Équation de Darcy-Weisbach

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L'équation de Darcy-Weisbach est une importante équation très utilisée en hydraulique[Paraschivoiu 1]. Elle permet de calculer la perte de charge (dissipation d'énergie) des conduites (« perte de charge linéaire », par opposition aux pertes de charge singulières).

Présentation de l'équation[modifier | modifier le code]

L’équation de Darcy est une variante de l’équation de Prony et a été développée par Henry Darcy, avant d'être modifiée par Julius Weisbach (scientifique saxon) en 1845 qui lui donna sa forme actuelle. La perte de pression s'exprime en [Pa] par :

\Delta P = f_D  \cdot \frac{L}{D_h} \cdot \rho \frac{V^2}{2}

La perte de charge, obtenue en divisant l'expression précédente par \rho \cdot g s'exprime en [m] par :

\Delta H = f_D  \cdot \frac{L}{D_h} \cdot \frac{V^2}{2g}

avec

  • ΔP - perte de pression [Pa]
  • ΔH - perte de charge [m]
  • fD - coefficient de perte de charge de Darcy [-]
  • L - longueur de la conduite [m]
  • ρ - masse volumique du fluide [kg.m-3]
  • Dh - diamètre hydraulique [m]
  • V - vitesse moyenne du fluide [m.s-1]
  • g - accélération de la pesanteur

Les anglo-saxons désignent ces deux définitions par le terme unique de "pressure drop".

Diagramme de Moody

Le coefficient de perte de charge, noté le plus souvent fD (parfois λ), dépend du régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) et des propriétés du fluide. En conditions isothermes, le nombre de Reynolds, qui est le rapport entre la puissance des forces d'inertie et la dissipation visqueuse, suffit à caractériser le régime d'écoulement.


Coefficients de perte de charge[modifier | modifier le code]

Il existe deux coefficients de perte de charge.

  • L’un est le coefficient de perte de charge de Darcy, en référence à Henry Darcy, généralement utilisé par les Français.
  • l'autre est le coefficient de perte de charge de Fanning en référence à John Thomas Fanning, appelé aussi coefficient de frottement car il définit la contrainte de cisaillement à la paroi ( = le frottement[Pa] ):
\tau = f_F \cdot \rho \cdot \frac{V^2}{2}

Ce coefficient est généralement utilisé par les Anglo-saxons.

Ces deux coefficients expriment la même réalité physique et sont reliés par la relation suivante :

 f_D =  4 \cdot f_F

Détermination du coefficient de pertes linéaires[modifier | modifier le code]

Plusieurs méthodes existent pour définir le coefficient de perte de charge. Une des plus connues est le diagramme de Moody qui est un abaque permettant de déterminer le coefficient de perte de charge à partir du nombre de Reynolds et de la rugosité de la conduite. Il est également possible de calculer directement ce paramètre à partir de corrélations qui sont à la base du diagramme du Moody:

  • Pour un écoulement laminaire dans un tube circulaire, Re < 2000[1], on obtient l'expression de  f_D par identification avec la loi de Hagen-Poiseuille :
 f_D= \frac{64}{Re} ( soit pour le coefficient de Fanning : f_F= \frac{16}{Re} )
  • Pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire, Re > 3000[1], il existe un grand nombre de corrélations, certaines simples mais imprécises, d’autres plus lourdes mais plus proches de la réalité.
Rugosité pour quelques types de matériaux[Paraschivoiu 2]
Matériau Rugosité [mm]
fer forgé 0.12 - 0.3
conduite rivée 0.75 - 1-05
galvanisé 0.15 - 0.3
béton (petit tuyau) 0.15 - 0.25
béton rugueux 0.9 - 1.5
béton très rugueux 1.5 - 2.15
galerie rocheuse 90 - 300

Corrélation de Blasius[Paraschivoiu 3], est la plus simple, mais sa validité se réduit aux conduites parfaitement lisses (verre, PVC,...) :

 f_D = 0.3164 \cdot Re^{-\frac{1}{4}}

Corrélation de Blench[Paraschivoiu 4], à n'utiliser qu'en régime pleinement turbulent (au-dessus de la ligne pointillée du diagramme de Moody) :

 f_D = 0.790 \cdot \sqrt{\frac{\epsilon}{D}}

Corrélation de Colebrook, également connu sous le nom d'équation de Colebrook-White :

