Opérateur (mathématiques)

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En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Article détaillé : Opérateur linéaire.

Définition d'un opérateur[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

O \ : \quad E \ \to \ F

Opérateur linéaire[modifier | modifier le code]

Par définition de la linéarité :

Un opérateur O : E \to F est linéaire si et seulement si :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2, \ \forall (x_1, x_2) \in E, \quad O( \lambda x_1 + \mu x_2) \ = \ \lambda O(x_1) + \mu O(x_2)

\mathbb{C} est le corps des scalaires de E et F.

Remarque[modifier | modifier le code]

Lorsque F = \mathbb{R}, un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)[modifier | modifier le code]

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Continuité[modifier | modifier le code]

Par définition de la continuité :

  • Soient O un opérateur de domaine D_0\subset E et à valeurs dans F, et x_0 \in D_O. L'opérateur O est dit continu en x_0 si et seulement si pour tout voisinage V de y_0 = O(x_0), il existe un voisinage U de x_0 tel que :
\forall x \, \in \, U\cap D_O \ , \quad O(x) \, \in \, V
  • L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points x_0 \in D_O de son domaine.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • T. Kato ; Perturbation Theory for Linear Operator, Serie : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (2e édition-1995), ISBN 3-540-58661-X.
  • B. Yosida ; Functionnal Analysis, Serie : Classics in Mathematics, Springer-Verlag (6e édition-1995), ISBN 3-540-58654-7.