Équations de Navier-Stokes

Léonard de Vinci : écoulement dans une fontaine

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides « newtoniens » (liquide et gaz ordinaires) dans l’approximation des milieux continus. La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase est difficile. La cohérence mathématique de ces équations non linéaires n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation de nombreux phénomènes, comme les courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'atmosphère pour les météorologistes, le comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et ingénieurs, ou encore celui des avions, trains ou voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, mais aussi le trivial écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.

Ces équations sont nommées ainsi pour honorer les travaux de deux scientifiques du XIX^e siècle, le mathématicien et ingénieur des Ponts, Henri Navier qui le premier a introduit la notion de viscosité dans les équations d'Euler en 1823, et le physicien George Gabriel Stokes qui a donné sa forme définitive à l'équation de conservation de la quantité de mouvement en 1845. Entre temps, divers scientifiques ont contribué à l'avancement du sujet : Augustin Louis Cauchy et Siméon Denis Poisson en 1829 et Adhémar Barré de Saint-Venant en 1843.

Pour un gaz peu dense, il est possible de trouver une solution approchée de l’équation de Boltzmann, décrivant le comportement statistique des particules dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Ainsi, la méthode de Chapman-Enskog due à Sydney Chapman et David Enskog en 1916 et 1917 permet de généraliser les équations de Navier-Stokes à un milieu comportant plusieurs espèces et de calculer l'expression des flux de masse (équations de Stefan-Maxwell incluant l'effet Soret), de quantité de mouvement (en donnant l'expression du tenseur de pression) et d'énergie en montrant l'existence de l'effet Dufour. Cette méthode permet également de calculer les coefficients de transport à partir des potentiels d'interaction moléculaires.

La résolution mathématiquement rigoureuse des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire.

Cet article décrit diverses variantes des équations valables pour des milieux de composition homogène, les problèmes liés à la diffusion et aux réactions chimiques n'y sont pas abordés.

Lois de conservation

Notations et relations utilisées

On utilise les notations conformes à la norme ISO 80000-2

• $\mathbf {\nabla }$ est l'opérateur nabla.
• $\mathbf {\nabla } \cdot$ est l'opérateur divergence.
• Le produit dyadique de deux vecteurs s'écrit

$\mathrm {T} =\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \times \mathbf {B} ^{T}$

où $\times$ est le produit matriciel.

• Le produit doublement contracté  : est l'opérateur défini par :

$\alpha ={\mathsf {T}}_{1}:{\mathsf {T}}_{2}={\textrm {Tr}}({\mathsf {T}}_{1}\cdot {\mathsf {T}}_{2}^{T})$

où Tr représente l'opérateur trace.

Quelques identités vectorielles utiles pour cet article :

${\begin{array}{rcl}\mathbf {\nabla } \cdot (\alpha \,{\mathsf {T}}\,)&=&\mathbf {\nabla } \alpha \cdot {\mathsf {T}}\,+(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathsf {T}}\,)\,\alpha \\[0.2em]\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=&(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\,\mathbf {B} +\mathbf {B} \,(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} )\\[0.2em]\end{array}}$

Loi de conservation

On peut définir une loi de conservation pour une variable conservative (extensive) $\phi$ entraînée à la vitesse $\mathbf {V}$ en utilisant le théorème de transport de Reynolds sur un domaine de contrôle ${\mathcal {V}}$ d'enveloppe $\partial {\mathcal {V}}$ sur laquelle on définit la normale sortante $\mathbf {n}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\phi \ d{\mathcal {V}}+\int _{\partial {\mathcal {V}}}\phi \mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \ dA+\int _{\mathcal {V}}S\ d{\mathcal {V}}=0$

Cette équation de bilan dit que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égal à ce qui sort ou ce qui rentre (deuxième terme) plus ce qui est créé ou disparaît dans le volume au travers du terme S.

En appliquant le théorème de flux-divergence le terme surfacique est transformé en un terme volumique :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\phi \ dV+\int _{\mathcal {V}}\nabla \cdot (\phi \mathbf {V} )\ d{\mathcal {V}}+\int _{\mathcal {V}}S\ d{\mathcal {V}}=0$

et par application de la règle de Leibniz

$\int _{\mathcal {V}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\ d{\mathcal {V}}+\int _{\mathcal {V}}\nabla \cdot (\phi \mathbf {V} )\ d{\mathcal {V}}+\int _{\mathcal {V}}S\ d{\mathcal {V}}=0\qquad \Rightarrow \qquad \int _{\mathcal {V}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\phi \mathbf {V} )+S\ \right)d{\mathcal {V}}=0$

Cette expression est valide quel que soit le volume de référence. Elle implique donc que l'intégrande soit nul :

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\phi \mathbf {V} )+S=0$

Formulation eulérienne

La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.