 \frac{1}{\sqrt{f_D}} = -2\log_{10}\left( \frac{2,51}{Re \sqrt{f_D}}+\frac{\epsilon}{3,7 D}\right)

Corrélation de Haaland[2] :

 \frac{1}{\sqrt{f_D}} = -1.8 \log_{10}\left( \frac{6.9}{Re} + \left( \frac{\epsilon}{3.7 D}\right)^{1.11} \right)

Corrélation de Swamee–Jain[3]:

 f_D = \frac{0.25}{\left( \log_{10} \left[ \frac{\epsilon}{3.7 D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right] \right)^2}

Corrélation de Serghides[4]. La comparaison a été effectuée avec 70 points sur un large intervalle de valeurs tant pour le nombre de Reynolds que pour la rugosité avec une erreur absolue maximale de 0.0031%.

 A = -2\log_{10}\left( {\varepsilon/D\over 3.7} + {12\over \mbox{Re}}\right)
 B = -2\log_{10} \left({\varepsilon/D\over 3.7} + {2.51 A \over \mbox{Re}}\right)
 C = -2\log_{10} \left({\varepsilon/D\over 3.7} + {2.51 B \over \mbox{Re}}\right)
 f_D = \left(A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A}\right)^{-2}

Corrélation de Goudar-Sonnad[5],[6] actuellement l'approximation la plus précise, est donnée avec une erreur absolue maximale inférieure à 0.000364% pour plus de 10000 points compris entre 4000 < Re < 108 et 10-6 < ε/D < 10-2.

 a = {2 \over \ln(10)} ;  b = {\varepsilon/D\over 3.7}  ;  d = {\ln(10)Re\over 5.02}
 s = bd + \ln(d)  ;  q = s^{\frac{s}{(s+1)}}
 g = {bd + \ln{d \over q}}  ;  z = {\ln{q \over g}}

Deux différentes possibilités sont disponibles pour calculer δ

1)  \delta_{LA} = z{{g\over {g+1}}}
2)  \delta_{CFA} = \delta_{LA} \left((1 + \frac{z/2}{(g+1)^2+(z/3)(2g-1)})\right)
 \frac{1}{\sqrt{f_D}} = a \left[ \ln{\left( \frac{d}{q} \right)} + \delta \right]
  • Stuart W. Churchill[7] a développé une formule pour les deux régimes, laminaire et turbulent :
 f_D = 8 \left( \left( \frac {8} {Re} \right) ^ {12}+ \left( A+B \right) ^ {-1.5}\right) ^ {\frac {1} {12} }
A = \left( 2.457 \ln \left( \left( \frac {7} {Re} \right) ^ {0.9} + 0.27 \frac {e} {D} \right)^ {-1} \right) ^ {16}
B = \left( \frac {37530} {Re} \right) ^ {16}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Ion Paraschivoiu, Michel Prud'homme et Patrick Vasseur, Mécanique des fluides, Montréal, Presses internationales Polytechnique,‎ 2003, 450 p. (ISBN 2-553-01135-0), p. 324
  2. p. 317
  3. p. 321
  4. p. 317
  1. a et b (en) Thomas Bradford Drew, Advances in chemical engineering, vol. 10, New York, Academic Press, Inc,‎ 1978, 336 p. (ISBN 0-12-008510-0), p. 137
  2. (en) S.E. Haaland, « Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow », Journal of Fluids Engineering, vol. 105, no 1,‎ mars 1983, p. 89-90 (DOI 10.1115/1.3240948)
  3. (en) P.K. Swamee et A.K. Jain, « Explicit equations for pipe-flow problems », Journal of the Hydraulics Division, vol. 102, no 5,‎ 1976, p. 657-664
  4. (en) T.K. Serghides, « Estimate friction factor accurately », Chemical Engineering, vol. 91, no 5,‎ 1984, p. 63-64 (ISSN 0009-2460)
  5. (en) C.T. Goudar et J.R. Sonnad, « Comparison of the iterative approximations of the Colebrook-White equation », Hydrocarbon Processing,‎ août 2008 (lire en ligne)
  6. (en) C.T. Goudar et J.R. Sonnad, « Explicit Reformulation of the Colebrook−White Equation for Turbulent Flow Friction Factor Calculation », Industrial & Engineering Chemical Research, vol. 46,‎ 2007, p. 2593-2600 (DOI 10.1021/ie0340241)
  7. Churchill, S.W., 1977, "Friction factor equations spans all fluid-flow ranges.", Chem. Eng., 91

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]