Équation de Burgers

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L'équation de Burgers est une équation aux dérivées partielles fondamentale issue de la mécanique des fluides. Elle apparaît dans divers domaines des mathématiques appliquées, comme la modélisation de la dynamique des gaz ou du trafic routier. Elle doit son nom à Johannes Martinus Burgers (1895-1981).

Formulation[modifier | modifier le code]

En notant u la vitesse, et \nu le coefficient de viscosité, la forme générale de l'équation de Burgers est[1] :

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

Quand \nu = 0, l'équation de Burgers devient l'équation de Burgers sans viscosité :

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0,

qui est un prototype des équations dont les solutions peuvent avoir des discontinuités (ondes de choc). La forme conservative de cette équation est :

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\big(u^2\big) = 0

Résolution[modifier | modifier le code]

Solution de l'équation sans viscosité

Une méthode classique de résolution passe par la méthode des caractéristiques : on définit un champ X(t) vérifiant l'équation différentielle ordinaire :

\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} t} (t) = u (X(t),t).

Alors U(t) = u (X(t),t) est constant par rapport à t. Ainsi, la résolution du système

\begin{cases}\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} t} &= U\\ \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t} &= 0,\end{cases}

est simple et donne

\begin{cases}X(t) &= X(0)+tU(0)\\U(t) &= U(0),\end{cases}

On en tire la solution

u (X(t),t) = u (X(0)+tu (X(0),0),t).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]