorte qu'on a:

i^2 = -1

Ce résultat peut en fait être généralisé à toutes les lames unitaires dont le carré est égal à -1. Elles génèrent chacune avec la lame unitaire de grade nul un corps isomorphe au corps des complexes. C'est par exemple le cas pour le pseudo-scalaire unitaire dans le cas Euclidien de dimension 3:

I^2 = -1

Une lame unitaire de grade un, c'est-à-dire un vecteur unitaire, peut aussi engendrer un corps isomorphe au corps des complexes. Il faut et suffit pour cela que sa signature soit négative. C'est notamment le cas lorsque la structure quadratique n'est pas Euclidienne, mais Lorentzienne.

Algèbre de Lie[modifier | modifier le code]

Il peut être montré que \mathcal{G}^2 est stable par l'action du produit commutateur. À ce titre, et compte tenu de l'identité de Jacobi, il forme une algèbre de Lie.

Inversibilité des vecteurs[modifier | modifier le code]

Une algèbre géométrique hérite de sa structure d'algèbre associative la notion d'inverse, et il s'avère que tout vecteur non nul de \mathcal{V} est inversible[21]:

\mathbf{a}^{-1} = \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{a}^2}

Ici la division par \mathbf{a}^2 a un sens compte tenu du critère de contraction.

Règle de deMorgan[modifier | modifier le code]

(A\vee B)^\sim = \widetilde{A}\wedge\widetilde{B}

Lien avec le produit vectoriel[modifier | modifier le code]

Le produit extérieur \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} n'est ni un scalaire, ni un vecteur : c'est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée. Bivecteur du produit intérieur.png

Bivecteurs unitaires[modifier | modifier le code]

Un bivecteur unitaire s est le produit géométrique de deux vecteurs orthonormés que l'on peut, sans perdre en généralité, considérer comme les deux premiers vecteurs d'une base orthonormée (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots):

s=\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2

L'orthonormalité de \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2 donne, entre autres:

s=
\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 =
\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 =
-\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 =
-\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1

Le caractère remarquable de s provient du fait que le produit géométrique par s laisse stable l'espace vectoriel généré par (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)), et défini même une transformation linéaire (ou plus précisément deux transformations linéaires, selon que la multiplication a lieu à droite ou à gauche), permettant ainsi une interprétation géométrique directe:

\begin{align}
(\alpha\mathbf{e}_1 + \beta\mathbf{e}_2)s = &
(\alpha\mathbf{e}_1^2)\mathbf{e}_2 & -(\beta\mathbf{e}_2^2)\mathbf{e}_1\\
s(\alpha\mathbf{e}_1 + \beta\mathbf{e}_2) = & 
(-\alpha\mathbf{e}_1^2)\mathbf{e}_2 & +(\beta\mathbf{e}_2^2)\mathbf{e}_1
\end{align}

Le point important ici étant que \mathbf{e}_1^2 et \mathbf{e}_2^2 sont scalaires du fait du critère de contraction.

Le carré de s est:

s^2=-\mathbf{e}_1^2\mathbf{e}_2^2

Il est nécessairement scalaire en tant que produit de deux scalaires. Il est négatif si \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2 ont la même signature, et positif dans le cas contraire. Le comportement algébrique (et géométrique dans le plan (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)) de s est radicalement différent dans les deux cas.

Cas de signatures identiques[modifier | modifier le code]

Lorsque \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2 ont la même signature, on a la propriété importante s^2= -\mathbf{e}_1^2\mathbf{e}_2^2 = -1, c'est-à-dire:

s^2= -1

s\, est donc une version géométrique de \sqrt{-1}, ce qui suggère d'utiliser dorénavant la lettre i au lieu de s dans cette section.