On obtient le système de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique $\rho$, à la quantité de mouvement $\rho \mathbf {V}$ et à l'énergie totale $\rho E$.

• Équation de continuité (équation de bilan de la masse)

  ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot (\rho \mathbf {V} )=0$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

  ${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \left(\rho \mathbf {V} \right)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \mathbf {V} \mathbf {V} \right)&=&\mathbf {\nabla } \cdot {\mathsf {P}}+\rho \mathbf {g} \\[0.5em]&=&-\mathbf {\nabla } p+\mathbf {\nabla } \cdot {\mathsf {\Sigma }}+\rho \mathbf {g} \end{array}}$

• Équation de bilan de l'énergie

  ${\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot (\rho E\mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } \cdot \left({\mathsf {P}}\cdot \mathbf {V} \right)+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {V} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{R}$

Dans ces équations :

• $t$ représente le temps (unité SI : s) ;
• $\rho$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI :kg m⁻³) ;
• $\mathbf {V}$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI :m s⁻¹) ;
• ${\mathsf {P}}$ est le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en :

${\mathsf {P}}={\mathsf {\Sigma }}-p{\mathsf {I}}$

• ${\mathsf {\Sigma }}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI :Pa) ;
• ${\mathsf {I}}$ le tenseur unité ;
• $p$ désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ;
• $\mathbf {g} (\mathbf {x} ,t)$ est la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI :m s⁻²) ;
• $E$ est l'énergie totale par unité de masse (unité SI :J kg⁻¹) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne e par :

$E=e+{\frac {V^{2}}{2}}$

• $\mathbf {q}$ est le flux de chaleur (unité SI :J m⁻² s⁻¹). Il est donné par la loi de Fourier :

$\mathbf {q} =-\lambda \,\mathbf {\nabla } T$

• $\lambda$ désigne la conductivité thermique du fluide (unité SI : W K⁻¹ m⁻¹) ;
• $T$ est la température (unité SI : K) ;
• $\mathbf {q} _{R}$ représente le flux de chaleur du au rayonnement. Ce terme résulte en général d'un calcul de transfert radiatif, lequel peut être aussi complexe que la résolution des équations de Navier-Stokes elles-mêmes.

Quelques variations autour du système d'équations

• On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que :

${\frac {\partial \left(\rho \mathbf {V} \right)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \mathbf {V} \mathbf {V} \right)=\rho \left[{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} \right]$

Démonstration

${\begin{array}{rcll}{\frac {\partial \left(\rho \mathbf {V} \right)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \mathbf {V} \mathbf {V} \right)&=&\mathbf {V} \,{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \,{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {V} (\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \rho )+\rho (\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} +\rho \mathbf {V} \,(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )&{\text{Développement}}\\[0.5em]&=&\rho \left[{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} \right]+\mathbf {V} \left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \rho +\rho \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \right]&{\text{Regroupement des termes}}\\[0.5em]&=&\rho \left[{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} \right]+\mathbf {V} {\cancelto {0}{\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot (\rho \mathbf {V} )\right]}}&{\text{Simplification}}\end{array}}$

• Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression :

${\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot [(\rho E+p)\mathbf {V} ]=\mathbf {\nabla } \cdot \left({\mathsf {\Sigma }}\cdot \mathbf {V} \right)+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {V} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} +\mathbf {q} _{R}$

Le terme $\rho E+p$ peut être remplacé par $\rho \left(h+{\frac {V^{2}}{2}}\right)$ où $h=e+{\frac {p}{\rho }}$ est l'enthalpie massique.

• En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique :

$\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {V^{2}}{2}}\right)+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \left({\frac {V^{2}}{2}}\right)\right]=(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathsf {P}})\cdot \mathbf {V} +\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {V}$

• En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie dans sa première version et en utilisant l'identité

$\nabla \cdot ({\mathsf {P}}\cdot \mathbf {V} )-(\nabla \cdot {\mathsf {P}})\cdot \mathbf {V} ={\mathsf {P}}:\nabla \mathbf {V}$

on obtient une équation sur le couple température-pression :

$\rho C_{P}\left({\dfrac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T\right)-\left({\dfrac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } p\right)={\mathsf {\Sigma }}:\mathbf {\nabla } \mathbf {V} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{R}$

où $C_{P}$ est la capacité thermique massique à pression constante reliée à l'enthalpie par :

$C_{P}=\left.{\frac {\partial h}{\partial T}}\right|_{p}$

Formulation lagrangienne

Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté $\xi$. L'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire :

${\frac {\mathrm {D} \mathbf {\phi } }{\mathrm {D} t}}\,:=\left.{\frac {\partial \mathbf {\phi } }{\partial t}}\right|_{\xi }=\left.{\frac {\partial \mathbf {\phi } }{\partial t}}\right|_{x}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \mathbf {\phi }$

Le dernier terme de cette équation est le terme d'advection de la quantité $\phi$. Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Pour la quantité de mouvement la dérivée particulaire vaut :

${\begin{array}{rcl}{\frac {\mathrm {D} (\rho \mathbf {V} )}{\mathrm {D} t}}=\left.{\frac {\partial (\rho \mathbf {V} )}{\partial t}}\right|_{\xi }&=&\left.{\frac {\partial (\rho \mathbf {V} )}{\partial t}}\right|_{x}+\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \right)(\rho \mathbf {V} )\\[0.8em]&=&\left.{\frac {\partial (\rho \mathbf {V} )}{\partial t}}\right|_{x}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \mathbf {V} \mathbf {V} \right)-\rho \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \right)\mathbf {V} \end{array}}$

Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par ${\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}=\mathbf {V}$ s'écrivent :

• Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)

  ${\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

  $\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {V} }{\mathrm {D} t}}=-\mathbf {\nabla } p+\mathbf {\nabla } \cdot {\mathsf {\Sigma }}+\rho \mathbf {g}$

• Équation de bilan de l'énergie

  ${\frac {\mathrm {D} (\rho E)}{\mathrm {D} t}}+\rho E\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =\mathbf {\nabla } \cdot \left({\mathsf {P}}\cdot \mathbf {V} \right)+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {V} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} +\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{R}$

Illustrations des méthodes

• 
  Calcul d'aérodynamique supersonique en variables eulériennes.
• 
  Calcul d'un jet astrophysique en variables lagrangiennes.

Fluide newtonien, hypothèse de Stokes

En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse du fluide newtonien)

${\mathsf {P}}=\mu \left[\,\mathbf {\nabla } \mathbf {V} +(\mathbf {\nabla } \mathbf {V} \,)^{T}\right]+\mu '(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \,)\;{\mathsf {I}}$

• $\mu$ désigne la viscosité dynamique du fluide (unité SI : Pa s) ;
• $\mu '$ désigne la seconde viscosité (ou viscosité volumique, en anglais "volume viscosity") du fluide (unité SI : Pa s) ;

On utilise généralement l'hypothèse de Stokes pour relier la viscosité dynamique à la seconde viscosité :

$\mu +{\frac {2}{3}}\mu '=0$

Cette hypothèse est vraie pour les gaz monoatomiques. Elle constitue une bonne approximation pour des fluides simples comme l'eau et l'air. A contrario de nombreux fluides complexes, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas ces hypothèses : on recourt alors à d'autres lois de comportement visqueux, dites non newtoniennes (par exemple la loi du fluide de Bingham). La science qui étudie les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides est la rhéologie.

Compte tenu de l'expression du tenseur des contraintes visqueuses l'équation de quantité de mouvement se met sous la forme :

$\rho \left[{\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {V} \right]=-\mathbf {\nabla } p+\mathbf {\nabla } \cdot \left\{\mu \left[\mathbf {\nabla } \mathbf {V} +(\mathbf {\nabla } \mathbf {V} \,)^{T}-{\frac {2}{3}}(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )\,{\mathsf {I}}\,\right]\right\}+\rho \,\mathbf {g}$

Expressions détaillées

En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations.

Expressions des équations en compressible dans divers systèmes de coordonnées

Expression en coordonnées cartésiennes

${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\rho V_{i})&=&0\\[0.5em]{\frac {\partial \left(\rho V_{j}\right)}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\rho V_{i}V_{j}\right)&=&-{\frac {\partial p}{\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{i}}}+\rho f_{j}\\[0.5em]{\frac {\partial \left(\rho e\right)}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\left(\rho e+p\right)V_{i}\right]&=&\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\sigma _{ij}V_{j}\right)+\sum _{i=1}^{3}\rho f_{i}v_{i}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial x_{i}}}+r\end{array}}$

Expression en coordonnées cylindriques

${\displaystyle }$

Expression en coordonnées sphériques

${\displaystyle }$

 

Propriétés thermodynamiques

Le système décrit ci-dessus est incomplet puisqu'il comporte 3 équations (dont une vectorielle) pour 4 inconnues (dont une vectorielle) : $\rho ,\mathbf {V} ,\,p,\,T$. On ajoute pour fermer le système une équation d'état du fluide, de la forme

$f(p,\rho ,T)=0\,$

Pour un gaz parfait, cette équation d'état s'écrit

$p=\rho {\frac {R}{M}}T$

où $R$ désigne la constante des gaz parfaits et $M$ la masse molaire du fluide.

