Équation de Darcy-Weisbach

L'équation de Darcy-Weisbach est une importante équation très utilisée en hydraulique. Elle permet de calculer la perte de charge (dissipation d'énergie) des conduites (« perte de charge linéaire », par opposition aux pertes de charge singulières).

Présentation de l'équation

L’équation de Darcy est une variante de l’équation de Prony et a été développée par Henry Darcy, avant d'être modifiée par Julius Weisbach (scientifique saxon) en 1845 qui lui donna sa forme actuelle:

$\Delta P = f_D \cdot \rho \cdot \frac{L}{D_h} \cdot \frac{V^2}{2}$

avec

• ΔP - perte de charge [Pa]
• f_D - coefficient de perte de charge de Darcy [-]
• L - longueur de la conduite [m]
• D_h - diamètre hydraulique [m]
• V - vitesse moyenne du fluide [m.s^-1]
• ρ - masse volumique du fluide [kg.m^-3]

Diagramme de Moody

Le coefficient de perte de charge, également appelé facteur ou coefficient de frottement, noté le plus souvent f (parfois λ), dépend du régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) et des propriétés du fluide. En conditions isothermes, le nombre de Reynolds, qui est le rapport entre la puissance des forces d'inertie et la dissipation visqueuse, suffit à caractériser le régime d'écoulement.

Attention: il existe deux coefficients de perte de charge! L’un porte le nom de coefficient de perte de charge de Darcy, l'autre celui de coefficient de perte de charge de Fanning. Ces deux coefficients expriment la même idée physique mais il faut connaître la relation qui les lie :

$f_D = 4 \cdot f_F$

Le coefficient de Darcy, nommé ainsi en l'honneur d’Henry Darcy, est préféré par les Français.

Les Anglo-saxons préfèrent le coefficient de Fanning, nommé en l'honneur de John Thomas Fanning (1837–1911).

Détermination du coefficient de pertes linéaires

Plusieurs méthodes existent pour définir le coefficient de perte de charge. Une des plus connues est le diagramme de Moody qui est une abaque permettant de déterminer le coefficient de perte de charge à partir du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite. Il est également possible de calculer directement ce paramètre à partir de corrélations qui sont à la base du diagramme du Moody:

• Pour un écoulement laminaire dans un tube circulaire, $Re < 2000$, on utilise la corrélation de Hagen-Poiseuille :

$f_D= \frac{64}{Re}$

• Pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire, $Re > 3000$, il existe un grand nombre de corrélations, certaines simples mais imprécises, d’autres plus lourdes mais plus proches de la réalité.

Rugosité pour quelques types de matériaux

Matériau	Rugosité [mm]
fer forgé	0.12 - 0.3
conduite rivée	0.75 - 1-05
galvanisé	0.15 - 0.3
béton (petit tuyau)	0.15 - 0.25
béton rugueux	0.9 - 1.5
béton très rugueux	1.5 - 2.15
galerie rocheuse	90 - 300

Corrélation de Blasius, est la plus simple :

$f_D = 0.3164 \cdot Re^{-\frac{1}{4}}$

Corrélation de Blench, à utiliser qu'en régime pleinement turbulent:

$f_D = 0.790 \cdot \sqrt{\frac{\epsilon}{D}}$

Corrélation de Colebrook, également connu sous le nom d'équation de Colebrook-White :

$\frac{1}{\sqrt{f_D}} = -2\log_{10}\left( \frac{2,51}{Re \sqrt{f_D}}+\frac{\epsilon}{3,7 D}\right)$

Corrélation de Haaland :

$\frac{1}{\sqrt{f_D}} = -1.8 \log_{10}\left( \frac{6.9}{Re} + \left( \frac{\epsilon}{3.7 D}\right)^{1.11} \right)$

Corrélation de Swamee–Jain:

$f_D = \frac{0.25}{\left( \log_{10} \left[ \frac{\epsilon}{3.7 D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right] \right)^2}$

Corrélation de Serghides. La comparaison a été effectuée avec 70 points sur un large intervalle de valeurs tant pour le nombre de Reynmolds que pour la rugosité avec une erreur absolue maximale de 0.0031%.

$A = -2\log_{10}\left( {\varepsilon/D\over 3.7} + {12\over \mbox{Re}}\right)$

$B = -2\log_{10} \left({\varepsilon/D\over 3.7} + {2.51 A \over \mbox{Re}}\right)$

$C = -2\log_{10} \left({\varepsilon/D\over 3.7} + {2.51 B \over \mbox{Re}}\right)$

$f_D = \left(A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A}\right)^{-2}$

Corrélation de Goudar-Sonnad actuellement l'approximation la plus précise, est donnée avec une erreur absolue maximale inférieure à 0.000364% pour plus de 10000 points compris entre 4000 < Re < 10⁸ et 10_-6 < ε/D < 10^-2.

$a = {2 \over ln(10)}$ ; $b = {\varepsilon/D\over 3.7}$ ; $d = {ln(10)Re\over 5.02}$

$s = bd + ln(d)$ ; $q = s^{\frac{s}{(s+1)}}$

$g = {bd + ln{d \over q}}$ ; $z = {ln{q \over g}}$

Deux différentes possibilités sont disponibles pour calculer δ

1) $\delta_{LA} = z{{g\over {g+1}}}$

2) $\delta_{CFA} = \delta_{LA} \left((1 + \frac{z/2}{(g+1)^2+(z/3)(2g-1)})\right)$

$\frac{1}{\sqrt{f_D}} = a \left[ ln{\left( \frac{d}{q} \right)} + \delta \right]$

• Stuart W. Churchill a développé une formule pour les deux régimes, laminaire et turbulent:

$f_D = 8 \left( \left( \frac {8} {Re} \right) ^ {12} + \left( A+B \right) ^ {-1.5} \right) ^ {\frac {1} {12} }$

$A = \left( 2.457 \ln \left( \left( \frac {7} {Re} \right) ^ {0.9} + 0.27 \frac {e} {D} \right)^ {-1} \right) ^ {16}$

$B = \left( \frac {37530} {Re} \right) ^ {16}$

Voir aussi

• Équation de Hazen-Williams