On aura également les relations suivantes (on considère ici \mathbf{e}_1^2 = \mathbf{e}_2^2 = 1, le cas \mathbf{e}_1^2 = \mathbf{e}_2^2 = -1 donnant un résultat analogue):

\begin{align}
i\mathbf{e_1} & = -\mathbf{e_2}\\
i\mathbf{e_2} & = \mathbf{e_1}
\end{align}
\begin{align}
\mathbf{e_1}i & = \mathbf{e_2}\\
\mathbf{e_2}i & = -\mathbf{e_1}
\end{align}

C'est-à-dire que la multiplication par i\, tourne toute combinaison linéaire de (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2) d'un quart de tour, dans un sens qui dépend de si la multiplication est effectuée à gauche ou à droite. On peut s'assurer du fait que la rotation est d'un quart de tour par exemple en remarquant que 4 est le plus petit entier k tel que i^k = 1.

Il n'est pas difficile de se convaincre que l'anneau engendré par les combinaisons linéaires du couple (1,i), est en fait un corps isomorphe au corps des complexes. On dispose dès lors de toutes les formules rencontrées couramment en arithmétique complexe, comme la formule d'Euler. C'est-à-dire que pour tout couple (c, s) de nombres réels tels que:

c^2 + s^2 = 1,

il existe un nombre réel \theta tel que:

c + is = e^{i\theta}

où l'exponentielle d'un nombre orienté est définie naturellement:

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

Inversement, pour tout nombre réel \theta, on peut définir deux fonctions, dites cosinus et sinus ainsi :

\begin{align}
\cos(\theta) = & \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\\
\sin(\theta) = & \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
\end{align}

Ces deux fonctions s'avèrent alors être à valeurs réelles et on a:

\cos(\theta)^2 + \sin(\theta)^2 = 1

ainsi que

\cos(\theta) + i\sin(\theta) = e^{\mathbf{i}\theta}

qui constitue l'exact équivalent de la formule d'Euler, déjà mentionnée.

Il importe bien de garder à l'esprit qu'ici i n'est pas, à proprement parler, l'unité imaginaire pure du corps des complexes. C'est un nombre orienté (en l'occurrence un bivecteur unitaire) qui, par isomorphisme, se comporte algébriquement de la même façon.

Cette structure isomorphe au corps des complexes n'a pour l'instant qu'un sens algébrique, puisqu'elle n'invoque aucun vecteur (elle invoque uniquement des combinaisons linéaires de scalaires et de bivecteurs). Une interprétation géométrique nécessite la multiplication des éléments de ce corps par un vecteur, ce qui pour l'instant n'a été abordé que dans le cas particulier où \theta = \pi/2, c'est-à-dire lorsque l'on multiplie par i à gauche ou à droite, obtenant le quart de tour. L'interprétation géométrique complète est discutée plus bas.

Cas de signatures différentes[modifier | modifier le code]

Lorsque \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2 ont une signature différente (admettons par exemple, pour fixer les idées, que \mathbf{e}_1^2 = 1 et \mathbf{e}_2^2 = -1), on a s^2= -\mathbf{e}_1^2\mathbf{e}_2^2 = 1, c'est-à-dire:

s^2 = 1

La multiplication par s intervertit \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2:

\mathbf{e}_1s = \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1^2 \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_2

\mathbf{e}_2s =
\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 =
-\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_1 =
-\mathbf{e}_2^2 \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_1

c'est-à-dire:

\begin{align}
\mathbf{e}_1s & = \mathbf{e}_2\\
\mathbf{e}_2s & = \mathbf{e}_1
\end{align}
\begin{align}
s\mathbf{e}_1 & = -\mathbf{e}_2\\
s\mathbf{e}_2 & = -\mathbf{e}_1
\end{align}

La multiplication par s agit donc dans le plan (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) comme une réflexion dont l'axe est l'une des bissectrices des droites dirigées par \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2, le choix de la bissectrice dépendant de si la multiplication a lieu à droite ou à gauche.

Le fait que s^2 = 1 est consistant avec le caractère involutif des réflexions.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Sauf mention contraire, on se limitera à partir d'ici au cas de signatures positives.

Cas de vecteurs unitaires[modifier | modifier le code]

Le produit géométrique d'une paire de vecteurs unitaires \mathbf{a},\mathbf{b},\,( |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1)\, génère un nombre orienté \mathbf{U} appelé tourneur[22].