Propriétés de transport

Viscosité et conductivité de l'air à pression normale.

Viscosité et conductivité de l'eau jusqu'au point critique.

Gaz

On sait exprimer la viscosité d'un gaz en utilisant la méthode de Chapman-Enskog. Cette quantité s'exprime sous la forme suivante :

$\mu =\alpha {\frac {\sqrt {MT}}{f(T)}}$

où f(T) est une fonction lentement variable avec T, découlant du potentiel d'interaction moléculaire. La viscosité d'un gaz varie donc approximativement comme ${\sqrt {T}}$. Elle est indépendante de la pression.

La conductivité est étroitement liée à la viscosité :

${\frac {\lambda }{\mu }}=\left\{{\begin{array}{lcr}{\frac {5}{2}}C_{\mathcal {V}}\\[0.5em]C_{\mathcal {V}}+{\frac {15-6\chi }{4}}{\frac {R}{M}}\end{array}}\right.$	pour un gaz monoatomique
	pour un gaz polyatomique

où $C_{\mathcal {V}}=\left.{\frac {\partial e}{\partial T}}\right|_{\mathcal {V}}$ est la capacité thermique massique à volume constant. Dans cette expression $\chi =1$ correspond à la corrélation d'Eucken. La valeur exacte est plus proche de 1.3 en moyenne. Des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires permettent de préciser cette valeur, dépendante du gaz considéré et faiblement de la température.

Liquides

La connaissance théorique pour les liquides est beaucoup moins avancée que pour les gaz et les prédictions dans ce domaine qualitatives : la viscosité diminue avec la température. La connaissance des valeurs repose sur les mesures.

La variation de la conductivité avec la température ne présente pas de tendance marquée.

Restrictions à des cas plus simples

Fluides incompressibles à viscosité constante

L'écoulement d'un fluide est dit incompressible lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique. Cette hypothèse est vérifiée pour l'eau liquide et les métaux en fusion. Elle est aussi vérifiée pour les gaz lorsque le nombre de Mach ${\mathcal {M}}a$ est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque ${\mathcal {M}}a<0.3$. De plus ce type de problème se rencontre dans des situations où la variation de température dans le milieu est faible et où l'on peut donc considérer la viscosité constante. Ceci est particulièrement vrai dans des liquides comme l'eau (voir courbe ci-dessus). De ce fait l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

• Équation de continuité appelée alors équation d'incompressibilité

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

${\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g}$

où $\nu ={\tfrac {\mu }{\rho }}$ désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI : m²⋅s⁻¹).

Cette forme plus simple des équations de Navier-Stokes permet d'obtenir des solutions analytiques dans quelques cas :

• dans un tube cylindrique avec une différence de pression entre l'entrée et la sortie (écoulement de Poiseuille),
• entre deux plans dont l'un est en mouvement permanent par rapport à l'autre (écoulement de Couette),
• le tourbillon de Taylor-Green utilisé pour les benchmarks de méthodes de résolution numérique,
• le tourbillon de Lamb-Oseen.

Il existe quelques autres exemples de solutions analytiques.

En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions.

Expressions des équations en incompressible dans divers systèmes de coordonnées

Expression en coordonnées cartésiennes

${\begin{array}{rcl}{\partial V_{x} \over \partial x}+{\partial V_{y} \over \partial y}+{\partial V_{z} \over \partial z}&=&0\\[0.5em]{\frac {\partial V_{x}}{\partial t}}+V_{x}{\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+V_{y}{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}+V_{z}{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}&=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}V_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x}\\[0.5em]{\frac {\partial V_{y}}{\partial t}}+V_{x}{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}+V_{y}{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+V_{z}{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}&=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}V_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+f_{y}\\[0.5em]{\frac {\partial V_{z}}{\partial t}}+V_{x}{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}+V_{y}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}+V_{z}{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}&=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+f_{z}\end{array}}$

Expression en coordonnées cylindriques

${\begin{array}{rcl}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rV_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}&=&0\\[0.5em]{\frac {\partial V_{r}}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{r}}{\partial r}}+{\frac {V_{\phi }}{r}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \phi }}+V_{z}{\frac {\partial V_{r}}{\partial z}}-{\frac {V_{\phi }^{2}}{r}}&=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V_{r}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {V_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}\right]+f_{r}\\[0.5em]{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {V_{\phi }}{r}}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}+V_{z}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {V_{r}V_{\phi }}{r}}&=&-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{\phi }}{\partial z^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {V_{\phi }}{r^{2}}}\right]+f_{\phi }\\[0.5em]{\frac {\partial V_{z}}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{z}}{\partial r}}+{\frac {V_{\phi }}{r}}{\frac {\partial V_{z}}{\partial \phi }}+V_{z}{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}&=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+f_{z}\end{array}}$