\mathbf{U} = \mathbf{ab}

La direction relative des deux vecteurs est complètement caractérisée par l'arc orienté qui les relie, il est donc possible d'interpréter \mathbf{U} comme une représentation de cet arc. Le nom tourneur est justifié par le fait que \mathbf{U} transforme \mathbf{a} et \mathbf{b} l'un envers l'autre par rotation.

\mathbf{b}=\mathbf{a U}

\mathbf{a}=\mathbf{U b}

Dans une base orthonormée (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots) telle que

\mathbf{a} = \mathbf{e}_1

\mathbf{b} = \cos(\theta)\mathbf{e}_1 + \sin(\theta)\mathbf{e}_2

il vient :

\begin{align}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & = \cos(\theta)\\
\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} & = i\sin(\theta)
\end{align}

i est le bivecteur unitaire:

i = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 =
\frac{\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}}{\sin(\theta)} =
\frac{\mathbf{U} - \cos(\theta)}{\sin(\theta)}

Il est alors possible d'écrire  :

\mathbf{U} = \mathbf{U}_{\theta} =
\mathbf{ab} = 
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} =
\cos(\theta) + i\sin(\theta) = e^{i\theta}

C'est-à-dire:

\mathbf{U}_{\theta} = e^{i\theta}

Lorsqu'on multiplie (par exemple à gauche) ce tourneur par un vecteur \mathbf{x}(\phi) tel que:

\mathbf{x}(\phi) = 
\cos(\phi)\mathbf{e}_1 + \sin(\phi)\mathbf{e}_2

on obtient, par application des identités trigonométriques ainsi que des règles algébriques d'orthonormalité de \mathbf{e}_1 et \mathbf{e}_2:

\begin{align}\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\theta} & =
\mathbf{x}(\phi)e^{i\theta}\\
 & =
(\cos(\phi)\mathbf{e}_1 + \sin(\phi)\mathbf{e}_2)
(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\\
 & =
\cos(\phi)\mathbf{e}_1\cos(\theta) +
\sin(\phi)\mathbf{e}_2\cos(\theta) +
\cos(\phi)\mathbf{e}_1i\sin(\theta) +
\sin(\phi)\mathbf{e}_2i\sin(\theta)\\
 & =
(\cos(\phi)\cos(\theta) - \sin(\phi)\sin(\theta))\mathbf{e}_1 +
(\cos(\theta)\sin(\phi) + \cos(\phi)\sin(\theta))\mathbf{e}_2\\
 & =
\cos(\phi + \theta)\mathbf{e}_1 + \sin(\phi + \theta)\mathbf{e}_2\\
 & = \mathbf{x}(\phi + \theta)
\end{align}

Le vecteur \mathbf{x}(\phi) a donc bien « tourné » d'un angle \theta. Un calcul similaire montrerait qu'une multiplication à droite fait tourner \mathbf{x}(\phi) d'un angle -\theta.

En résumé:

\begin{align}
\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\theta} & = \mathbf{x}(\phi + \theta)\\
\mathbf{U}_{\theta}\mathbf{x}(\phi) & = \mathbf{x}(\phi - \theta)
\end{align}

Le produit géométrique de deux vecteurs unitaires représente donc bien une rotation.

Rotation geometrie Algebrique.png

Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.

Analogie entre tourneur et vecteurs.png

Une composition de rotation s'exprimera par le produit de deux tourneurs:

\mathbf{U}_{\theta}\mathbf{U}_{\varphi}=\mathbf{U}_{\theta+\varphi}

Composition de rotation.png

Il est utile d'observer que:

\mathbf{U}_{\varphi}\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\psi} = \mathbf{x}(\phi - \varphi  + \psi)

et que donc, pour \varphi = -\theta/2 et \psi = \theta/2:

\mathbf{U}_{-\frac{\theta}{2}}\mathbf{x}(\phi)\mathbf{U}_{\frac{\theta}{2}} = \mathbf{x}(\phi + \theta)

Ceci constitue la formulation dite canonique de la rotation d'angle \theta.

Cas général[modifier | modifier le code]

On considère désormais un couple de vecteurs (\mathbf{a},\mathbf{b}) non nécessairement unitaires, mais non nuls et non colinéaires. Les résultats précédents peuvent être généralisés en considérant le couple:

(\mathbf{\tilde{a}},\mathbf{\tilde{b}}) =
(\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|},\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|})

Il est facile de se convaincre que \mathbf{\tilde a} et \mathbf{\tilde b} sont, eux, unitaires, et ont les mêmes signatures que \mathbf{a} et \mathbf{b}. Ils sont aussi séparés par un même angle \theta, de telle sorte que le tourneur \mathbf{\tilde{a}}\mathbf{\tilde{b}} s'écrit:

\mathbf{\tilde{a}}\mathbf{\tilde{b}} = e^{i\theta}

i = \frac{\mathbf{\tilde a}\wedge\mathbf{\tilde b}}{\sin(\theta)}

Le produit géométrique peut donc s'écrire:

\mathbf{a}\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|e^{i\theta}

tandis que le bivecteur unitaire i peut s'écrire:

i = \frac{\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)}

Il a été vu précédemment que l'ensemble des nombres orientés générés par les combinaisons linéaires et produits géométriques de 1 et i forme un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Ceci justifie l'emploi d'un vocabulaire et de notations analogues.

Ainsi, si l'on note \mathbf{z}\, le produit \mathbf{a}\mathbf{b}, le scalaire

|\mathbf{z}| = |\mathbf{a}\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|

est ce qu'on appelle le module de \mathbf{z}. Il s'agit d'une notion très différente de la norme (ou magnitude) évoquée plus haut, car cette dernière n'est définie que pour les vecteurs, et \mathbf{z} n'est pas un vecteur.

Tout comme un nombre complexe peut être décomposé en une partie réelle et une partie imaginaire, un produit géométrique peut être décomposé en deux parties qui ne sont ni plus ni moins que les produits intérieur et extérieur, qu'on peut aussi appeler symétrique et antisymétrique, ou encore scalaire et bivectoriel.

\begin{align}
\mathbf{z} & = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} & + &\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\\
           & = |z|\cos(\theta) & + & |z|i\sin(\theta)
\end{align}

De la même façon, \theta peut être appelé argument de \mathbf{z}.

\mathbf{z} peut être interprété géométriquement comme l'arc orienté d'un cercle de rayon \mathbf{z}. Complexe et conjugué.png

Le conjugué de \mathbf{z} est le nombre orienté de même partie scalaire mais de composante bivectorielle opposée:

\mathbf{z}^{\dagger} =
(\mathbf{ab})^{\dagger} =
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} =
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} + \mathbf{b}\wedge\mathbf{a} =
\mathbf{ba}

Le conjugué d'un produit géométrique apparaît donc comme le produit géométrique effectué en ordre inverse:

(\mathbf{ab})^{\dagger} = \mathbf{ba}

Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du produit géométrique z.

|\mathbf{zz}^{\dagger}| =
|\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{b}\mathbf{a} | =
|\mathbf{a}^2\mathbf{b}^2| =
|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 =
|\mathbf{z}|^2

autrement dit:

|\mathbf{z}| = \sqrt{|\mathbf{zz}^{\dagger}|}

Les produits géométriques peuvent être utilisés directement sur les vecteurs :

\mathbf{b}=\mathbf{a}^{-1}z = z^{\dagger}\mathbf{a}^{-1}

avec l'inverse du vecteur \mathbf{a} donné par

\mathbf{a}^{-1} = \frac{1}{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{a}^2} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|^2}

Ici, le produit géométrique \mathbf{z} opère une rotation sur le vecteur \mathbf{a}, le met à l'échelle pour donner le vecteur \mathbf{b} (c'est une similitude).