Expression en coordonnées sphériques

${\begin{array}{rcl}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}V_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,V_{\theta }\right)&=&0\\[0.5em]{\frac {\partial V_{r}}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{r}}{\partial r}}+{\frac {V_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {V_{\theta }}{r}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {V_{\phi }^{2}+V_{\theta }^{2}}{r}}&=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+f_{r}+\nu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial V_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}V_{r}}{\partial \phi ^{2}}}\right.\\[0.5em]&&\left.+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial V_{r}}{\partial \theta }}\right)-{\frac {2}{r^{2}}}\left(V_{r}+{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {V_{\theta }}{\tan \theta }}\right)-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}\right]\\[0.5em]{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial r}}+{\frac {V_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial \phi }}+{\frac {V_{\theta }}{r}}{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {V_{r}V_{\theta }-V_{\phi }^{2}\cot \theta }{r}}&=&-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+f_{\theta }+\nu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}V_{\theta }}{\partial \phi ^{2}}}\right.\\[0.5em]&&\left.+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial V_{\theta }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left(V_{\theta }+2\cos \theta \,{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}\right)\right]\\[0.5em]{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {V_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {V_{\theta }}{r}}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \theta }}+{\frac {Vu_{r}V_{\phi }+V_{\phi }V_{\theta }\cot \theta }{r}}&=&-{\frac {1}{\rho r\sin \theta }}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+f_{\phi }+\nu \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial V_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}V_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}\right.\\[0.5em]&&\left.+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial V_{\phi }}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left(2\sin \theta {\frac {\partial V_{r}}{\partial \phi }}+2\cos \theta \,{\frac {\partial V_{\theta }}{\partial \phi }}-V_{\phi }\right)\right]\end{array}}$

 

On peut encore simplifier ces équations :

• en négligeant le terme inertiel $\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)$, ce qui conduit à l'équation de Stokes,
• simplifier celui-ci, ce qui conduit aux équations de Stokes-Oseen.

Écoulements irrotationnels

On définit le vecteur tourbillon par :

$\mathbf {\Omega } ={\frac {1}{2}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V}$

À partir des identités vectorielles suivantes

${\begin{array}{rcl}(\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {V} &=&(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )\times \mathbf {V} +\mathbf {\nabla } V\,\mathbf {V} \\[0.5em]\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )&=&\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V} \end{array}}$

et en utilisant l'équation de continuité on peut écrire l'équation de quantité de mouvement sous la forme suivante :

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\Omega \times \mathbf {V} +\mathbf {\nabla } V\,\mathbf {V} \right)=-\mathbf {\nabla } p+\rho \,\mathbf {g} +\mu \left({\frac {4}{3}}\,\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \mathbf {V} -\mathbf {\nabla } \times \Omega \right)$

Supposons que le vecteur tourbillon soit nul, alors :

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } V\,\mathbf {V} \right)=-\mathbf {\nabla } p+\rho \,\mathbf {g} +{\frac {4}{3}}\,\mu \mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \mathbf {V}$

À partir de l'identité $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \phi =0,~\forall \phi$ on peut déduire que la vitesse dérive d'un potentiel que l'on note $\psi$

$\mathbf {V} =\mathbf {\nabla } \psi$

En particulier dans le cas incompressible si on reporte cette expression dans l'équation de conservation de la masse on voit que le potentiel obéit à l'équation de Laplace :

$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi =0$

Ces écoulements potentiels concernent les écoulements à faibles vitesses et peu visqueux : une voile de bateau ou une aile de planeur par exemple.

Analyse dimensionnelle

Les équations de Navier-Stokes font intervenir 9 quantités $\rho ,\mathbf {V} ,p,e,T,\mu ,\lambda ,\mathbf {g} ,\mathbf {q} _{R}$ et 4 dimensions : temps, espace, masse, température. Le théorème de Vaschy-Buckingham montre donc l'existence de 5 variables adimensionnelles permettant l'analyse du système. Ces variables sont par exemple les nombres de Mach, Reynolds, Prandtl, Froude et Goulard. Il existe d'autres variables comme les nombres de Knudsen, de Strouhal, de Péclet ou beaucoup d'autres, mais celles-ci ne sont pas indépendantes. Les nombres de Mach, Reynolds et Knudsen par exemple sont liés entre eux, de même que les nombres de Péclet, Prandtl et Reynolds. Pour écrire ces nombres il faut définir des quantités de référence qui sont caractéristiques du problème étudié. Définissons les variables suivantes servant de références :

• une longueur $L^{*}$, par exemple la taille du domaine ouvert dans un problème de milieu poreux ou de microfluidique ou le rayon de courbure de paroi en aérodynamique,
• une vitesse $V^{*}$, une masse volumique $\rho ^{*}$ et une température $T^{*}$, par exemple les valeurs en amont (condition aux limites), d'où on déduit une pression $p^{*}=\rho ^{*}{\frac {R}{M}}T^{*}$,
• une seconde vitesse $a^{*}$ pour la propagation des ondes sonores, par exemple $a^{*}={\sqrt {\gamma ^{*}{\frac {R}{M}}T^{*}}}$ pour un gaz parfait,
• une énergie interne $e^{*}$, par exemple $e^{*}={\frac {p^{*}}{(\gamma ^{*}-1)\rho ^{*}}}={\frac {{a^{*}}^{2}}{\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)}}$ pour un gaz parfait,
• une viscosité $\mu ^{*}$ et une conductivité $\lambda ^{*}$ éventuellement liée à $\mu ^{*}$ (voir propriétés de transport),
• une accélération $g^{*}$,
• un flux radiatif $q_{R}^{*}$.

On peut alors définir pour ce problème les variables réduites suivantes :

- espace	${\tilde {\mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} }{L^{*}}}$			- temps	${\tilde {t}}={\frac {V^{*}}{L^{*}}}\,t$		- masse volumique	${\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho ^{*}}}$		- pression	${\tilde {p}}={\frac {p}{\rho ^{*}{a^{*}}^{2}}}$
- viscosité	${\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu ^{*}}}$			- énergie interne	${\tilde {e}}={\frac {e}{e^{*}}}$		- flux radiatif	${\tilde {\mathbf {q} }}_{R}={\frac {\mathbf {q} _{R}}{q_{R}^{*}}}$

et les variables adimensionnelles :

- le nombre de Mach	${\mathcal {M}}a={\frac {V^{*}}{a^{*}}}$
- le nombre de Reynolds	${\mathcal {R}}e={\frac {\rho ^{*}V^{*}L^{*}}{\mu ^{*}}}$
- le nombre de Prandtl	${\mathcal {P}}r={\frac {\mu ^{*}C_{P}^{*}}{\lambda ^{*}}}$
- le nombre de Froude	${\mathcal {F}}r={\frac {{V^{*}}^{2}}{g^{*}L^{*}}}$
- le nombre de Goulard	${\mathcal {G}}={\frac {2q_{R}^{*}}{\rho ^{*}{V^{*}}^{3}}}$

Le système d'équations en valeurs réduites s'écrit :

• conservation de la masse

${\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\rho }}\,{\tilde {\mathbf {V} }})=0$

où $\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}=L^{*}\mathbf {\nabla }$ est l'opérateur nabla adimensionné utilisé dans le système de coordonnées transformé.

• conservation de la quantité de mouvement

${\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}({\tilde {\rho }}{\tilde {\mathbf {V} }})+\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\rho }}\,{\tilde {\mathbf {V} }}{\tilde {\mathbf {V} }})=-{\frac {1}{\gamma ^{*}{\mathcal {M}}a^{2}}}\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}+{\frac {1}{{\mathcal {R}}e}}\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathsf {\Sigma }}}+{\frac {1}{{\mathcal {F}}r}}\,{\tilde {\rho }}\,{\tilde {\mathbf {g} }}$

${\tilde {\mathsf {\Sigma }}}={\tilde {\mu }}\left[\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}{\tilde {\mathbf {V} }}+(\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}{\tilde {\mathbf {V} }})^{T}-{\frac {2}{3}}(\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}{\tilde {\mathbf {V} }})\,{\mathsf {I}}\right]$

• conservation de l'énergie

${\frac {\partial ({\tilde {\rho }}{\tilde {E}})}{\partial {\tilde {t}}}}+\nabla _{\tilde {x}}\cdot \left[\left({\tilde {\rho }}{\tilde {E}}+{\tilde {p}}\right){\tilde {\mathbf {V} }}\right]={\frac {{\mathcal {M}}a^{2}}{{\mathcal {R}}e}}\nabla _{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\Sigma }}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }})\,+\,{\frac {{\mathcal {M}}a^{2}}{{\mathcal {F}}r}}\,{\tilde {\rho }}\,{\tilde {\mathbf {g} }}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}\,-\,{\frac {1}{(\gamma ^{*}-1){\mathcal {R}}e\,{\mathcal {P}}r}}\nabla _{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\lambda }}\,{\tilde {\nabla }}_{\tilde {x}}\,{\tilde {T}})\,+\,{\frac {1}{2}}{\mathcal {G}}{\mathcal {M}}a^{2}\nabla _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {q} }}_{R}$

avec

${\tilde {E}}={\frac {e^{*}}{{a^{*}}^{2}}}\,{\tilde {e}}+{\mathcal {M}}a^{2}{\frac {{\tilde {V}}^{2}}{2}}$