Algèbre géométrique et physique classique[modifier | modifier le code]

Espace euclidien 3D et géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Soit l'espace vectoriel euclidien \mathcal{P}^3. Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique \mathcal{G}_3 = \mathcal{G}\left(\mathcal{P}^3\right). En particulier, une base pour l'algèbre géométrique peut être générée par l'ensemble des vecteur orthonormés \lbrace \mathbf{\sigma_1},\mathbf{\sigma_2}, \mathbf{\sigma_3}\rbrace

À l'aide du produit géométrique, un trivecteur unique (un pseudoscalaire) peut être défini :

i = \mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}

Éléments de l'algèbre géométrique.png

L'unité pseudoscalaire i représente un volume orienté.

On a également la base de bivecteurs suivante

\mathbf{\sigma_1} \mathbf{\sigma_2}=i\mathbf{\sigma_3},\, \mathbf{\sigma_2} \mathbf{\sigma_3}=i\mathbf{\sigma_1},\, \mathbf{\sigma_3} \mathbf{\sigma_1}=i\mathbf{\sigma_2}

Base des bivecteurs de l'Algèbre géométrique.png

Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.

Le pseudoscalaire i a des propriétés spéciales qui facilitent le passage entre l'espace vectoriel Euclidien et l'algèbre géométrique. On a :

i^2=-1

Tout bivecteur \mathbf{B} de \mathcal{G}_3 est le dual d'un vecteur \mathbf{b} en considérant la relation :

\mathbf{B}=i\mathbf{b} = \mathbf{b}i

Ainsi l'opération de dualité géométrique est simplement exprimée par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'écrire le produit extérieur sous cette forme :

\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = i \mathbf{a} \times \mathbf{b},

\mathbf{a} \times \mathbf{b} étant le "cross-product anglo-saxon", qui correspond au produit vectoriel dans la littérature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement noté \wedge\, comme le produit extérieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement défini comme le dual du produit extérieur. Par conséquent, la décomposition canonique du produit géométrique peut être mis sous la forme :

\mathbf{a}\mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{a} \times \mathbf{b}

C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.

Les éléments dans tous les algèbres géométrique sont dénommés des multivecteurs. Les propriétés spéciales du pseudoscalaire i permettent d'écrire tout multivecteur M de \mathcal{G}_3 dans sa forme étendue :

M = \alpha + \mathbf{a}+ i \mathbf{b}+i\beta,

\alpha et \beta sont des scalaires et où \mathbf{a} et \mathbf{b} sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans \mathcal{G}_3 à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.

L'algèbre géométrique \mathcal{G}_3 est un espace linéaire de dimension 1+3+3+1=2^3=8

La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un "scalaire complexe" \alpha + i\beta augmenté d'un "vecteur complexe" \mathbf{a}+ i \mathbf{b}, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

Correspondances[modifier | modifier le code]

Avec les quaternions[modifier | modifier le code]
Algèbre géométrique Quaternions Interprétation
1 1 scalaire
\sigma_2\sigma_3 -i plan orienté yz
\sigma_3\sigma_1 -j plan orienté zx
\sigma_1\sigma_2 -k plan orienté xy
Avec les biquaternions[modifier | modifier le code]
Algèbre géométrique Biquaternions Interprétation
1 1 scalaire
\sigma_1 i i ligne orientée (vecteur selon l'axe x)
\sigma_2 i j ligne orientée (vecteur selon l'axe y)
\sigma_3 i k ligne orientée (vecteur selon l'axe z)
\sigma_1\sigma_2 -k plan orienté xy (bivecteur)
\sigma_2\sigma_3 -i plan orienté yz (bivecteur)
\sigma_3\sigma_1 -j plan orienté zx (bivecteur)
\sigma_1\sigma_2\sigma_3 i volume orienté xyz (trivecteur)
Avec l'algèbre des matrices[modifier | modifier le code]

L'algèbre géométrique \mathcal{G}_3 est analogue à l'algèbre construite sur des matrice 2x2 à coefficients complexes. Cette algèbre se retrouve en Mécanique Quantique, introduite par Pauli, pour modéliser le spin des particules. Les matrices de base de cette algèbre sont l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