Dans le cas d'un gaz parfait

${\frac {e^{*}}{{a^{*}}^{2}}}={\frac {1}{\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)}}$

Cette approche est utilisable pour l'analyse des équations et la réalisation d'expériences jugées réalistes parce que respectant le critère d'analogie en termes de nombres adimensionnels. On peut aller au-delà en utilisant une technique de la physique mathématique nommée analyse asymptotique, formalisée par David Hilbert. Dans cette méthode on développe la solution en série d'un "petit paramètre" et on analyse les approximations aux divers ordres du développement. Un exemple en est le développement en nombre de Mach montré ci-dessous. Un autre exemple très connu est le développement en nombre de Reynolds utilisé pour la couche limite.

Écoulements à faible nombre de Mach

Cette approche est utilisée dans les problèmes de combustion dans lesquels les vitesses sont faibles.

Les quantités manipulées sont supposées régulières. Le développement asymptotique commence par le choix du "petit paramètre" avec lequel chacune des variables est développée. Ici ce paramètre est $\epsilon =\gamma ^{*}{\mathcal {M}}a^{2}$ :

${\tilde {\alpha }}={\tilde {\alpha }}_{0}+\epsilon \,{\tilde {\alpha }}_{1}+\epsilon ^{2}\,{\tilde {\alpha }}_{2}+...$

où $\alpha$ représente chacune des valeurs $\rho ,\mathbf {V} ,T,p$. On regroupe les termes correspondants au même ordre du développement. Ceux-ci sont égaux puisque les équations sont vraies $\forall \epsilon$.

Développements

Par la suite on suppose valide l'hypothèse du gaz parfait.

• à l'ordre -1

Un seul terme en $\epsilon ^{-1}$ apparaît, et cela dans l'équation de quantité de mouvement :

$\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}^{(0)}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\tilde {p}}^{(0)}=f({\tilde {t}})$

• à l'ordre 0

Équation de continuité

${\frac {\partial {\tilde {\rho }}^{(0)}}{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\rho }}^{(0)}\,{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)})=0$

Équation de quantité de mouvement :

${\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}({\tilde {\rho }}^{(0)}{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)})+\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot ({\tilde {\rho }}^{(0)}{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)}{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)})=-\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\,{\tilde {p}}^{(1)}+{\frac {1}{{\mathcal {R}}e}}\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathsf {\Sigma }}}^{(0)}+{\frac {1}{{\mathcal {F}}r}}\,{\tilde {\rho }}^{(0)}\,{\tilde {\mathbf {g} }}^{(0)}$

avec

${\tilde {\mathsf {\Sigma }}}^{(0)}=\mu \left[\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)}+(\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)})^{T}-{\frac {2}{3}}(\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}{\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)})\,{\mathsf {I}}\right]$

Pour la conservation de l'énergie, compte tenu de

${\tilde {\rho }}^{(0)}{\tilde {E}}^{(0)}={\frac {1}{\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)}}{\tilde {\rho }}^{(0)}{\tilde {e}}^{(0)}={\frac {{\tilde {p}}^{(0)}}{\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)^{2}}}$

on obtient :

${\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}^{(0)}}{\mathrm {d} {\tilde {t}}}}+\left[\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)^{2}\right]{\tilde {p}}^{(0)}\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}^{(0)}=-\,{\frac {\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)}{{\mathcal {R}}e\,{\mathcal {P}}r}}\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot (\lambda \,\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\,{\tilde {T}}^{(0)})$

 

Si l'on s'arrête à l'ordre 0, après retour aux quantités dimensionnées on obtient les équations suivantes :

${\begin{array}{rcl}p&=&f(t)\\[0.3em]{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot (\rho \mathbf {V} )&=&0\\[0.3em]{\frac {\partial \left(\rho \mathbf {V} \right)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\rho \mathbf {V} \mathbf {V} \right)&=&-\mathbf {\nabla } p_{1}+\mathbf {\nabla } \cdot {\mathsf {\Sigma }}+\rho \mathbf {g} \\[0.4em]{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+p\nabla \cdot \mathbf {V} &=&-\nabla \cdot (\lambda \,\nabla T)\end{array}}$

L'équation d'état est écrite en utilisant l'ordre 0 de la pression, l'ordre 1 ("pression dynamique") étant une quantité en $O({\mathcal {M}}a^{2})$ donc négligeable. Ceci a pour effet de supprimer le couplage entre masse volumique et ondes de pression.

On remarque que l'on a un système de 4 équations (dont une vectorielle) avec l'équation d'état pour 5 inconnues (dont une vectorielle) : $\rho$, $\mathbf {V}$, $T$,$p$ et $p_{1}$. On ferme le système avec une équation concernant la pression (qui est constante en espace).