  • Pour les vecteurs :
\sigma_1 = \sigma_x =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}
\sigma_2 = \sigma_y =\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3 = \sigma_z =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}
  • Pour les bivecteurs :
\sigma_1\sigma_2 = \sigma_{xy} =\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & -i \end{pmatrix}
\sigma_2\sigma_3 = \sigma_{yz} =\begin{pmatrix}
0 & i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3\sigma_1 = \sigma_{zx} =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \end{pmatrix}
  • Pour les trivecteurs :

\sigma_1\sigma_2\sigma_3=\sigma_{xyz}=\begin{pmatrix}
i & 0 \\
0 & i \end{pmatrix}

  • Pour les scalaires :

\sigma_0=1=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}

Tout élément de \mathcal{G}_3 peut s'écrire comme une combinaison linéaire ces 8 éléments.

Discussion[modifier | modifier le code]

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique est défini en termes de produit vectoriel et produit scalaire de vecteurs comme

 \mathbf a \, \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b

L'espace vectoriel original \mathcal V est construit sur les nombres réels comme scalaires. Dorénavant, un vecteur est quelque chose dans \mathcal V lui-même. Les vecteurs seront représentés par des symboles en minuscules grasses.

La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.

Les objets géométriques comme  \mathbf a \wedge \mathbf b sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur  \mathbf a ou  \mathbf b est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté  B=\mathbf a \wedge \mathbf b est déterminé sans ambiguïté.

Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considérer un vecteur différent de zéro  \mathbf v , à partir d'un point choisi comme origine, dans l'espace euclidien usuel, \mathbb{R}^3. L'ensemble de tous les vecteurs  \mathbf x \wedge \mathbf v = B ,  B désignant un bivecteur donné contenant  \mathbf v , détermine une ligne  l parallèle à  \mathbf v . Puisque  B est une aire orientée,  l est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les vecteurs  \mathbf x \cdot \mathbf v = s ,  s désignant un scalaire (réel) donné, détermine un plan P orthogonal à  \mathbf v . De nouveau, P est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information,  B et  s , peuvent être établis indépendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le vecteur  \mathbf y qui satisfait le système { \mathbf y \wedge \mathbf v = B ,  \mathbf  y \cdot \mathbf v = s } ? Géométriquement, la réponse est claire : c'est le vecteur qui part de l'origine et aboutit à l'intersection de  l et P. Par l'algèbre géométrique, même la réponse algébrique est simple :  \mathbf y \mathbf  v = s + B  \Rightarrow  \mathbf y = (s + B)/ \mathbf v = (s + B) \mathbf v -1, où l'inverse d'un vecteur différent de zéro est exprimé par  \mathbf z -1  = \mathbf z /(\mathbf z \cdot \mathbf z ) .

Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur  s + B en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dépend pas de l'origine choisie.

Tel qu'il est défini, le produit externe (ou produit extérieur, ou produit vectoriel) \wedge engendre l'algèbre graduée (algèbre extérieure de Hermann Grassmann) \wedge^n\mathcal{V}_n des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'éléments de degré k (k-vecteurs), où k va de 0 (scalaires) à n, la dimension de l'espace vectoriel original \mathcal V. Les multivecteurs sont représentés ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs ("0-vecteurs" et "1-vecteurs", respectivement).

La règle de contraction[modifier | modifier le code]

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez \langle x, x \rangle \ge 0).

La règle de contraction peut être mise sous la forme :

Q(\mathbf a) = \mathbf a^2 = \epsilon_a {\Vert \mathbf a \Vert}^2

\Vert \mathbf a \Vert est le module du vecteur a et \epsilon_a=0, \, \pm1 est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via  \mathbb{R}_{1,3}\,. Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés "vecteurs de lumière", les vecteurs à signature négative sont appelés "vecteurs d'espace" et les vecteurs à signature positive sont appelés "vecteurs de temps" (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise \mathbb{R}_{3,1} à la place).

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur \mathbb{R}^3\,) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique \mathcal{G}_3\, comme le produit interne

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a})

(qui est symétrique) et le produit externe

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a})

avec

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -i(\mathbf{a}\wedge\mathbf{b})

(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de degré deux). Le i ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue i^2 = -1\,.

Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.

Soient \mathbf{a},\, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} un vecteur et un multivecteur homogène de degré k. Leur produit interne est alors :  \mathbf a \cdot \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} + (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k+1} \mathbf A_{\langle k \rangle} \cdot \mathbf{a} et leur produit externe est

 \mathbf a \wedge \mathbf A_{\langle k \rangle} = {1 \over 2} \, \left ( \mathbf a \, \mathbf A_{\langle k \rangle} - (-1)^{k+1} \, \mathbf{A}_{\langle k \rangle} \, \mathbf{a} \right ) = (-1)^{k} \mathbf A_{\langle k \rangle} \wedge \mathbf{a}

Applications de l'algèbre géométrique[modifier | modifier le code]

Un exemple utile est \mathbb{R}_{3, 1}, et la façon dont il engendre \mathcal{G}_{3, 1}, un exemple d'algèbre géométrique appelé algèbre de l'espace-temps par Hestenes. Le champ tensoriel électromagnétique, dans ce contexte, devient juste un bivecteur \mathbf{E} + i\mathbf{B} où l'unité imaginaire est l'élément de volume, donnant un exemple de réinterprétation géométrique de "tours" traditionnels.

Les accélérations dans cet espace métrique lorentzien ont la même expression e^{\mathbf{\beta}} que la rotation dans l'espace euclidien, où \mathbf{\beta} est bien sûr le bivecteur engendré par le temps et les directions d'espace impliquées, considérant dans le cas euclidien que c'est le bivecteur engendré par les deux directions d'espace, renforçant l'"analogie" de la quasi-identité.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'algèbre géométrique de David Hestenes (en) et al. (1984) réinterprète les algèbres de Clifford sur les réels et son objectif est de revenir au nom et à l'interprétation que Clifford avait originellement prévus. L'ouvrage d'Emil Artin Geometric Algebra discute des algèbres associées avec chacune des nombreuses géométries, dont la géométrie affine, la géométrie projective, la géométrie symplectique et la géométrie euclidienne.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Il devrat être possible de définir une algèbre géométrique comme un cas particulier d'algèbre associative, au lieu d'en faire un cas particulier d'espace vectoriel. En effet dans A Unified Language for Mathematics and Physics, David Hestenes écrit, page 5: « Les nombres dirigés sont définis implicitement en spécifiant les règles d'addition et de multiplication de vecteurs. En particulier, nous assumons que les vecteurs génèrent une algèbre associative dans laquelle le carré d'un vecteur est un scalaire. » Directed numbers are defined implicitly by specifying rules for adding and multiplying vectors. Specifically, we assume that the vectors generate an associative algebra in which the square of every vector is a scalar. Le problème avec une telle définition est qu'elle rendrait redondante la mention des critères d'associativité et de distributivité. Il est donc choisi dans cet article de définir l'algèbre géométrique comme un espace vectoriel muni d'une loi multiplicative, le caractère d'algèbre associative devenant une propriété et non un critère de définition.
  2. directed numbers, selon Hestenes.
  3. Dans A Unified Language for Mathematics and Physics, Hestenes écrit page 7: « Je suis tenté d'interdire complètement l'utilisation d'algèbres de Clifford complexes, parce que des scalaires imaginaires n'ont pas d'interprétation géométrique naturelle, et que leur propriétés algébriques existent déjà dans les algèbres de Clifford réelles. Cependant, il existe déjà une littérature considérable sur les algèbres de Clifford complexes, et elles présentent bel-et-bien certains avantages formels. » I am of half a mind to outlaw the Complex Clifford Algebras altogether, because the imaginary scalars do not have a natural geometric interpretation, and their algebraic features exist already in the real Clifford Algebras. However, there is already a considerable literature on complex Clifford Algebras, and they do have some formal advantages.
  4. a, b, c, d, e, f, g et h (en) New Algebraic Tools for Classical Geometry, David Hestenes, Alyn Rockwood
  5. Dans Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics, Hestenes déclare, page 15: « Les éléments de toute algèbre géométrique sont appelés multivecteurs » The elements in any geometric algebra are called multivectors
  6. blade
  7. frame
  8. L'indice haut ici ne représente pas l'exponentiation géométrique
  9. Cette notation ne doit pas être confondue avec le k-uple produit cartésien de \mathcal{G} sur elle-même. Pour désambiguïser il pourra être écrit (\mathcal{G})^k
  10. Parfois aussi appelé k-multivecteur
  11. versor
  12. commutator product
  13. Un anti-automorphisme d'algèbre est une application linéaire bijective f d'une algèbre vers elle même telle que pour tout couple M, N de l'algèbre, on a f(MN) = f(N)f(M). Voir l'article automorphisme pour la notion antagoniste
  14. L'existence de pseudo-scalaires unitaires n'est pas triviale. Dans le cas contraire \mathcal{V}^n est dit dégénéré. Dans cet article et sauf mention contraire, le cas non-dégénéré sera assumé.
  15. meet
  16. ectomorphisme a été choisi ici pour traduire le terme de Hestenes outermorphism. L'usage scientifique francophone privilégie en effet les racines grecques et latines pour la composition de mots nouveaux. Le prefixe grec ecto- qui signifie "extérieur" semble donc approprié pour traduire outer-.
  17. il est supposé ici et dans tout le reste de l'article que la caractéristique de \mathbf{K} est strictement supérieure à deux, c'est-à-dire que 2 est non nul et donc inversible.
  18. Si deux vecteurs \mathbf{a} et \mathbf{b} sont colinéaires, alors il existe un scalaire \lambda tel que \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Dès lors on a \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = \lambda\mathbf{a}\wedge\mathbf{a} = \lambda 0 = 0. Inversement, si \mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = 0, alors la décomposition canonique donne \mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}. En multipliant à droite par \mathbf{b}, il vient \mathbf{a}\mathbf{b}^2 = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{b} et donc (ignorant le cas dégénéré où \mathbf{b}^2 = 0) \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}^2}\mathbf{b}. Il reste alors à observer que \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}^2} est un scalaire en tant que quotient de deux scalaires. Il y a donc bien colinéarité.
  19. Il a été choisi de ne pas utiliser ici le symbole \parallel pour exprimer la colinéarité. En effet \parallel est utilisé pour exprimer le parallélisme, notion utilisée essentiellement en géométrie affine et qui, selon Euclide, désigne deux droites coplanaires qui ne se rencontrent pas lorsqu'elles sont prolongées de part et d'autre à l'infini. Il a été préféré le symbole \propto exprimant la proportionnalité
  20. David Hestenes relève cependant qu'il existe une certaine difficulté dans la notion d'algèbre extérieure (et donc d'algèbre de Clifford). Dans A Unified Language for Mathematics and Physics, il écrit en effet, page 7: « Ceci révèle un problème important dans la conception mathématique. Les algèbres de Clifford sont parfois définis en tant que certains idéaux dans une algèbre tensorielle. Il n'y a là rien de logiquement faux, mais je propose qu'une meilleure conception mathématique consiste à inverser le processus et introduire les tenseurs comme fonctions multinéaires définies sur les algèbres de Clifford ». This brings up an important issue in mathematical design. Clifford algebras are sometimes defined as certain ideals in tensor algebras. There is nothing logically wrong with this, but I submit that it is better mathematical design to reverse the process and introduce tensor as multilinear functions defined on Clifford algebras. Cette remarque justifie que dans cette section la justification de la structure extérieure se fait à l'aide du seul produit extérieur, et sans avoir recours à un idéal bilatère de l'algèbre tensorielle sur \mathcal{V}.
  21. En toute rigueur les vecteurs inversibles sont ceux de signature non nulle. Ce point semble être éludé dans la plupart des sources.
  22. le terme « tourneur » est ici choisi pour traduire le terme anglais rotor. Une alternative est « rotateur »

Références[modifier | modifier le code]