• Dans un système ouvert la condition aux limites impose la pression $p=p_{0}$ (par exemple la pression atmosphérique pour un feu à l'air libre).
• Dans un système fermé, la masse totale reste constante au cours du temps. En intégrant sur le volume ${\mathcal {V}}$ du système, cela donne :

$\int _{\mathcal {V}}^{}\rho (x,t)\,d\Omega =\int _{\mathcal {V}}\rho (x,t=0)\,d{\mathcal {V}}$

Lorsque l'équation d'état du gaz parfait est utilisable, l'expression précédente devient :

$p(t)=p(t=0){\dfrac {\int _{\mathcal {V}}{\dfrac {1}{T(x,t=0)}}\,d{\mathcal {V}}}{\int _{\mathcal {V}}{\dfrac {1}{T(x,t)}}\,d{\mathcal {V}}}}$

Remarques :

• À l'ordre 0, $\mathbf {g}$ n'intervient pas dans le bilan d'énergie.
• À cet ordre le rayonnement n'apparaît pas non plus, alors qu'il peut être un élément important du problème (en combustion par exemple). Ceci est dû au choix du nombre adimensionnel de Goulard, adapté aux écoulements à grande vitesse où l'énergie cinétique est grande devant l'énergie interne. Ici c'est le contraire et le bon nombre adimensionnel est ${\mathcal {G}}'={\frac {q_{R}^{*}}{\rho ^{*}e^{*}}}$. Le développement utilisant cette quantité conduit au terme ${\frac {{\mathcal {G}}'}{\gamma ^{*}(\gamma ^{*}-1)}}\nabla _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {q} }}_{R}$ dans l'équation de l'énergie et donc permet au rayonnement d'apparaître à l'ordre 0.

Conditions aux limites

Conditions entrantes et sortantes

Il n'y a pas, sauf exception, de conditions entrantes ou sortantes spécifiques au système de Navier-Stokes. En effet les effets visqueux sont généralement confinés en des endroits spécifiques connus à l'avance. Le domaine de calcul inclut donc ces régions et on est ainsi ramené au problème des conditions entrantes et sortantes pour les équation d'Euler. On peut ajouter que donner des conditions dans une région où les effets visqueux sont importants constitue une tâche des plus ardues.

Conditions pariétales

Il n'est pas possible stricto sensu d'écrire des telles conditions aux limites. En effet, comme le montre la méthode de Chapman-Enskog dans le cas des gaz, le système de Navier-Stokes suppose au niveau microscopique une faible perturbation de la distribution de Maxwell-Boltzmann. Cette hypothèse est invalide au voisinage d'une paroi, laquelle perturbe fortement la distribution des vitesses et des énergies internes des molécules. La résolution de la région perturbée ou couche de Knudsen montre l'existence de sauts de vitesse et de température qui sont d'autant plus faibles que la pression augmente. Si celle-ci est suffisante on peut négliger des discontinuités et les conditions pariétales se réduisent alors aux conditions généralement données sans justification :

• $\mathbf {V} =0$ à la paroi (condition d'adhérence),
• $T=T_{p}$ à la paroi, où $T_{p}$ est la température de paroi, donnée.

Références

Bibliographie

• Sébastien Candel, Mécanique des fluides, Dunod, Paris, 2001 (ISBN 2-10-005372-8)
• James Luneau et Allan Bonnet, Aérodynamique théories de la dynamique des fluides, Toulouse, Éditions Cépaduès, coll. « Sup'Aero », 1989, 544 p. (ISBN 9782854282184 et 2854282183).
• Etienne Guyon, Jean-Pierre Hulin et Luc Petit (préf. John Hinch), Hydrodynamique physique, Les Ulis/Paris, EDP Sciences/CNRS Éditions, coll. « Savoirs actuels », 2012, 3^e éd. (ISBN 9782759805617 et 2759805611).
• (en) Lev Davidovitch Landau et Evgueni Mikhaïlovitch Lifshitz, Volume 6 of Course of Theoretical Physics : Fluid Mechanics, Pergamon Press, 1987 [8]
• (en) Brian J. Cantwell, Fundamentals of Compressible Flows, Cours de l'université de Stanford [9]

Articles connexes

• Dynamique des fluides
• Aérodynamique
• Mécanique des fluides numérique
• Équation de Navier
• Équations de Saint-Venant
• Équation de Burgers
• Équation d'Hugoniot
• Relations de Rankine-Hugoniot
• Écoulement de Stokes
• Équations de Stokes-Oseen
• Approximation de lubrification
• Effet Coandă
• Projecteur de Leray